從信息角度看實(shí)數(shù)加群的自同構(gòu)

[摘 要] 本文首先說明從信息角度看數(shù)學(xué)更多的是從哲學(xué)的視角來審視。通過一個(gè)數(shù)學(xué)例子:定義(R×R，+)上極小次直積，研究出了它存在的充要條件和性質(zhì)，并找出了(R，+)的所有自同構(gòu)，我們可以看到從信息學(xué)的視角來重新審視離散數(shù)學(xué)。

[關(guān)鍵詞] 信息學(xué) 極小次直積 自同構(gòu)

一、前言

從一定的意義上說，信息學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是離散數(shù)學(xué)，包括集合論、近世代數(shù)、圖論、形式語(yǔ)言、自動(dòng)機(jī)理論、范疇與函子理論等，但它又不是離散數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而是根據(jù)哲學(xué)的性質(zhì)和特點(diǎn)，從新的視角對(duì)離散數(shù)學(xué)進(jìn)行了深入的挖掘、拓展、賦予新的含義乃至于做了部分新的改造和制作，因而使離散數(shù)學(xué)具有了許多新質(zhì)的特征。在信息學(xué)的視野中，離散數(shù)學(xué)的基本概念，像集合、集合間的各種關(guān)系、性質(zhì)(等價(jià)、半等價(jià)等)，抽象的直積空間、映射、多元關(guān)系、結(jié)構(gòu)、同態(tài)、同構(gòu)等是適合于哲學(xué)對(duì)象的，即適合于描述任意的事物和一般事物機(jī)理的，而且經(jīng)過某種改造或轉(zhuǎn)化，可以用來描述辯證的機(jī)制。我們可以來關(guān)于(R×R，+)上極小次直積及實(shí)數(shù)加群的自同構(gòu)來很好的解釋廣譜哲學(xué)，信息學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。

二、關(guān)于(R×R，+)上極小次直積及實(shí)數(shù)加群的自同構(gòu)

1.引言

R×R是我們中學(xué)階段就熟悉的平面直角坐標(biāo)系，它本身是一個(gè)域，為了簡(jiǎn)化只把它看作是一個(gè)加群。

2.次直積定義

子群H≤G=G1×G2×…×Gn稱為群G1，G2，…，Gn次直積，如果對(duì)于每個(gè)i∈{1，2，3，…，n}。H在Gi上投射等于Gi。

3.(R×R，+)上次直積

由次直積定義，可知:如果H≤(R×R，+)，并且滿足。那么H稱為(R×R，+)上次直積。

現(xiàn)記Yx表示當(dāng)橫坐標(biāo)取x時(shí)，縱坐標(biāo)yx所有取值所組成的集合。顯然，對(duì)于每個(gè)x∈R來說，Yx非空。(否則就投射不滿)很可能對(duì)于一個(gè)x來講，有多個(gè)yx與之相對(duì)應(yīng)。會(huì)不會(huì)存在這樣的次直積呢?它對(duì)于任意的x來說，都有。

4.(R×R，+)上極小次直積的定義

稱這樣的次直積H為(R×R，+)上極小次直積，如果x∈R，都恰有惟一的yx與之相對(duì)應(yīng)。

5.探索極小次直積應(yīng)滿足的條件

假設(shè)這樣的次直積存在，我們下面具體來尋找其存在的條件。設(shè)H是(R×R，+)上極小次直積。建立雙射f∶R→R。則H可表示為{(x，f(x))∈R}。這樣一來，H在兩坐標(biāo)軸上的投射均為R，只需要H成群。首先要滿足加法封閉，(x1，f(x1))，(x2，f(x2))∈H，有(x1，f(x1))+(x2，f(x2))=(x1+x2，f(x1)+f(x2))∈H，而另一方面因?yàn)?x1+x2，f(x1+x2∈H))，但是f是雙射，可知:1，x2∈H，有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)。那么f(0)=0，說明(0，0)∈H，(x，f(x))∈H，有:(x，f(x))∈H，(0，0)+(x，f(x))=(x，f(x))，從而單位元找到了。對(duì)于任意(x，f(x))∈H來說，都存在(-x，f(-x))∈H，使得:(x，f(x))+(-x，f(x-x))=(0，0)，故逆元存在。另外，H顯然對(duì)于加法滿足結(jié)合律。

