數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的層次分析與有效教學(xué)

鄧友祥

[摘要]數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。不少教師對學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平層次的認(rèn)識和把握不夠，極大地影響了數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)效果。從哲學(xué)、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的角度來分析，小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平可劃分為直觀水平、直覺水平、經(jīng)驗(yàn)水平、知識經(jīng)驗(yàn)水平、邏輯水平、方法論水平6個(gè)水平層次。有效的小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)要重視善于引起學(xué)生觀念上的不平衡，實(shí)行數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，提供挑戰(zhàn)性認(rèn)知任務(wù)，正確表征數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)活動(dòng)；水平層次；有效教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。隨著數(shù)學(xué)新課程的深入實(shí)施。廣大的數(shù)學(xué)教師在課程理念方面已有一定的認(rèn)識，比較重視改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，重視數(shù)學(xué)交流、合作學(xué)習(xí)等數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，并積累了較豐富的數(shù)學(xué)新課程實(shí)施經(jīng)驗(yàn)。但是，當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)在很大程度上仍然停留在“為活動(dòng)而活動(dòng)”的表層上。數(shù)學(xué)教學(xué)只是讓學(xué)生“體驗(yàn)”一下科學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識的過程，從事一下“類似”科學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識的活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)展開不夠充分，數(shù)學(xué)的本質(zhì)凸現(xiàn)不夠，數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學(xué)性，學(xué)生的數(shù)學(xué)思路打不開，內(nèi)在的情感和思維沒有被真正激活。這在很大程度上極大地影響了主體的主動(dòng)建構(gòu)。上述教學(xué)現(xiàn)狀導(dǎo)致不少學(xué)生獨(dú)立思考的意識不強(qiáng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏深層次的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和水平普遍不高，到了中學(xué)階段(高中階段尤為明顯)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯得“后勁”(數(shù)學(xué)思維)不足。究其原因，不少教師對數(shù)學(xué)活動(dòng)水平層次的認(rèn)識和把握不夠，不能準(zhǔn)確地了解學(xué)生的真實(shí)思維活動(dòng)，較多的只是憑自己的經(jīng)驗(yàn)、直覺，甚至是主觀臆斷選擇教學(xué)方法，教學(xué)方法缺乏針對性和有效性，因而在實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)無所適從，不能科學(xué)地把握教學(xué)的進(jìn)程與節(jié)奏。極大地影響了數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)效果。由此看來，對數(shù)學(xué)活動(dòng)水平進(jìn)行科學(xué)分析，探究和把握學(xué)生的真實(shí)思維活動(dòng)，進(jìn)而采取有針對性的有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)策略。對提高數(shù)學(xué)活動(dòng)水平和數(shù)學(xué)教學(xué)效率將有著十分重要的意義。

關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)，至今還沒有一個(gè)準(zhǔn)確的定義，這里只是局限于對數(shù)學(xué)中積極性的狹義理解，把數(shù)學(xué)教學(xué)的積極性概念作為具有一定結(jié)構(gòu)的思維活動(dòng)的形成和發(fā)展來理解，這種思維活動(dòng)稱為數(shù)學(xué)活動(dòng)。因此，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)活動(dòng)是思維活動(dòng)。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的層次分析

數(shù)學(xué)活動(dòng)是一個(gè)組織經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域的活動(dòng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，思維進(jìn)人較高層次時(shí)，較低層次的組織方法將變成較高層次的研究題材，較低層次的活動(dòng)就成為分析的對象，要了解學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)思維水平，就必須要對數(shù)學(xué)活動(dòng)的層次進(jìn)行足夠深度的分析。

