談?wù)勚袑W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法

曹建軍

“數(shù)學(xué)方法”和通常人們所說的“物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法”、“經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)方法”不同，在那里把“數(shù)學(xué)本身”作為方法、作為工具對(duì)某種具體學(xué)科或內(nèi)容進(jìn)行研究，這里所說的是研究數(shù)學(xué)本身的方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)正確認(rèn)識(shí)和處理好數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系，這對(duì)于教學(xué)有重要意義。

一、認(rèn)識(shí)一般科學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法的一個(gè)重要特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)知識(shí)本身即體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)的方法，知識(shí)本身即具有方法性功能。且不說，如對(duì)數(shù)知識(shí)的產(chǎn)生就是為了便于計(jì)算，它自然可以構(gòu)成數(shù)字計(jì)算的方法，在數(shù)學(xué)中，三角本身也可看成是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，解析幾何的知識(shí)本身即“攜帶”了坐標(biāo)方法，它是運(yùn)用這種方法進(jìn)行研究的成果。此外，如研究了一元二次方程根的形式，同時(shí)也就給出了求根的方法，利用矩陣討論線性方程組，對(duì)矩陣進(jìn)行的初等變換，即是解方程組的方法。兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的概念，孕含了待定系數(shù)法；不等關(guān)系A(chǔ)≤B，暗示了一種求極值的方法，等等，不勝枚舉。

一般科學(xué)方法的特征，由于其來源于包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的知識(shí)體系，自然地在數(shù)學(xué)中也有明顯體現(xiàn)。如在科學(xué)知識(shí)的等級(jí)體系中，事情往往是這樣的：抽象水平較高的知識(shí)對(duì)較具體的知識(shí)履行方法論的職能。在數(shù)學(xué)中高層次知識(shí)對(duì)于較低層次的知識(shí)，可能具有方法論意義或功能。最明顯的例子，如微分學(xué)給出了求一類函數(shù)極值的統(tǒng)一方法。利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，可以討論和研究相應(yīng)的式子、不等式和方程。從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，較低層次的研究內(nèi)容，是較高層次研究的直觀基礎(chǔ)；在一個(gè)活動(dòng)系統(tǒng)中曾是目的的東西，在另一個(gè)系統(tǒng)中可以成為手段，反映出活動(dòng)的目的和手段相互間的辯證關(guān)系。另外，數(shù)學(xué)知識(shí)體系的發(fā)展，內(nèi)容的組織，其內(nèi)部邏輯關(guān)系與結(jié)構(gòu)，就預(yù)示著化歸原則，從而形成具有一般性的化歸方法。

二、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)知識(shí)

如果說，數(shù)學(xué)方法全部被包含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)也就包括了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法。這種說法也對(duì)，也不盡然、不準(zhǔn)確。這要從數(shù)學(xué)本身談起。長期形成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系凝聚著人類的睿智，隱含著人們的思想、觀念，反映出認(rèn)識(shí)主體的信念、意向、行為準(zhǔn)則和思維方式。數(shù)學(xué)并不是外在客觀世界上已有之物，它是一種人類的活動(dòng)，是人們?cè)诜从车幕A(chǔ)上按照人類自身的需要逐步構(gòu)建的認(rèn)識(shí)成果。這不是指創(chuàng)造物質(zhì)本身，而是指創(chuàng)造了形式即指客體的形式。在數(shù)學(xué)發(fā)生的過程中不可能完全撇開“超邏輯”的因素，如數(shù)的概念擴(kuò)充時(shí)所做出的規(guī)定，等等。這些地方都滲入了人們的目的、意向，體現(xiàn)了人們的思想、觀念，是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)相互作用的產(chǎn)物。當(dāng)然，最后需接受社會(huì)和歷史的篩選。這就間接說明了數(shù)學(xué)方法來自于數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也深受人們的思想、意向，即數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)的影響。

三、數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法

如所周知，思想與方法有著密切關(guān)系，通常把它們作為一個(gè)整體，表述為“思想方法”。數(shù)學(xué)的核心是問題解決，問題解決是尋求某個(gè)問題深層關(guān)系結(jié)構(gòu)的未知性態(tài)或未知因素。解題方法之所以成為方法，是在對(duì)這種結(jié)構(gòu)關(guān)系認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過人的主觀精神的作用，把對(duì)象之間可能的客觀聯(lián)結(jié)關(guān)系化為主觀的經(jīng)驗(yàn)和想法，然后，在實(shí)踐活動(dòng)中自覺地進(jìn)行運(yùn)作，再進(jìn)入干預(yù)和發(fā)現(xiàn)的進(jìn)程。方法經(jīng)過主體的思維加工才能成為適用于某個(gè)問題的，有明確目標(biāo)的操作程序。