6.總結(jié)

H是(R×R，+)上極小次直積可得到:H={(x，f(x))∈R，f是R→R上雙射，且1，x2∈R，有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)}={(x，f(x))∈R，f∈Aut (R，+，)}，反過來，易驗(yàn)證結(jié)論也成立。

結(jié)論一:(R×R，+)上極小次直積存在，其個(gè)數(shù)和實(shí)數(shù)加群上自同構(gòu)群個(gè)數(shù)一樣。

下面我們來具體研究下實(shí)數(shù)加群(R，+)上的自同構(gòu)。

作fx:R→R;r→xr，x∈R，且x≠0。顯然fx是R到R上的雙射。a，b∈R，有fx(a+b)=xa+xb=fx(a)+fx(b)。故知fx是R到R上的自同構(gòu)?，F(xiàn)構(gòu)造一集合K={fxfx∶R→R;r→xr，∈R且x≠0，r∈R}，下驗(yàn)證K對(duì)于乘法成群。(1)，fx∈K，有f1fx=fx。(2)fx∈K， fx-1∈K，使fxfx-1=f1;(3)fx，fy∈K，有fxfy(r)=fx(yr)=xyr=fxy(r)，r∈R。從而有fxfy=fxy∈K;(4)fx，fy，fz∈K，有fx(fyfz)=fxfyz=fx(yz)=f(xy)z=fxyfz=(fxfy)fz。故集合K是Aut(R，+)的一個(gè)子群。假設(shè)K是Aut(R，+)真子群，現(xiàn)任取δ∈Aut(R，t)且δ∈K那么有K≤〈δ，K〉≤Aut(R，+)。

現(xiàn)∈(δ，K)，那是(R，+)上的自同構(gòu)，從而t∈R，且t≠0有φ(t)∈R。命(t)=s≠0，(t)=，現(xiàn)記=u∈R且u≠0。那么(t)=fu(t)且(0)=fu(0)故(r)=fu(r)，r∈R，那=fu∈K。說明(δ，K)，K，δ∈K矛盾。故Aur(R，+)=K，那Aur(R，+)={fxfx∶R→R;r→xr，x∈R且≠0，r∈R}。由此可知(R×R，+)上極小次直集的幾何意義。

結(jié)論二:在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)且不與x，y軸重合的直線窮盡了(R×R，+)上的所有極小次直集。

三、結(jié)論

顯然，在這里關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件如何數(shù)學(xué)地構(gòu)造出來。對(duì)不同的問題，對(duì)象有不同的表現(xiàn)形式。在信息學(xué)中，我們要從哲學(xué)的不同觀察水平上探討“有”與“無(wú)”的相互轉(zhuǎn)化，可觀性與不可觀性的互相轉(zhuǎn)化等。綜上所述，我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的新視角，不僅使我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的理解大大超出了純數(shù)學(xué)的范圍(已擴(kuò)展到一般事物機(jī)理和哲學(xué)對(duì)象的范圍)，而且也使我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的理解超出了靜態(tài)的結(jié)構(gòu)分析的范圍，即使我們能夠從動(dòng)態(tài)流變的、辯證轉(zhuǎn)化的角度深化和拓展離散數(shù)學(xué)框架的意義，從而在一定的意義上，促使離散數(shù)學(xué)成為適用于充分廣泛知識(shí)譜系(包括哲學(xué)譜系)的、具有“無(wú)限變化玄機(jī)”的數(shù)學(xué)模式。

參考文獻(xiàn):

[1]張遠(yuǎn)達(dá):有限群構(gòu)造[M].北京:科學(xué)出版社，1984:13～14

[2]徐明曜:有限群導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社，1999:1～2

[3]熊全淹:近世代數(shù)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2004:46～49

[4]Machale D. Some finite groups which are rarely automorphism group[J].Proc Royal Acad，1983，83A(2):189～196

[5]Flannery， D. and Machale， D. Some finite groups which are rarely automorphism groups[J].Proc Royal Acad，1981，83A(2):189～196

[6]Cayley ，About a special group[J].Amer.J.Math. 1878 30A(1):50～52