思維轉(zhuǎn)向：推導公式不落窠臼

雷清蘭

“現(xiàn)實生活中的許多問題的解決方式不唯一,答案也并不是唯一的,只要能解釋其合理性,就應該允許其存在,現(xiàn)實生活是這樣,源于生活的數(shù)學也是這樣,解決問題更應該這樣.”數(shù)學的學習,離不開對計算公式的理解與運用,從某種意義來說,幾何形體的學習,就是對它們的公式、定義、公理、定律等的把握與運用.我們在數(shù)學教學中,要時刻反思:我們的教學是否有效、是否高效,我們的教學方法、教學設計能否加入我們自己的想法,能否找些新的著力點.就像阿基米德說的那樣:“假如給我一個支點,我將撬起整個地球.”我想,我們的教學,就是需要多找找這樣的支點,以便讓我們的學生把一個個知識點“撬起來”.

一、思維轉(zhuǎn)個向,崎嶇變坦途

很多時候,我們的教學習慣于按既往的思路或者思維方法去進行,這就像野外的野生動物,為了安全起見,它們總是習慣于印著原來的腳印走路,殊不知,有經(jīng)驗的獵人,卻抓住它們的這一特點,屢屢得手.其實我們?nèi)祟愖约阂苍诓恢挥X中踐行著這一準則,只不過不自知而已.看看我們的幾個教學實例就知道了.

我們在教學北師大版課程標準實驗教科書《數(shù)學》五年級上冊,第27頁“三角形的面積”的時候,常常按部就班地進行.

下面是“三角形的面積”的部分課堂實錄:

師:要比較兩個三角形的大小就是比較什么呢?

生:要比較三角形的大小就是比較三角形的面積.(教師板書課題:三角形的面積.)

師:我們可以用什么方法比較呢?今天我們就一起來探索一回吧.

生:用數(shù)方格的方法比較三角形面積.

師:還有更加普遍的方法求三角形的面積嗎?

學生自主探究,動手操作,獲取新知.

師:前面我們只是猜想三角形面積是底和高乘積的的一半,還需進一步證明.大家回憶一下計算平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的.

生:用割補的辦法,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形,然后推導出計算平形四邊形面積的公式.

師:那么三角形能不能通過剪拼的辦法轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形呢?我們大家分小組來做個實驗,用你們手上的小三角形進行拼拼,探究一下吧.

學生探究以后,得出:兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形.

所以最后得出:三角形的面積=底×高÷2.

像上面這樣的教學進程應該是比較普遍也是比較正常的,相信絕大部分的教師也是這樣進行的.我們回過頭來看課本的安排也是這樣的(下圖是課本的插圖):

但如果我們把書倒過來以后,就會有新的發(fā)現(xiàn),別有一番趣味.把書倒過來以后,圖形卻成了下面這樣:

現(xiàn)在我們完全可以來一個“逆向思維”,反其道而行之:把一個平行四邊形沿對角線剪成兩個完全一樣的三角形.

那么,既然平行四邊形的面積等于底乘高,而三角形的面積等于平行四邊形面積的一半,即三角形的面積=底×高÷2.這樣,學生更加容易理解“底×高÷2”.

看,這樣的推導是多么的妙!既容易理解,又容易懂,剔除了很多繁文縟節(jié),一步到位,直中命門.

同樣,梯形面積的面積計算公式,也可以如法炮制,一樣會有意想不到的收獲.如五年級上冊第29頁的“梯形的面積”的教學:

在與學生一同探究出梯形的面積計算公式后,再讓學生研讀課本,學生對梯形面積的計算以及平行四邊形與梯形的關系自然能夠領悟得更加透徹.

通過上面的剪、疊、重合、比較,再推導出三角形、梯形的面積計算公式,對學生來說,無疑會起到激發(fā)興趣、發(fā)散思維的作用,可謂動手與操作并舉,思維共想象齊飛.

二、給變形鋪墊,思維軟著陸

在數(shù)學教學中,有些需要實驗操作完成的內(nèi)容,我們往往習慣于一個實驗解決問題,這樣做的好處是讓學生集中精神研究解決一個實驗.但它有一個明顯不足之處,就是對于那部分理解力稍微遲緩的學生,很難達到教學的預設.如果在實驗之前來個小實驗,那么效果會更好,這就像正餐之前的點心,更能起到刺激食欲的作用.

如對于圓柱的體積的教學,仿照課本上的切割拼的實驗之前,我先進行了這樣一個小實驗:

一個長寬高分別是8厘米、6.3厘米、10厘米的長方體硬紙盒,一個底面半徑是4厘米、高是10厘米的圓柱體硬紙盒.用圓柱體硬紙盒裝滿水(里面鋪上一個薄膜袋子),倒入長方體硬紙盒,發(fā)現(xiàn)它們差不多裝一樣多的水,然后讓學生觀察比較兩個立體模型的體積.

把兩個立體模型放在一起,讓學生試著根據(jù)剛才的實驗以及兩個模型的有關數(shù)據(jù)進行猜想:圓柱的體積與長方體的體積關系?圓柱的體積與圓柱本身的哪些量有關系?并說說自己猜想的理由.

有了這個實驗作鋪墊,討論、猜想自然很熱烈,學生們各抒己見,一下子把學習積極性以及探究的欲望調(diào)動起來了,大有不研究清楚不罷休的勢頭.

完成上述實驗與猜想后,再讓學生利用學具以小組合作的方式進行課本第36頁的實驗,相信這時候,學生對于圓柱體體積如何轉(zhuǎn)化成長方體體積進行計算的領悟已經(jīng)水到渠成了,對于計算公式的推導也能夠自己完成.

有了前面的實驗做臺階,學生的思維自然能很好地進行演繹與歸納,這就是“點心”的功效.

我們的教學有時需要給慣性思維急剎車,來一個一百八十度的急轉(zhuǎn)彎,這樣做的效果,無論是對學生還是對教師本身,其作用都是不言而喻的.對于學生來說,他們能夠得到兩種思維的洗禮,并在頭腦中發(fā)生碰撞,進而激發(fā)出創(chuàng)新思維的火花.

責任編輯羅峰