芻談數(shù)理型試題的編制與設計

福建 鄭行軍

數(shù)理型試題的編制和設計思路即用幾何、函數(shù)、圖象等數(shù)學方式對物理現(xiàn)象或規(guī)律進行表述，考查學生應用數(shù)學知識處理物理問題的能力。在物理試題中數(shù)學符號是物理概念、規(guī)律最常用的表述形式，是研究和解決物理問題的重要工具，數(shù)學語言的轉換能促進物理問題的轉化分析，有利于復雜問題簡單化，使抽象問題形象化和直觀化，因此在編制和設計物理試題時應體現(xiàn)出數(shù)學知識、數(shù)學方法的運用，提升學生綜合分析能力。本文探索了新高考背景下中學物理數(shù)理型試題編制的幾種思路，希望對大家有所幫助。

一、物理臨界、極值問題與數(shù)學函數(shù)的融合設計

【設計思路】以實際或抽象情境為載體，運用數(shù)學函數(shù)關系式定量化物理現(xiàn)象或規(guī)律，利用函數(shù)求極值的方法分析物理臨界量或極值。

【例1】如圖1所示，在粗糙水平臺階上靜止放置一質量m=0.5 kg的小物塊，與臺階邊緣O點有一定的距離。在臺階右側固定了一個以O點為圓心、半徑R=2 m的圓弧形擋板，現(xiàn)用一水平恒力拉動小物塊，一段時間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板。改變拉力的作用時間，小物塊擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時小物塊動能的最小值。(g取10 m/s2)

【解析】設小物塊開始做平拋運動的初速度為v0，擊中擋板的任意點坐標為(x，y)，由平拋運動的規(guī)律則有

x=v0t

又x2+y2=R2

【點評】本題以平拋運動為情境考查了平拋運動、動能定理等相關知識，結合圓方程得出物塊動能與平拋分位移的定量關系，后以豎直分位移y為自變量，動能為因變量構建函數(shù)關系，運用基本不等式求出動能最小值，屬于應用中的綜合應用層次，目的在于培養(yǎng)學生會綜合應用數(shù)學知識和物理規(guī)律處理物理問題的能力。

二、物理動態(tài)分析與數(shù)學函數(shù)的融合設計

【設計思路】試題以數(shù)學符號、公式表述物理量間的定量關系，根據(jù)函數(shù)的單調性討論物理因變量隨自變量的變化特征，分析出物理過程各物理參量的變化規(guī)律。

【例2】如圖2所示，一表面粗糙的滑塊在沿圓弧面切線方向的拉力作用下由圖中最低點A沿圓弧面緩慢滑行至圖中最高點B，則滑塊在運動的過程中，下列說法正確的是

( )

A.圓弧面對滑塊的支持力一直減小

B.圓弧面對滑塊的摩擦力一直減小

C.沿切線方向的拉力先增大后減小

D.圓弧面對滑塊作用力大小始終不變

【答案】C

【點評】本題以夾角為自變量，依據(jù)平衡條件及數(shù)學三角函數(shù)表述出滑塊受力的定量關系，運用數(shù)學函數(shù)的單調性判斷出各力的變化，既考查了學生對于三角函數(shù)、函數(shù)單調性等數(shù)學相關知識，又考查了學生對于物理平衡條件、過程分析等基本知識的掌握。

三、物理模型與數(shù)學函數(shù)的融合設計

【設計思路】試題命題融合數(shù)學函數(shù)等相關知識(如物理情境創(chuàng)設、物理問題表征、物理范圍約束等)，將物體運動的規(guī)律隱含于函數(shù)的因變量和自變量的映射關系中，運用數(shù)理結合的方法對物理現(xiàn)象或規(guī)律進行定量分析，物理模型和數(shù)學函數(shù)的融合設計能有效考查學生推理、綜合分析等多種能力。

【例3】如圖3所示，在xOy坐標系中分布著四個有界場區(qū)，在第三象限的AC左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場B1=0.5 T，AC是直線y=-x-0.425(單位：m)在第三象限的一部分，另一沿y軸負向的勻強電場左下邊界也為線段AC的一部分AK，右邊界為y軸，上邊界是滿足y=-10x2-x-0.025(單位：m)的拋物線的一部分，電場強度E=2.5 N/C。在第二象限有一圓心為O1，半徑為r=0.1 m的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度B2=1 T，方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時與x軸、y軸相切，切點分別為D、F。現(xiàn)有大量m=1×10-6kg，q=-2×10-4C的粒子(重力不計)同時從A點沿x軸負向以v0射入，且v0取0