1數(shù)學(xué)活動(dòng)水平層次劃分的理論依據(jù)。

從哲學(xué)的角度看。人類認(rèn)識事物所采用的科學(xué)方法是逐步深入的，至今有如下5個(gè)遞進(jìn)層次：“認(rèn)識論、實(shí)證論、方法論、價(jià)值論、本原論”。認(rèn)識論是人類用以理解事物的最為古樸、直接的思維方法，也是一種本能的認(rèn)識方法；實(shí)證論是認(rèn)識論的具體和實(shí)在化方向的深化；方法論系指思想方法、世界觀，可以說是認(rèn)識論、實(shí)證論的升華和指導(dǎo)；價(jià)值論是考慮了“利益”關(guān)系的問題，也是在自然問題上考慮了社會(huì)性的問題或管理類問題：本原論則志在追本溯源，尋找事物發(fā)生的真諦。簡單地說，認(rèn)識論是解決“是什么”的，實(shí)證論是解決“有什么”的，方法論是解決“像什么”的。價(jià)值論是解決“應(yīng)該是什么”的，本原論是解決“為什么”的。認(rèn)識論、實(shí)證論、方法論是基礎(chǔ)、是重點(diǎn)，價(jià)值論、本原論是其派生和推廣。這為數(shù)學(xué)活動(dòng)水平層次劃分的類別確定，提供了重要的分層依據(jù)。

從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的角度看，蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為，兒童有兩種發(fā)展水平：一是兒童的現(xiàn)有水平，即由一定的已經(jīng)完成的發(fā)展系統(tǒng)所形成的兒童心理機(jī)能的發(fā)展水平，如兒童已經(jīng)完全掌握了某些概念和規(guī)則；二是即將達(dá)到的發(fā)展水平。這一理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)不能只適應(yīng)兒童發(fā)展的現(xiàn)有水平。而應(yīng)走在發(fā)展的前面，最終跨越“最近發(fā)展區(qū)”達(dá)到新的發(fā)展水平。這為數(shù)學(xué)活動(dòng)水平層次間的差異確定，提供了理論支撐。

從數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的角度看。數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，一個(gè)具有“數(shù)學(xué)思維”修養(yǎng)的人常常表現(xiàn)出如下特點(diǎn)：在討論問題時(shí)，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義(界定概念)，強(qiáng)調(diào)問題存在的條件；在觀察問題時(shí)，習(xí)慣于抓住其中的(函數(shù))關(guān)系，在微觀(局部)認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步作出多因素的全局性(全空間)考慮；在認(rèn)識問題時(shí)，習(xí)慣于將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念如對偶、相關(guān)、隨機(jī)、周期性等概念廣義化，用于認(rèn)識現(xiàn)實(shí)中的問題。這對如何確定數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的層次標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求，具有直接的理論指導(dǎo)價(jià)值。

2小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的層次剖析。

根據(jù)上述理論分析，結(jié)合我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)生實(shí)際，避開知識的局限性，可以得知，當(dāng)前我國小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平在認(rèn)識論、實(shí)證論這兩個(gè)層次上可達(dá)到，方法論只是很淺顯地涉及但無法達(dá)到，至于價(jià)值論和本原論不是小學(xué)階段所論及的水平層次?；谶@樣的認(rèn)識，筆者認(rèn)為。可以將小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)水平劃分為如下6個(gè)層次：直觀水平、直覺水平、經(jīng)驗(yàn)水平、知識經(jīng)驗(yàn)水平、邏輯水平、方法論水平。

(1)直觀水平。

這是數(shù)學(xué)活動(dòng)的最低層次。在這一層次水平上，學(xué)生只能認(rèn)識眼前有形的、實(shí)在的事物。

處于此水平上的學(xué)生通常是低年級學(xué)生。如教學(xué)“認(rèn)識圖形”(蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》一年級下冊)(簡稱一下，下同)中長方形、正方形、圓時(shí)，學(xué)生通過實(shí)物(長方體積木等)和模型來辨認(rèn)“附著”在其上的長方形、正方形、圓。就是直觀水平。但是值得注意的是，中高年級學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，有時(shí)還需重復(fù)經(jīng)歷這一水平層次，如教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”(六上)，學(xué)生雖對長方體、正方體有直觀認(rèn)識，但仍需要結(jié)合實(shí)物進(jìn)行教學(xué)，這樣做的目的不是只停留在這一水平層次上，而是為了幫助學(xué)生順利地上一個(gè)更高水平層次。