思想不僅在方法的形成階段中起到作用，而且在其運(yùn)用中有重要影響。正是在運(yùn)用中，在運(yùn)用后的總結(jié)和反思過程中才逐漸明晰定形。概括并抓住這種解題思想，使之從具體問題情境中獨(dú)立出來，進(jìn)一步考察能否擴(kuò)充它的適用范圍，再對(duì)于能適用該思想的“問題類”進(jìn)行概括，經(jīng)過兩次不同對(duì)象的概括：一次是對(duì)“思想”的概括，另一次是對(duì)適于思想的“問題類”進(jìn)行概括，從而形成了有一定適用范圍的方法。人們?cè)谡莆樟四撤N具體方法后，很容易忽略掉其背景思想。這是因?yàn)榉椒ǖ闹饕卣魇浅绦蛐?，在相?yīng)范圍內(nèi)，為了使方法便于應(yīng)用，可以整理化簡為一些法則或操作步驟，如解代數(shù)方程時(shí)的“移項(xiàng)變號(hào)”，它們往往可以擺脫其成因的思想，甚至可能脫離其理論依據(jù)，僅僅突出了“方法”的手段、途徑即工具性的側(cè)面。教育中忽視揭示思想，僅注重操作性訓(xùn)練，是產(chǎn)生負(fù)遷移的重要原因之一。

教學(xué)中，解題教學(xué)從根本上講是包含在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，數(shù)學(xué)中問題解決的場(chǎng)合都為解題教學(xué)提供了機(jī)會(huì)，在知識(shí)體系不斷發(fā)展進(jìn)程中揭示思想方法，學(xué)習(xí)解題，數(shù)學(xué)知識(shí)正是通過問題解決才得以發(fā)展的。之所以出現(xiàn)削弱知識(shí)的發(fā)生過程，而解題部分過分膨脹，甚至游離于基本知識(shí)教學(xué)之外的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，其原因主要是過于對(duì)“方法”的程序性和操作性方面的強(qiáng)調(diào)，對(duì)“數(shù)學(xué)方法論主要是一種啟發(fā)性的研究”不理解、不認(rèn)識(shí)。“精講多練”變成了在背景知識(shí)的強(qiáng)烈暗示下對(duì)運(yùn)行步驟的重復(fù)，一旦情境改變或問題形式發(fā)生變化，則不是依據(jù)問題的外部特征去“一猜二套”，就是束手無策。這些進(jìn)一步牽引了對(duì)“題型—方法”的依賴，陷于難于自拔的境地。

四、經(jīng)營有成效的訓(xùn)練課

喚醒知識(shí)經(jīng)驗(yàn)喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，進(jìn)行有趣味的學(xué)習(xí)，是有效訓(xùn)練的核心所在。練習(xí)課教學(xué)的主要任務(wù)就是喚醒和激發(fā)，即喚醒學(xué)生的認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)，使其以已有的知識(shí)去思考、去研究，能夠有效運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)去聯(lián)想，找尋探究新知中的相關(guān)點(diǎn)，使學(xué)習(xí)成為一個(gè)探索發(fā)展的歷程。一節(jié)有成效的訓(xùn)練課，教師要全面掌控學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，讓學(xué)生始終處于“憤悱”狀態(tài)之中，激活他們的思維，誘發(fā)他們的創(chuàng)新活力。上述教學(xué)中，教師首先讓學(xué)生解讀問題，使其真正成為活動(dòng)的參與者、實(shí)踐者；其次，讓學(xué)生積極思辨，使他們能夠在不同思維的碰撞中領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，把握解決問題的要領(lǐng)。

五、激發(fā)學(xué)習(xí)潛能

激發(fā)學(xué)生的潛能，進(jìn)行有信心的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。引發(fā)學(xué)生有主題的自學(xué)，既是現(xiàn)代課堂的一種追求，也是打造人本教育的有力舉措。上述教學(xué)中，教師的引領(lǐng)性話語，既開啟了學(xué)生深入探索的思維之門，又為學(xué)生主動(dòng)探究和有熱情的自學(xué)提供了必要的指導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)思考問題、解決問題。學(xué)生就在不斷辨析中明白錯(cuò)解的緣由，并通過親身體驗(yàn)、主動(dòng)探究，從紛繁復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)中尋找到知識(shí)的脈絡(luò)，形成自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，通過畫示意圖，實(shí)現(xiàn)了做中學(xué)、學(xué)中做的有機(jī)融合，使學(xué)生在畫圖、讀圖、交流等活動(dòng)中明晰了問題的本質(zhì)，知道比所蘊(yùn)含的復(fù)雜關(guān)系，從而使知識(shí)的脈絡(luò)在內(nèi)隱中發(fā)生。研究性學(xué)習(xí)是對(duì)課本學(xué)習(xí)的超越，課本中的知識(shí)是靜態(tài)呈現(xiàn)的，而解決好問題需要的是綜合的知識(shí)和技能。