(2)所有粒子從第二象限穿越y(tǒng)軸時的坐標可能值。

【解析】(1)如圖4所示，設某速度為v0的粒子從A點入射后到達AC上的G點，因v0與AC成45°角，設圓心為O3，其對應圓心角為90°，即恰好經過四分之一圓周，故到達G點時速度仍為v0，方向沿y軸正向。

粒子在電場中沿y軸正向加速運動，設G點坐標為G(x，y)，剛好穿出電場時坐標為(x，y1)，粒子穿出電場時速度為v1，在電場中運動的過程中，由動能定理得

而y1=-10x2-x-0.025

y=-x-0.425

代入數(shù)據(jù)解得v1=20 m/s

英語分詞倒裝構式的認知語法分析 ……………………………………………………… 莫啟揚 文 旭（2.11）

可見粒子穿出電場時速度大小與x無關。

代入數(shù)據(jù)得R<0.2 m

由數(shù)學知識可知，K點坐標為K(-0.2 m，-0.225 m)，故從A點射入的所有粒子均從AK之間射入電場并以 20 m/s的速度沿y軸正向射出電場，此后，在到達x軸之前粒子做勻速直線運動，故所有粒子從第三象限穿越x軸時的速度大小均為20 m/s，方向沿y軸正向。

考查從任一點J進入B2的粒子，設從H點穿出B2磁場，四邊形JO2HO1為菱形，又因為JO2水平，而JO2∥HO1，故H應與F重合，故所有粒子經過B2后全部從F點離開B2進入第一象限，即穿越y(tǒng)軸時的坐標為 (0，0.1 m)。

【答案】(1)20 m/s；(2)(0，0.1 m)

【點評】本題主要考查了帶電粒子在復合電磁場中的運動，過程較為復雜，涉及的物理知識有牛頓運動定律、動能定理和圓周運動等相關內容，在場約束邊界結合了三個數(shù)學知識：直線方程、拋物線方程和圓方程，將粒子束在場中運動的共性特征隱含于函數(shù)方程中，實現(xiàn)了數(shù)學與物理的有效組合；在第二象限設計磁場模型時，將粒子運動的軌跡幾何特征和圓方程的幾何關系很好地融合在一起，最終得出粒子束在磁場中偏轉的磁聚焦規(guī)律，命題較為全面的考查了學生應用數(shù)學處理物理問題的能力。

四、物理模型與幾何關系的融合設計

【設計思路】在物理情境中融合立體幾何或解析幾何相關知識，使物體運動的徑跡、位置等信息定量化，物理量間的關系及規(guī)律隱含于數(shù)學的幾何關系中，綜合數(shù)學運算和物理學公式分析題設信息進行解題。

(1)小環(huán)a滑至斜面時的速度大?。?/p>

(2)小環(huán)a與斜面碰撞后沿斜面方向的分速度？

x=v0t

與曲線方程對比得v0=5 m/s

由平拋軌跡和斜面的幾何關系

聯(lián)立解得t=1 s，h=5 m

解得v=10 m/s。

(2)質點運動至斜面的豎直分速度v豎=gt=10 m/s

到達斜面的速度與水平方向的夾角α滿足

小環(huán)到達斜面時速度方向與質點到達斜面時的速度方向相同，故小環(huán)到達斜面的水平分速度

故碰撞后沿斜面方向的分速度

【點評】本題根據(jù)平拋運動的軌跡特征，以解析幾何圓錐曲線方程為切入點考查了平拋運動的規(guī)律、嫁接面問題處理、動能定理、運動的合成與分解等知識，要求學生對于物理規(guī)律的數(shù)學本質要有較深的理解并學會運用等效原理將數(shù)學知識轉化為物理問題進行解題。

五、物理問題與數(shù)學圖象表述的關聯(lián)設計

【設計思路】通過數(shù)學函數(shù)圖象語言描述物理變化過程、各物理參量之間的關系，利用定性或定量兩種描述形式使物理問題表述直觀化，使學生學會運用數(shù)形結合等數(shù)理方法根據(jù)圖象信息(如斜率、截距、面積等)分析物理過程。

( )

A.導體棒做勻變速直線運動

C.流過導體棒的電流大小不變

【答案】BC

[基金項目：寧德市教育信息技術研究“十三五”規(guī)劃課題“電子白板+物理習題教學實踐研究”(課題編號：2017EI059318)]