(2)直覺水平。

簡單地說。直覺=直觀+想象。它可作預(yù)測性的認(rèn)識，但其準(zhǔn)確性較差。不同年級的學(xué)生都能不同程度地表現(xiàn)出此種層次水平。

比如。學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)在中低年級都有一定的要求，就如何讓學(xué)生感受大數(shù)的意義并進(jìn)行估計(jì)。無論是要求低年級結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材，還是中年級結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境來進(jìn)行，學(xué)生可能更多的是憑直覺。又如，教學(xué)“平行和相交”(四上)，學(xué)生對“平行線”的認(rèn)識，既要有直觀又要有一定的想象(此時(shí)學(xué)生頭腦中已有平行線的實(shí)例，如一組平行的電線，但不能認(rèn)為這是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)閷W(xué)生并未經(jīng)歷過電線的拉排與平行測量。這里只是學(xué)生觀察與想象中的“平行”)，這時(shí)的認(rèn)識水平就是直覺水平。

(3)經(jīng)驗(yàn)水平。

經(jīng)驗(yàn)中一種實(shí)踐知識。簡單說就是。經(jīng)驗(yàn)=經(jīng)歷事實(shí)(信息)+直覺，這樣認(rèn)識事物比僅憑直覺的準(zhǔn)確性更強(qiáng)。不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，要求學(xué)生要有相應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如教學(xué)“時(shí)、分、秒”(二上)，學(xué)生必須要結(jié)合自己生活中有關(guān)鐘表認(rèn)識的經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行。這就是說學(xué)生的數(shù)學(xué)

活動(dòng)水平此時(shí)處在經(jīng)驗(yàn)水平。又如教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與可能性”(二上)，學(xué)生有一定的此方面的生活經(jīng)驗(yàn)，如知道天陰時(shí)下雨的可能性要比天晴時(shí)下雨的可能性大等。諸如此類的生活或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)。對學(xué)習(xí)該新知識雖有一定的幫助。但是較模糊的。這就要求教師還應(yīng)該要?jiǎng)?chuàng)造一定的課堂現(xiàn)場學(xué)習(xí)情境(如創(chuàng)設(shè)摸球活動(dòng))，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的補(bǔ)充，幫助學(xué)生獲得學(xué)習(xí)新知必備的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)是符合學(xué)生所處的經(jīng)驗(yàn)水平層次要求的。

(4)知識經(jīng)驗(yàn)水平。

知識是前人經(jīng)驗(yàn)的整理與升華。因而更為可靠。處于這一層次水平的學(xué)生，進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)都必須要有足夠的知識和經(jīng)驗(yàn)。

如教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”(三下)，要求學(xué)生既要有認(rèn)識一個(gè)物體(圖形)的幾分之一或幾分之幾的知識基礎(chǔ)，又必須具有一定的多個(gè)物體的平均分(結(jié)果是整數(shù))經(jīng)驗(yàn)，在這里學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)與知識必須有機(jī)結(jié)合才能學(xué)好新知。

(5)邏輯水平。

處于此層次水平的學(xué)生，應(yīng)該能夠(或說應(yīng)該能達(dá)到)依據(jù)概念、規(guī)則(法則、公式、定律等)和相關(guān)程序步驟，通過邏輯推理得出科學(xué)結(jié)論，這是僅憑經(jīng)驗(yàn)、觀察得不到的事實(shí)。中高年級(尤其是高年級)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)通常應(yīng)該能達(dá)到此水平層次，這一水平層次上學(xué)生的認(rèn)識達(dá)到更深層、更抽象的地步。這時(shí)的認(rèn)識屬于實(shí)證論范疇。但是需要說明的是，在這一水平層次上雖然要加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，但由于受知識、年齡等諸多因素影響。許多數(shù)學(xué)問題小學(xué)生還不能給出嚴(yán)格的證明，因此，在小學(xué)階段學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)還只是初步的，許多數(shù)學(xué)問題的解決有時(shí)更多地依賴于合情推理。

