方程思想在解題教學(xué)中應(yīng)用的案例

方程思想是指將所研究的教學(xué)問(wèn)題的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)，從而使得問(wèn)題解決。方程思想應(yīng)用非常廣泛，而許多同學(xué)在學(xué)習(xí)中往往見(jiàn)到了方程才想到用方程的思想來(lái)解決，事實(shí)上，許多題目表面上看是非方程的問(wèn)題，有的甚至是幾何問(wèn)題，但運(yùn)用方程的思想來(lái)求解，也可以使問(wèn)題迎刃而解。下面筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談一點(diǎn)粗淺看法。

一、方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用

案例1.已知:當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式x2+3ax的值為2008，當(dāng)x=-1，求(a2x2+334)/a-1674x代數(shù)式的值.

分析:本案例通過(guò)條件建立方程模型求出a，即可解決。

解:因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，所以22+3a×2=2008 即a=334.

∴原式=(3342×12+334)/334-1674×(-1)=2009.

案例2.若■和■是同類根式，求(a+b)ab的值.

分析:已知條件中，沒(méi)有方程，由同類根式的定義構(gòu)造出關(guān)于a、b的方程組，求出方程組的解便是問(wèn)題解決。

解:由同類根式的定義得

a+b=23a+b=4b

解得a=1，b=1

∴(a+b)ab=2

評(píng)注:在求代數(shù)式的值時(shí)，要審清題意，構(gòu)建方程(組)模型，如案例1構(gòu)建方程模型，案例2構(gòu)建方程組模型。因此在分析題意時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生層層分析，逐步尋求關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)解題思路。

二、方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用

案例3.已知拋物線y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)與x軸交于兩點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)(x1≠x2).

(1)求a的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)0的左側(cè);

(2)若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，且OA+OB=OC-2，求a的值.

分析:(1)二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，根的判別式大于0，從而可確定a的取值范圍，對(duì)(2)運(yùn)用方程思想來(lái)求a的值.

解:(1)∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)且(x1≠x2)

∴?駐=(1-2a)2-4a2>0，∴a<1/4

∴a的取值范圍是a<1/4且a≠0

∵a≠0，∴x1x2=a2>0，即x1，x2必為同號(hào).

而x1+x2=-(1-2a)=2a-1<1/2-1=-1/2<0

∴x1，x2必為負(fù)數(shù).

∴點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)都在原點(diǎn)O的左側(cè).

(2)∵x1，x2同為負(fù)數(shù)，

∴由OA+OB=OC-2得-x1-x2=a2-2

∴a2+2a-3=0

∴a1=-3，a2=1

∵a<1/4且a≠0

∴a的值為-3.

評(píng)注:本案例綜合了二次函數(shù)、韋達(dá)定理、一元二次方程根的判別式等相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)抓住二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系。思考時(shí)可借助圖象幫助理解，特別要注意的是A、B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，故OA=-x1，OB=-x2，這點(diǎn)容易被學(xué)生忽視，應(yīng)引起學(xué)生高度重視。

三、方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

案例4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a-b=2，∠A=60°，求c邊的長(zhǎng).

分析:本案例如果直接根據(jù)勾股定理求斜邊c很難求得結(jié)果，但退一步用三角函數(shù)tanA=a/b，然后用方程思想即可解決。

評(píng)注:本案例是集幾何、三角函、代數(shù)于一體的綜合題，解這類題時(shí)，要能從實(shí)際中抽象出純數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，在平時(shí)應(yīng)注意對(duì)常規(guī)題進(jìn)行演變，有針對(duì)性地訓(xùn)練。

四、方程思想在幾何中的應(yīng)用

案例5.已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍大10°，求這個(gè)角的度數(shù)。

分析:本案例主要考查互余、互補(bǔ)的概念，以及列方程、解方程的能力。因?yàn)樯婕暗闹R(shí)點(diǎn)較多，所以題目有小綜合的特點(diǎn)。解這道題，首先要弄清題目中一共涉及了幾個(gè)角，除了要求的角外，還有這個(gè)角的補(bǔ)角和這個(gè)角的余角。其次將這些角分別表示出來(lái)，然后根據(jù)題設(shè)中的等量關(guān)系，列出方程，最后解這個(gè)方程。

解:設(shè)所求的角是x°，那么它的補(bǔ)角是(180-x)°，它的余角是(90-x)°，根據(jù)題意，列方程，得:(180-x)-3(90-x)=10

解這個(gè)方程，得x=50.

答:這個(gè)角是50°.

案例6.已知:在正方形ABCD中，E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，又AB=12，EF=10.△AEF的面積等于五邊形EBCDF面積的1/5.求AE、AF的長(zhǎng).

分析:本案例是幾何求值綜合題，因此要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，利用正方形構(gòu)成直角三角形布列等式，從而得出解題方法。

解得x=8，y=6或x=6，y=8.

即AE=8，AF=6或AE=6，AF=8.

評(píng)注:本案例是由勾股定理及面積關(guān)系，建立起方程組，由于題目中未說(shuō)明AE、AF哪條大，因此應(yīng)有兩解。同時(shí)要學(xué)生今后注意用方程的思想解應(yīng)用題是最常用的解題方法，關(guān)鍵是要求學(xué)生有較強(qiáng)分析及解決問(wèn)題的能力，結(jié)果還要符合方程和題意的實(shí)際情況。

總之，方程思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要努力滲透方程思想方法，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，才能自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，這樣提高教學(xué)質(zhì)量就不是紙上談兵了。

作者單位:南通市如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)