新課標人教Ａ版數(shù)學必修四變式探究學習教學兩例

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-1875(2009)09-114-02

在教學中我們發(fā)現(xiàn)如果學生積極參與教學過程，思考課堂上出現(xiàn)的數(shù)學問題，并能提出問題和回答問題，課后就能順利完成作業(yè)并有所收獲。探究式教學能展示教學的整個過程，激發(fā)學生的學習興趣，改進學生的學習方式，促進學生有效地的學習。

一、變式探究學習教學模式

變式探究學習教學模式分為：引入經(jīng)歷過的問題—變式分層實驗探究—發(fā)現(xiàn)結(jié)論—論證結(jié)果—應用反思五個基本環(huán)節(jié)，以學生的探究活動為主體，以教師的組織、鋪墊、引導、幫助和促進為主導，以探索數(shù)學問題、理解數(shù)學問題為中心，形成數(shù)學能力為目標。探究學習需要時間作保證，但新課標課改使數(shù)學教學時間異常緊張，難以保證探究學習教學活動的正常開展。但變式探究學習是學生帶著學習困惑，教師帶著教學目的設計的教學片段，靈活機動，隨時可用，不需要專門時間?，F(xiàn)以新課標人教A版數(shù)學必修四的兩道例習題為例，談談變式探究學習教學模式的體會。

二、案例一

新課標人教A版數(shù)學必修四P44例5：求是函數(shù)的y=sin(x+)，x∈[-2π，2π]單調(diào)遞增區(qū)間。

我上課有一個習慣，先引導學生分析解題思路，再得出解法，然后讓學生看書，以期獲得一題多解的目的。我的解法是：

令Z=x+，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+2kπ，+2kπ]，

由-+2kπ≤x+≤+2kπ，

得-+4kπ≤+4kπ，k∈Z，由x∈[-2π，2π]，

令Ax|-+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，

B=x|-2π≤x≤2π，

則函數(shù)y=sin(x+)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是A∩B。

當且僅當k=0時A∩B=x|-≤x≤。

即函數(shù)y=sin(x+)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是[-，]。

課本解答如下：

令Z=x+，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+2kπ，+2kπ]，

由-+2kπ≤x+≤+2kπ，

得-+4kπ≤+4kπ，k∈Z，由x∈[-2π，2π]，

可知-2π≤-+4kπ且+4kπ≤2π，

于是-≤k≤，由于k∈Z，所以k=0。

即函數(shù)y=sin(x+)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是[-，]。

學生看書理解解題格式后給出以下變式：

變式一；求y=sin(-x)，x∈[-2π，2π]單調(diào)遞增區(qū)間；

解法略。

變式二：求y=sin(-)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間（課本研究題）；

生一：u=-，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞減區(qū)間是[+2kπ，+2kπ]，

由+2kπ≤-≤+2kπ，

得--4kπ≤x≤--4kπ，k∈Z，

由x∈[-2π，2π]可知-2π≤--4kπ且--4kπ≤2kπ，

于是-≤k≤-，由于k∈Z，所以k不存在。本題無解。

生二：u=-，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞減區(qū)間是[+2kπ，+2kπ]，

由+2kπ≤-≤+2kπ，

得--4kπ≤x≤--4kπ，k∈Z，

令Ax|--4kπ≤x≤--4kπ，k∈Z，Bx|-2π≤x≤2π

則函數(shù)y=sin(-)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是A∩B。

當且僅當k=0時A∩B=x|-2π≤x≤-or≤x≤2π。

即函數(shù)y=sin(-)，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是x|-2π≤x≤-or≤x≤2π。

（班級有點亂，怎么兩種解法結(jié)果不一樣？）

生三：生一是課本解法，生二是老師解法，都沒有錯。

（學生沉思）

師：問題出在哪？請大家再用以上兩種方法求解例5的變式：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。并請同學們研究兩種解法的異同點。

生四：按課本解法還是無解。課本解法把所求的單調(diào)遞增區(qū)間認定為[-2π，2π]的子區(qū)間，而單調(diào)遞增區(qū)間不是區(qū)間[-2π，2π]的子區(qū)間時就無解。老師解法把所求的單調(diào)遞增區(qū)間理解為兩個區(qū)間取交集，正確合理。

師：生四分析很透徹，問題的原因就在這。課本解法只是一種特例，多數(shù)情況都是取交集。例如把例5改為求函數(shù)y=sin(x+)，x∈[0，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間，課本解法就錯了。我們在解題訓練時講究通法，對特殊解法要慎重。請大家修改例5解法，并寫上自己的感受。

三、案例二

新課標人教A版數(shù)學必修四P150習題8：在ΔABC中，sinA=，cosB=，求cosC的值。

學生的作業(yè)大都如下求解；cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

∵sinA=，A∈(0，π)，∴cosA=±，

∵cosB=，B∈(0，π)，∴sinB=，

當cosA=時，

∴cosC=sinAsinB-cosAcosB=-；

當cosA=-時，

∴cosC=sinAsinB-cosAcosB=。

講評時采用以下變式：

變式一；ΔABC，sinA=，求cosA的值。

（略）

變式二；ΔABC，sinA=，cosB=，求cosA的值。

生1：∵sinA，A∈(0，π)∴A=或A=，∴cosA=±。

生2：生1解法錯。∵sinA=，A∈(0，π)∴A=或A=，∵cosB=，B∈(0，π)，∴B=，當A=時，A+B=π，故舍去?！郃=∴cosA=。

變式三；ΔABC，cosA+cosB>0A+B<π求cosA的值。

生3：∵sinA=，A∈(0，π)∴A=或A=，cosB=<=cos，B∈(0，π)，y=cosB為減函數(shù)，∴B>，∴A=，A=（舍去），cosA=。

生4：當以知三角形中一個角的正弦值時，這個角可能是銳角，也可能為鈍角。但如果還有一個角的某個函數(shù)值已知時，就要檢驗。

師：現(xiàn)在我們研究習題8。

∵B∈(0，π)，cosB=，∴B∈(0，)，若A∈(，π)，則A+B<π，三角形存在，既有解；

若A∈(，π)當A+B<π時三角形存在，有解；而A+B≥π時三角形不存在，既無解。

生5：若A∈(，π)當A+B<π時三角形存在，有解

則0

而B∈(0，π)，y=cosB為減函數(shù)，

∴cosB>cos(π-A)，

∴cosB>-cosA，

∴>，矛盾，故A∈(0，)，∴cosA=，

∴cosC=sinAsinB-cosAcosB=-。

師：總結(jié)：ΔABC，cosA+cosB>0時A+B<π；

ΔABC，cosA+cosB=0時；A+B<π;

ΔABC，cosA+cosB<0時A+B<π。

注：新課標人教A版數(shù)學必修四教學參考書提供的答案也是兩解。

學習任何知識的最佳途經(jīng)是自己去發(fā)現(xiàn)。因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。道理狠深刻，但現(xiàn)實的教學任務使教師無奈，探究學習大都出現(xiàn)在觀摩示范課上，無法融入常規(guī)教學中。但我們可以抓住有利時機，恰時恰點地開展變式探究學習。