如教學(xué)“正方形的認(rèn)識”(三上)時(shí)，不能單純停留在測量、對折等操作層面上得出正方形的特征，而應(yīng)基于長方形已有的特征，通過操作(測量、對折等)得出正方形鄰邊相等，再結(jié)合正方形(特殊長方形)也應(yīng)有“兩組對邊分別相等”這一特征。推出正方形的“四條邊都相等”這一特征。這里，數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)并非僅憑學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)知識，而是在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上作進(jìn)一步簡單的邏輯推理，當(dāng)然這種推理(合情推理)還只是初步的，因?yàn)閷W(xué)生畢竟還不能給出嚴(yán)格的證明。

(6)方法論水平。

當(dāng)一般認(rèn)識論與實(shí)證論經(jīng)升華成為思想方法、思維工具和思維觀念時(shí)即成為方法論，具有此水平層次的學(xué)生能夠更廣泛、更深刻、更抽象地認(rèn)識世界。數(shù)學(xué)思想方法也可歸屬于方法論的范疇。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中雖然蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。但由于小學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平還達(dá)不到方法論的認(rèn)識水平，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)雖重要但還處于滲透教學(xué)階段。

比如。教學(xué)“圓的認(rèn)識”(五下)時(shí)，我們曾設(shè)計(jì)出如下的“投石子”比賽活動(dòng)：讓8個(gè)小朋友分別位于長方形地的頂角、各邊的中點(diǎn)向中心的簍子中投石子，誰投的多誰就獲勝。通過引導(dǎo)學(xué)生討論、思考，發(fā)現(xiàn)這種比賽對站在頂角的小朋友來說是不公平的，要做到比較公平，可將長方形地改為正方形地，進(jìn)一步改為圓形地才能做到絕對公平，因?yàn)榇藭r(shí)每個(gè)小朋友到簍子的距離都一樣。最后通過多媒體課件演示隨著參與“投石子”公平游戲人數(shù)的不斷增加，最終(由無數(shù)個(gè)人)形成了一個(gè)圓，從而較自然地揭示了圓的本質(zhì)特征(圓周上任一點(diǎn)到圓心的距離都相等)，這樣的活動(dòng)教學(xué)滲透了集合思想、極限思想。

上述6個(gè)水平層次中，(1)至(4)屬于一般認(rèn)識論階段(層次)，也叫做思辨認(rèn)識階段，其特點(diǎn)在于憑直接的思維去認(rèn)識對象。這樣的認(rèn)識范疇和深度自然是有限的；(5)屬于實(shí)證論階段(層次)，它比一般認(rèn)識論更為實(shí)在、更為深刻、更能深入到直觀和經(jīng)驗(yàn)不可及的深度和廣度，因而更為準(zhǔn)確；(6)屬于方法論階段(層次)，它的特點(diǎn)是憑借“軟”的思想方法去抽象地從而更為寬廣、深邃地認(rèn)識問題。

由上還可以看出。小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的6個(gè)層次并非嚴(yán)格地與小學(xué)生的年齡、學(xué)習(xí)年級層次相對應(yīng)。而是由學(xué)生的年齡特征、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的難易程度、學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)等因素共同決定的。認(rèn)識到這一點(diǎn)。才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中視具體教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，準(zhǔn)確確定學(xué)生已有水平層次和可應(yīng)達(dá)到的水平層次，以便采取相應(yīng)的有效教學(xué)策略。

二、對當(dāng)前有效開展小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)的幾點(diǎn)建議

數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)要想有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，就應(yīng)該精心設(shè)計(jì)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)和其他輔助活動(dòng)實(shí)現(xiàn)自身認(rèn)識、思維、個(gè)性等的形成和發(fā)展。對此，就當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效教學(xué)，提出如下幾點(diǎn)建議：

