α?冪過(guò)程維修模型下的最優(yōu)更換策略

陳建勇，應(yīng)巨林，鄒良影，閆長(zhǎng)遠(yuǎn)

(溫州科技職業(yè)學(xué)院，溫州浙江 325006)

α?冪過(guò)程維修模型下的最優(yōu)更換策略

陳建勇，應(yīng)巨林，鄒良影，閆長(zhǎng)遠(yuǎn)

(溫州科技職業(yè)學(xué)院，溫州浙江 325006)

研究一種新的α?冪過(guò)程維修模型.假設(shè)有兩同型部件組成的冷貯備系統(tǒng)，以部件1的修理次數(shù)N為更換策略，利用更新理論，得出了平均費(fèi)用率的表達(dá)式，并通過(guò)數(shù)值模擬實(shí)例得出了最優(yōu)更換策略N*.

冷貯備系統(tǒng)；α?冪過(guò)程；更換策略

冷貯備系統(tǒng)是可靠性數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，也是工程中運(yùn)用比較多的一類系統(tǒng).所謂冷貯備系統(tǒng)是指貯備的部件在貯備期不失效也不劣化，貯備期的長(zhǎng)短對(duì)以后使用的工作壽命沒(méi)有影響.在一般情況下，系統(tǒng)的失效修理并不能修復(fù)如新，修理后的壽命逐漸遞減并最終不能工作，這樣的系統(tǒng)被稱為退化系統(tǒng).常見(jiàn)的退化系統(tǒng)被描述為單調(diào)幾何過(guò)程.Braun等[1]提出了一種全新的單調(diào)過(guò)程——α?冪過(guò)程，并且發(fā)現(xiàn)α?冪過(guò)程具有與幾何過(guò)程相類似的性質(zhì).許多學(xué)者利用α?冪過(guò)程理論研究了退化可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略[2-3].本文將采用α?冪過(guò)程理論對(duì)冷貯備系統(tǒng)進(jìn)行討論，并以部件1的修理次數(shù)N作為更換策略.

1 α?冪過(guò)程的定義和有關(guān)定理

2 模型假設(shè)

假定1 開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)的兩部件都是新的，并且部件1首先工作，部件2冷貯備.

假定2 當(dāng)系統(tǒng)兩個(gè)部件均正常時(shí)，一個(gè)工作，另一個(gè)冷貯備.當(dāng)系統(tǒng)部件失效時(shí)，修理工立即進(jìn)行維修，同時(shí)，冷貯備部件立即開(kāi)始工作，修好后的部件要么進(jìn)入工作狀態(tài)，要么進(jìn)入貯備狀態(tài).若一個(gè)失效部件未修好時(shí)，另一個(gè)部件也失效，則它必須處于待修狀態(tài)，這時(shí)系統(tǒng)失效.

假定3 系統(tǒng)任何部件均不能修復(fù)如新，設(shè)和分別表示部件i第n?1次修理后的剩余壽命和第n次修理時(shí)間，其分布函數(shù)分別為F(na t)和G(nb t)，其中a>0，b<0，這樣，{,n= 1,2,L}是α?冪遞減過(guò)程，相應(yīng)的{Y(i),n= 1,2,L} 是α?冪遞增過(guò)程，且設(shè)=λ，=μ，由定理1得：

假定5 系統(tǒng)中的部件更換時(shí)，用新的同類型部件進(jìn)行更換，且更換時(shí)間忽略不計(jì).

假定6 冷貯備中的部件不產(chǎn)生工作報(bào)酬，待修的部件不產(chǎn)生維修費(fèi)用.

假定7 系統(tǒng)中的每個(gè)部件在單位時(shí)間內(nèi)的維修費(fèi)用為cr，單位時(shí)間內(nèi)的工作報(bào)酬為cw，更換一個(gè)費(fèi)用為c.

3 策略N下的平均費(fèi)用率表達(dá)式

當(dāng)部件1的修理次數(shù)達(dá)到N時(shí)，部件2必然已經(jīng)修理了N?1次，且要么處于工作狀態(tài)，要么處于待修狀態(tài)，前者繼續(xù)工作直到第N+1次失效發(fā)生，而后者不需要再進(jìn)行修理.令W1表示部件1首次更換時(shí)間，則{Wn,n≥ 2}為系統(tǒng)第n?1次與第n次更換時(shí)間間隔，則{Wn,n= 1,2,L}形成了一更新過(guò)程.令Un表示更換時(shí)間間隔Wn內(nèi)的費(fèi)用，則{Un,n= 1,2,L}就是酬金過(guò)程，因此{(lán)(Wn,Un)}形成一個(gè)帶酬更新過(guò)程.

設(shè)C(N)為系統(tǒng)在策略N下經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望損失，由酬金過(guò)程的更新定理[4-5]知：

定理2 如果X,Y是兩個(gè)非負(fù)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)為F(x),G(x)，則

證明：因?yàn)閄,Y是兩個(gè)非負(fù)獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以有：

下面利用數(shù)值實(shí)例，對(duì)（2）式進(jìn)行最小化，求最優(yōu)更換策略N?.

4 數(shù)值模擬實(shí)例

如果和都服從指數(shù)分布：

式，利用Matlab軟件，得到C(N)隨N變化的數(shù)據(jù)及圖形.見(jiàn)表1和圖1.

圖1 C(N)隨N的變化曲線Fig 1 Curve of C(N) by N

由表1和圖1知，C(1 6 )= 6.624是平均費(fèi)用率的最小值，即當(dāng)部件1修理次數(shù)達(dá)到16并且發(fā)生第17次失效時(shí)就應(yīng)該更換了.

表1 C(N)隨N變化的數(shù)據(jù)表Table 1 Date Sheet of C(N) by N

[1]Braun W J, Li W, Zhao Y Q. Properties of geometric and related process [J]. Naval Research Logistic, 2005, 52: 607-616.

[2]周玉霞. 退化系統(tǒng)的α?冪過(guò)程維修模型的最優(yōu)更換策略的單調(diào)性[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 44(2): 221-224.

[3]唐亞勇, 劉亞萍.α?退化系統(tǒng)的冪過(guò)程維修模型[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 44(3): 503-507.

[4]龔光魯, 錢敏前. 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程教程[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004: 56-57.

[5]曹晉華, 程侃. 可靠性數(shù)學(xué)引論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 100-105.

Research on Optimum Replacement Policy ofα?Power Process Maintenance Model

CHEN Jianyong, YING Julin, ZOU Liangying, YAN Changyuan
(Wenzhou Vocational College of Science and Technology, Wenzhou, China 325006)

A newα?power process maintenance model was studied. Based on the assumption of a cold standby system consisting of two identical components, the expression of average cost rate could be achieved by takingN, the failure number of the component 1, as replacement policy and using renewal theory. Then, the optimum replacement policyN*could be obtained through numerical simulation example.

Cold Standby System;α?Power Process; Replacement Policy

(編輯：王一芳)

O151.23

A

1674-3563(2010)06-0007-04

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.06.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-05-11

陳建勇(1984- )，男，浙江溫州人，助教，碩士，研究方向：系統(tǒng)可靠性