一些重要數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

[摘 要] 從經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的分析和預(yù)測(cè)兩個(gè)方面研究了一些數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，為分析一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和預(yù)測(cè)一些經(jīng)濟(jì)規(guī)律提供幫助。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)工具 經(jīng)濟(jì)分析 經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的歷程中，一些數(shù)學(xué)工具在不斷地被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多領(lǐng)域，這使得數(shù)學(xué)在不斷應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的過程中強(qiáng)化著二者的關(guān)系。而且經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展中的每次重大突破都與數(shù)學(xué)有著重大的關(guān)系，微積分應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中引發(fā)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際革命;隨著概率論的引入，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)應(yīng)運(yùn)而生;在運(yùn)用了運(yùn)籌學(xué)中的博弈論之后，對(duì)經(jīng)濟(jì)問題中的不確定性與風(fēng)險(xiǎn)性的研究才有了突破性的進(jìn)展?？偨Y(jié)起來，數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用大致分為兩個(gè)方面，一方面是利用數(shù)學(xué)工具研究一些確定性的經(jīng)濟(jì)關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行總結(jié)分析;另一方面是對(duì)一些不確定性的經(jīng)濟(jì)關(guān)系，利用數(shù)學(xué)工具根據(jù)已有的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象預(yù)測(cè)未來，探索一些經(jīng)濟(jì)規(guī)律。

一、數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行邊際分析

定義 設(shè)y=f(x)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f’(x)稱為的f(x)邊際函數(shù)，f’(x0)稱為f(x)在x0的邊際函數(shù)值。例如，成本函數(shù)C(q)的導(dǎo)數(shù)C’(q)稱為邊際成本;收益函數(shù)R(q)的導(dǎo)數(shù)R’(q)稱為邊際收益;利潤函數(shù)L(q)的導(dǎo)數(shù)L’(q)稱為邊際利潤。

由邊際函數(shù)的概念不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念實(shí)際上就是導(dǎo)數(shù)概念的經(jīng)濟(jì)化，所以我們就完全可以把數(shù)學(xué)分析中有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的知識(shí)用來進(jìn)行邊際分析。例如，通過利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，從而分析總利潤隨產(chǎn)量的變化的情形。

總利潤函數(shù)等于收益函數(shù)與成本函數(shù)的差，即L(q)=R(q)-C(q) ，則邊際利潤L’(q)=R’(q)-C’(q)。由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到:，而，通過分析我們可以得到以下經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，(1)當(dāng)產(chǎn)量已達(dá)到q0(q0是滿足R’(q)≥C’(q)的解)，此時(shí)L(q)是增函數(shù)，若再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，所增加的收入大于所增加的成本，總利潤增加;(2)當(dāng)產(chǎn)量已達(dá)到q0(q0是滿足R’(q)≤C’(q)的解)，此時(shí)L(q)是減函數(shù)，若再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，所增加的收入小于所增加的成本，總利潤減小。

導(dǎo)數(shù)的定義決定了在邊際分析中，所討論的是函數(shù)的變化率問題，是個(gè)絕對(duì)變化率，而要更深入的分析一些經(jīng)濟(jì)問題，需要研究函數(shù)的相對(duì)變化率，進(jìn)行彈性分析。

2.利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行彈性分析

彈性研究的是函數(shù)的相對(duì)變化率(因?yàn)榕c都是相對(duì)改變量)，它反映的是自變量的變化幅度對(duì)因變量變化幅度的影響程度，由定義知當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)自變量在x0處增加1%時(shí)，因變量y相應(yīng)地在y0=f(x0)處近似地改變個(gè)百分?jǐn)?shù)。

下面利用彈性分析來討論需求價(jià)格彈性與總收益R(p)=pD(p)之間的關(guān)系。因?yàn)镽’(p)=D(p)+pD’(p)=D(p)Ep=D(p)(1-Rp)可見:(1)當(dāng)Ep>1時(shí)，R’(p)<0，所以當(dāng)需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際收益小于零，即收益減少，所以隨著價(jià)格的上升收益會(huì)減少。(2)當(dāng)Ep<1時(shí)，R’(p)>0，所以當(dāng)需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際收益大于零，即收益增加，所以價(jià)格上漲，總收益減少。(3)當(dāng)Rp=1時(shí)，R’(p)=0。所以當(dāng)需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度，邊際收益等于零，即總收益保持不變，收益對(duì)于價(jià)格處于臨界狀態(tài)。

綜上，需求價(jià)格彈性和總收益的關(guān)系可概括為:如果價(jià)格和總收益以相反方向變化，那么需求是有彈性的;如果價(jià)格變化但總收益不變，那么需求是單位彈性的;如果價(jià)格和總收益以相同方向變化，那么需求是無彈性的。

3.利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析

在高等數(shù)學(xué)中，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值是一種常用方法。具體地講，函數(shù)的最大值或最小值在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取到，在實(shí)際問題中，最值點(diǎn)就是極值點(diǎn)。在經(jīng)濟(jì)分析問題中，我們可以利用該方法進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。當(dāng)我們根據(jù)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象建立了數(shù)學(xué)模型，當(dāng)經(jīng)濟(jì)函數(shù)是一元或二元函數(shù)時(shí)，通過求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，該點(diǎn)就是經(jīng)濟(jì)問題的最優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際可能是收益最大化的點(diǎn)，或者是消耗最小化的點(diǎn)。

在以上的經(jīng)濟(jì)分析問題中，所研究的都是一些確定性的經(jīng)濟(jì)關(guān)系，而對(duì)一些不確定性的經(jīng)濟(jì)關(guān)系的研究，需要我們先對(duì)經(jīng)濟(jì)變量間的關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，從而進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，探索一些經(jīng)濟(jì)規(guī)律。

二、一些數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

1.回歸分析在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

回歸分析是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)工具，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的統(tǒng)計(jì)方法之一。所謂回歸分析就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，確立一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式以便從一個(gè)已知量來推測(cè)另一個(gè)未知量，為估算預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要的方法。

2.馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

可以利用馬爾科夫鏈來預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的變化趨勢(shì)，在[6]中，應(yīng)用馬爾科夫鏈理論建立了期望銷售利潤預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合有關(guān)實(shí)例進(jìn)行了計(jì)算分析，另外也可以用來預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率等。

三、結(jié)論

隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，用數(shù)學(xué)工具來分析和求解問題已成為對(duì)各種經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域進(jìn)行研究，從而獲得最佳解決方案的必要手段。當(dāng)然，為了更好地利用數(shù)學(xué)來研究、解決經(jīng)濟(jì)問題，我們要從經(jīng)濟(jì)的實(shí)際出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法求解模型，進(jìn)而形成經(jīng)濟(jì)理論，并在實(shí)踐中驗(yàn)證這些理論，然后利用他們指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)運(yùn)作。

參考文獻(xiàn):

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[5]吳云天:數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位和作用[J].山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)(高等教育版)，2004，7(3):87～88

[6]楊 濤 葉耀軍:馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用.商場(chǎng)現(xiàn)代化，2008，528:399