在融合史實中豐富課堂的底蘊

呂粉蘭

特級教師蔡宏圣站在數(shù)學(xué)史的角度,通過研讀數(shù)學(xué)史深入到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部,以“怎樣促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的敏銳觸角,捕捉到“用字母表示數(shù)”隱藏著的豐富教育基因,對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重構(gòu),將代數(shù)學(xué)的發(fā)展史融于課堂的每一環(huán)節(jié),讓抽象的字母表示數(shù)變得生動形象,在濃厚的數(shù)學(xué)史觀照下為學(xué)生打開神奇的數(shù)學(xué)之門,使得課堂充滿了豐厚的文化底蘊,令人耳目一新。下面擷取幾個片段與大家分享。

[片段一]

屏幕上出示3根小棒搭成的三角形,要求學(xué)生寫算式表示擺2個、3個、4個三角形需要幾根小棒。

師:下面我們來個小比賽,擺10個三角形,也用這樣的算式來表示擺三角形用的小棒根數(shù),比一比誰寫得多。預(yù)備,開始。

(學(xué)生紛紛動筆計算,并在交流中總結(jié)這些算式的特點)

師:既然這些算式寫不完,能不能用一道算式,把你們已經(jīng)寫的和還沒有寫的算式都包括進(jìn)來嗎?

生1:n×3。

生2:x×3。

生3:a×3。

師:看來大家意見比較一致,只是用不同的字母表示罷了。那行,老師就和剛才那個同學(xué)一樣寫成a×3。不過都用字母表示數(shù)了,為什么不把這里的“3”也用字母表示呢?

生:三角形都有3根小棒是不可能改變的。

師:很好!可見,用字母表示數(shù)不是簡單地用字母替代數(shù),而只能用字母表示一直變化的量,不變的量必須照寫。

師:同學(xué)們,剛才我們寫的2×3、3×3等算式,每一個算式都表示擺三角形的一種情況,那現(xiàn)在的a×3呢?

生1:各種各樣的情況。

生2:所有的情況。

師:也就是說,這里的字母從表面上看只是一個字母,但它是個有魔力的字母,它可以代表——

生(齊):無數(shù)個數(shù)。

[賞析]用字母表示數(shù)的實質(zhì)是符號化,而絕不是用字母替代某個數(shù)量。在教學(xué)時,可以通過數(shù)學(xué)發(fā)展史提煉出學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,通過數(shù)學(xué)家的困難預(yù)見和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難,根據(jù)歷史發(fā)展的順序作為安排學(xué)習(xí)層次順序的參考,利用歷史背景知識激發(fā)學(xué)生的興趣。同時,要讓學(xué)生深刻認(rèn)識到擺多少個三角形這個量是已知的,之所以要用字母來表示,是因為這樣的數(shù)太多了,寫不完,而用字母卻能把這些數(shù)都包含進(jìn)去。整個教學(xué),教師引導(dǎo)學(xué)生逐步深入,對字母表示數(shù)的認(rèn)識從縮寫到符號、從特定到變化、從未知到已知,學(xué)生對用字母表示數(shù)的認(rèn)識不斷提升。

[片段二]

(課件演示魔盒活動:輸入19,變出44;輸入58,變出83;輸入87,變出112)

師:經(jīng)魔盒加工后數(shù)據(jù)是怎樣發(fā)生變化的?

生:19+25=44,58+25=83, 87+25=112,都是加了25。

師:你報數(shù),請其他同學(xué)說結(jié)果。

生:……

師:把我們每個人心里想的都包括進(jìn)來應(yīng)該怎么說?進(jìn)去的數(shù)和出來的數(shù)有什么關(guān)系?可以用什么式子表示呢?

生:進(jìn)去a,出來a+25。

[賞析]考察數(shù)學(xué)史可以知道,代數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)歷了文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號代數(shù)三個歷史階段,而對于符號意義上用字母表示數(shù)的價值,也只有在比照中才能體會得更加真切。蔡老師仔細(xì)分析了學(xué)生已有的字母運用的各種經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)他們以往的經(jīng)驗主要是用字母來表示特定的意義,例如S表示面積,而且還認(rèn)為不知道一個數(shù)量到底是多少才用字母替代。因此在探究魔盒中輸出的數(shù)與輸入的數(shù)有什么關(guān)系時,主要讓學(xué)生通過觀察兩數(shù)間的關(guān)系,體會用字母表示它們之間的關(guān)系這種思維方式的價值,并精心組織了反思總結(jié)活動,引導(dǎo)學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上深化認(rèn)識:字母不僅可以表示特定的意義,而且還可以表示變化的數(shù)量,使學(xué)生的認(rèn)識實現(xiàn)由單一向多元、由表象到本質(zhì)的飛躍。

[片段三]

師:下面一個練習(xí)是“編故事”。故事的主角是a×4。老師先作個示范。(掂掂學(xué)生的數(shù)學(xué)書)如果a表示一本數(shù)學(xué)書的重量,那么a×4就是?