1善于引起學(xué)生觀念上的不平衡。

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維教學(xué)，要注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)過程教學(xué)，充分暴露學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，以準(zhǔn)確把握學(xué)生的真實(shí)思維水平，促使學(xué)生由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)化，由不知到知的轉(zhuǎn)化。注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)過程教學(xué)。除了把學(xué)生組織到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中來，讓他們動(dòng)手操作，討論解疑，更重要的是教師要善于引起學(xué)生觀念上的不平衡。做一個(gè)“理智的引路人”。這是由于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展就是觀念上的平衡狀態(tài)不斷遭到破壞。并又不斷達(dá)到新的平衡狀態(tài)的過程。因此。教師應(yīng)當(dāng)十分注意如何去引起學(xué)生觀念上的不平衡。給學(xué)生充分暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程的機(jī)會(huì)。也即應(yīng)當(dāng)善于設(shè)定這樣的環(huán)境。在其中。學(xué)生已有的知識和能力不足以解決所面臨的問題(達(dá)到目標(biāo))，從而產(chǎn)生觀念上的不平衡，能夠較為清楚地看到自身已有知識的局限性，并努力通過新的學(xué)習(xí)活動(dòng)達(dá)到新的、更高水平上的平衡。顯然。從這樣的角度去分析，除了提供正面(標(biāo)準(zhǔn))的范例，還必須通過適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑或反例(或變式)設(shè)計(jì)去引發(fā)出學(xué)生的“觀念沖突”，并幫助學(xué)生將正確觀念和錯(cuò)誤觀念進(jìn)行比較，促其作出自覺的“選擇”。

比如，教學(xué)過“梯形”的概念后，在出示幾個(gè)梯形圖形的正面(標(biāo)準(zhǔn))范例和反例后，還應(yīng)出示如下的變式圖形(兩腰“同向”)，讓學(xué)生去辨析。這種充分全面的變式教學(xué)。能充分暴露學(xué)生已有的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。并經(jīng)過教師的有效教學(xué)引導(dǎo)，促使學(xué)生突破定勢性的干擾，從具體到抽象概括的思維活動(dòng)趨于完善。對“梯形”概念的理解進(jìn)入更高的概括化程度。

2給學(xué)生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)。

有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)要能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。訓(xùn)練學(xué)生自我談話或彼此之間互問老師要問的問題。即自己提問題：“我要寫什么”、“我寫給誰看的”、“我要解釋什么”、“有什么步驟”、“別人能看得懂嗎”。激發(fā)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，一個(gè)行之有效的做法就是給學(xué)生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)。正如著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal)所提出的：“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造，這就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上就是這樣的‘再創(chuàng)造過程。我們在此并非是要機(jī)械地去重復(fù)歷史中的‘原始創(chuàng)造，而應(yīng)根據(jù)自己的體驗(yàn)并用自己的思維方式重新去創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。”由于小學(xué)數(shù)學(xué)教材經(jīng)過了教學(xué)法的加工，通常是用演繹的方

法把概念、公式、法則等內(nèi)容互相聯(lián)合起來成為一個(gè)統(tǒng)一體，這種形式在一定程度上顛倒了數(shù)學(xué)的實(shí)際發(fā)現(xiàn)過程。這就使得學(xué)生對知識的理解和抽象概括、邏輯推理等能力的表現(xiàn)處于暫時(shí)滯后狀態(tài)。對此，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合適的“再創(chuàng)造”情境，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)(數(shù)學(xué)思維)的學(xué)習(xí)，了解數(shù)學(xué)結(jié)論背后的豐富事實(shí)，從而對數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定律等數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)生發(fā)展有充分的認(rèn)識。