生:(異口同聲)4本數(shù)學(xué)書的重量。

師:而且是4本同樣的數(shù)學(xué)書的重量。很容易吧?下面,哪個同學(xué)來編?

(學(xué)生用a代表各種數(shù)量,說了a×4的意思)

師:既然大家把a×4講得這樣豐富多彩,老師就講個這方面的歷史故事。

(學(xué)生鼓掌)

師:在歷史上,對于數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系,我們?nèi)祟愖畛跏怯梦淖直硎镜?課件出示:每個重量×4,每個價錢×4,每班人數(shù)×4,其中“重”“價”“人”用紅色標(biāo)出),顯然比較煩瑣。因而,古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到了用縮寫的方法來表示。仿照丟番圖的方法,這里的“每個重量×4”,取“重”發(fā)音的第一個字母,表示成“z×4”。那么“每個價錢×4”和“每班人數(shù)×4”怎樣用縮寫的方法表示?

生:j×4和r×4。

師:丟番圖用字母的縮寫來表示數(shù)量間的關(guān)系,雖然簡潔了,但每個字母都表示特定的意思,不能把z×4和j×4混同起來,所以,并沒有給數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)帶來更多的簡便。到16世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)想,如果把各種情境中字母表示的特定意思都去掉的話,不都是一個數(shù)和4相乘嗎?(課件中的“z×4”“j×4”“r×4”依次變?yōu)椤啊酢?”)所以,韋達(dá)就表示成了a×4,這里的a還是特定的意思嗎?

生:(異口同聲)不是!

師:對,字母a已經(jīng)不表示任何具體的意義,和這里的小方塊一樣,只是一個符號而已(在“縮寫”后面板書:→符號)。自從韋達(dá)把字母當(dāng)做符號來表示數(shù)之后,許多數(shù)學(xué)難題得到了解決,數(shù)學(xué)獲得了飛速發(fā)展,韋達(dá)被稱為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父。(教師稍作停頓)從丟番圖用縮寫的方法表示數(shù)到韋達(dá)把字母當(dāng)做符號來表示數(shù),用了整整1 200年!

(學(xué)生情不自禁地發(fā)出了驚呼)

師:孩子們,我們只用了40分鐘就跨過了人類認(rèn)識提升的1 200年歷史,你們的表現(xiàn)是最棒的。

(學(xué)生感到非常驕傲,眼睛里閃爍著自信的光芒)

師:當(dāng)然,通過今天的學(xué)習(xí),有些同學(xué)對“用字母表示數(shù)”可能還有些模糊,不要緊。你想想,在歷史上數(shù)學(xué)家們都用了1 200年,你才學(xué)了一節(jié)課,你急什么呢?相信自己,通過后面的學(xué)習(xí)一定能融會貫通的。

[賞析]蔡老師設(shè)計“編故事”的練習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步體會“用字母表示數(shù)”的概括性,著力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過程,在體驗的基礎(chǔ)上,引領(lǐng)學(xué)生作為一個旁觀者反思剛才所經(jīng)歷的抽象過程,提升認(rèn)識。蔡老師還順勢講述從丟番圖到韋達(dá)的抽象歷程,這樣,數(shù)學(xué)歷史不僅僅是一種事實的告訴,而是充溢著人類智慧遞進(jìn)的歷程,為學(xué)生完善數(shù)學(xué)理解提供了支撐。特別是“我們只用了40分鐘就跨過了人類認(rèn)識提升的1 200年歷史”激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,讓他們體驗到數(shù)學(xué)的神奇魅力。的確,數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史,而數(shù)學(xué)教育的最高境界是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶。我們的數(shù)學(xué)教育無疑要從數(shù)學(xué)史中汲取更豐富的養(yǎng)分,讓數(shù)學(xué)史促使數(shù)學(xué)教育變得更厚重和深刻,唯有如此,數(shù)學(xué)教育才能走向深入和厚實。(作者單位:江蘇省金壇市常勝小學(xué))■

□責(zé)任編輯 鄧園生

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