例如，教學(xué)“化分?jǐn)?shù)為小數(shù)”(五下)時(shí)，出示如下教例：“把3/4、7/25、9/40、2/9、5/14化成小數(shù)(除不盡的保留三位小數(shù))?！睘閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)如下的可“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)活動(dòng)：即通過“固定分母，改變分子”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，如將7/25、9/40(均可化為有限小數(shù))分別改為11/25、13/40(仍都可化為有限小數(shù))，使學(xué)生認(rèn)識到一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)與分子無關(guān)(暫時(shí)結(jié)論)；接著通過“固定分子，改變分母”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，如將。3/4(可化為有限小數(shù))、5/14(不能化為有限小數(shù))分別改為3/7(不能化為有限小數(shù))、5/8(能化為有限小數(shù))，使學(xué)生認(rèn)識到一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)一定與分母有關(guān)(暫時(shí)結(jié)論)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生探索得出一個(gè)分?jǐn)?shù)能化成有限(無限)小數(shù)應(yīng)具備的條件。但由于學(xué)生所得結(jié)論與教學(xué)目標(biāo)仍有一定的差距(結(jié)論中缺少“最簡分?jǐn)?shù)”這個(gè)條件)，因此可以讓學(xué)生思考“3/15的分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)3，卻能化成有限小數(shù)，這是為什么”，這一問題打破了學(xué)生剛剛建立起的“知識結(jié)構(gòu)”(分母只含有質(zhì)因數(shù)2或5的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)，否則不能化成有限小數(shù))，既為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”埋下了伏筆。又使學(xué)生受到了“運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展”的辯證唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育，(在后續(xù)學(xué)習(xí)中)認(rèn)識到“最簡分?jǐn)?shù)”這一條件的重要性，使學(xué)生在知識上逐步逐層地達(dá)到了終極目標(biāo)。

3向?qū)W生提供挑戰(zhàn)性認(rèn)知任務(wù)。

根據(jù)維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，為了確保數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)的有效性，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該向?qū)W生提供挑戰(zhàn)性認(rèn)知任務(wù)。挑戰(zhàn)性認(rèn)知任務(wù)是指那些稍微超出學(xué)生能力、但在專家的幫助下可以完成的任務(wù)，即處在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。與學(xué)生的能力形成了一種積極的不匹配狀態(tài)。維果茨基認(rèn)為，教學(xué)要重視學(xué)生“學(xué)習(xí)的最佳期限”，不應(yīng)盲目拔高和遲滯。以免錯(cuò)過“最近發(fā)展區(qū)”。這就要求教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)時(shí)，必須要考慮學(xué)生現(xiàn)有的水平層次，所提供的教學(xué)內(nèi)容或任務(wù)應(yīng)該能給學(xué)生造成積極的認(rèn)知沖突。

由此看來，數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)，所選擇的問題及安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)不但要適合于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，更應(yīng)該要考慮到促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向下一個(gè)數(shù)學(xué)思維階段發(fā)展，即要考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學(xué)思維發(fā)展的潛力。從而，加強(qiáng)學(xué)生對整理知識和重組知識能力的培養(yǎng)。使學(xué)生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索發(fā)現(xiàn)和解決問題。實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的深化和發(fā)展。

比如，教學(xué)“小數(shù)乘法”(五上)時(shí)，在學(xué)生已基本掌握小數(shù)乘法計(jì)算法則后。可設(shè)計(jì)如下的開放題：“根據(jù)積的小數(shù)位置。在因數(shù)上點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，使算式724×303與積219.372相等?！彪m然積的小數(shù)點(diǎn)已定位，但因數(shù)是幾位小數(shù)會(huì)有多種情況，具體可以讓學(xué)生充分進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)與交流，充分地發(fā)揮想象，作出多種不同的解答。這樣的教學(xué)符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論。有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平由“知識經(jīng)驗(yàn)層次”上升為“邏輯層次”。

4幫助學(xué)生正確表征數(shù)學(xué)問題。

要促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平上層次。就必須要幫助學(xué)生正確表征數(shù)學(xué)問題。一方面，數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)必須要重視3個(gè)關(guān)鍵要素：問題、語言和方法。問題。要與學(xué)生現(xiàn)實(shí)水平相符但又要高于學(xué)生實(shí)際水平。且學(xué)生經(jīng)過教師的引導(dǎo)和自己努力又能解決問題(最近發(fā)展區(qū)理論)；語言，要重視加強(qiáng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)；方法，要注意問題高于學(xué)生實(shí)際水平時(shí)，如何引導(dǎo)學(xué)生采取有效的數(shù)學(xué)方法來解決問題。另一方面，必須要訓(xùn)練學(xué)生陳述自己的假設(shè)及步驟，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)知識解釋所要解決的問題，培養(yǎng)學(xué)生從引述別人的言語到自行思考表達(dá)，特別要重視數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形等)表達(dá)能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生自我強(qiáng)化，加深對數(shù)學(xué)知識的理解。

不過，有必要指出的是，這里的問題具有相對性。同一個(gè)問題，對有的學(xué)生來說可能不構(gòu)成問題；相反，一般人認(rèn)為不成問題的問題，對有的學(xué)生來講，有時(shí)反而倒構(gòu)成問題。這就要求教師開展數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)，要重視幫助學(xué)生消除影響數(shù)學(xué)活動(dòng)效果的因素(如背景知識經(jīng)驗(yàn)、智慧水平、認(rèn)知特性、動(dòng)機(jī)強(qiáng)度、氣質(zhì)性格等)，以有助于學(xué)生正確地表征數(shù)學(xué)問題。

5引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”。

為了有效地引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”。教師在數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)中的主要任務(wù)應(yīng)當(dāng)是教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)地看、數(shù)學(xué)地想、數(shù)學(xué)地做。教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)地看，主要指的就是觀察；數(shù)學(xué)地想。就是要在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察事物的基礎(chǔ)上，提出數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而找到解決問題的途徑和方法，并獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)地做，就是要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

鑒于小學(xué)生的邏輯水平還只是處于初步水平。因此，為了引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，有效的教學(xué)方法之一就是開展“合情推理”或“常識推理”教學(xué)。合情推理的基本格式是，首先給出一個(gè)猜想，然后通過種種方式找出理由去證實(shí)(或證明，至少要說明)增強(qiáng)或否定其猜想的合理性。通常一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之得來。最初往往都要經(jīng)過這樣一個(gè)合情推理的過程，這就是著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說的名言“數(shù)學(xué)是猜出來的”原理所在。合情推理有時(shí)雖不能得到數(shù)學(xué)的最終結(jié)論，但卻是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的前期過程。

比如，教學(xué)“平行四邊形”(四下)時(shí)，雖然學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平(相對于此問題)基本處于第四層次(知識經(jīng)驗(yàn)水平)，但可以通過操作教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的合情推理。使學(xué)生解決問題的思維水平盡可能上升到“第五層次”(邏輯水平)上。具體做法是，給學(xué)生一組不同類型、不同大小的平行四邊形。引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)“兩組對邊分別平行”、“兩組對邊分別相等”、“兩組對角分別相等”、“兩組鄰角的和都是180°等許多重要性質(zhì)，再通過操作(測量、對折、平移等)、交流與討論，使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)之間的邏輯聯(lián)系。在此基礎(chǔ)進(jìn)行邏輯組織，最終發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)“基本性質(zhì)”可以“推出”(合情推理)其他部分或全部性質(zhì)(這里不同的學(xué)生會(huì)選擇不同的“基本性質(zhì)”)。顯然，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，雖沒有進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證，但卻抓住了平行四邊形概念內(nèi)涵的本質(zhì)，而且還能使學(xué)生領(lǐng)悟到“學(xué)會(huì)定義”這種數(shù)學(xué)活動(dòng)。

要引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，還必須要重視對學(xué)生的“體驗(yàn)性教育”，回歸尊重學(xué)生本性的追求，側(cè)重使學(xué)生形成獨(dú)立的問題意識和思考能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，促進(jìn)學(xué)生理解能力和個(gè)性的健全發(fā)展。對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“體驗(yàn)性教育”的目的，就是要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維“積極化”發(fā)展，這是當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)應(yīng)該值得重視的問題。為了確定學(xué)生是否能實(shí)現(xiàn)某種積極性的數(shù)學(xué)活動(dòng)以及教師的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是什么，必須要了解學(xué)生現(xiàn)有的真實(shí)思維水平以及必須要教給學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平，比較這兩個(gè)水平的目的就是要把學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平提高到我們要教的水平。教師必須要明確什么時(shí)候提高或降低所要教的數(shù)學(xué)活動(dòng)水平。以確保學(xué)生與教師的數(shù)學(xué)思維水平同步(平衡)甚至超前，為學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”創(chuàng)造良好的可能條件。