反演變換在調(diào)和函數(shù)研究中的應(yīng)用

趙天玉，劉 慶

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

反演變換在調(diào)和函數(shù)研究中的應(yīng)用

趙天玉，劉 慶

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

反演變換也稱(chēng)逆矢徑變換，有著比較獨(dú)特的幾何性質(zhì)，是一種有效的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用十分廣泛。首先給出了反演變換的定義，然后利用反演變換和凱爾文(Kelvin)變換重點(diǎn)討論了調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)及其應(yīng)用,并給出了8個(gè)相關(guān)命題及其證明。

反演變換；調(diào)和函數(shù)；凱爾文(Kelvin)變換

反演變換也稱(chēng)逆矢徑變換，有著比較獨(dú)特的幾何性質(zhì)，在幾何[1,2]、復(fù)變函數(shù)[3]和求解靜電場(chǎng)的電位分布中有廣泛的應(yīng)用[4～6]。實(shí)際上，在求解球形域和圓形域內(nèi)調(diào)和方程第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)時(shí)，就用到了反演變換[7]。研究調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)時(shí)也常常用到反演變換。筆者首先給出了反演變換的定義，然后利用反演變換和凱爾文(Kelvin)變換重點(diǎn)討論了調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)及其應(yīng)用。

1 反演變換

定義1設(shè)T為空間R3上的一一變換，記以O(shè)為球心，R為半徑的球面為B(O，R)，對(duì)空間中異于O的點(diǎn)A，在OA或OA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)A′，使得：

OA·AO′=R2

在T變換下，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，則稱(chēng)T為關(guān)于球面B(O，R)的空間反演變換，記作A′=T(A)。

相應(yīng)地，稱(chēng)點(diǎn)A′為點(diǎn)A關(guān)于球面B(O,R) 的反演點(diǎn)，稱(chēng)B(O,R)為反演球面，O為反演中心，R為反演半徑。

顯然，點(diǎn)A也是點(diǎn)A′的反演點(diǎn)，稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)A′關(guān)于球面B(O,R)互為反演點(diǎn)。

規(guī)定：球心O與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于球面B(O,R)互為反演點(diǎn)。

在球面坐標(biāo)下，設(shè)球心O在原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(r，θ，φ)，ρ=R2/r，點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(ρ，θ，φ)，則點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于球面B(O,R)的反演點(diǎn)。

平面反演變換的定義與空間反演變換的定義類(lèi)似，只要將球心改為圓心，球面B(O，R) 改為圓周C(O,R)即可。在極坐標(biāo)下，設(shè)圓心O在原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(r，θ)，ρ=R2/r，點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(ρ，θ) ，則點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于圓周C(O,R)的反演點(diǎn)。

定義2設(shè)F為Rn(n≥3)上的一一變換，記以O(shè)為球心的單位超球面為B(O,1)，對(duì)Rn中異于O的點(diǎn)x，記：

ξ=x/|x|2

在F變換下，點(diǎn)x對(duì)應(yīng)點(diǎn)ξ，則稱(chēng)F為Rn中關(guān)于單位球面的反演變換，記作ξ=F(x)。

相應(yīng)地，稱(chēng)點(diǎn)ξ為點(diǎn)x關(guān)于單位球面的反演點(diǎn)，稱(chēng)O為反演中心。

顯然，點(diǎn)x也是點(diǎn)ξ的反演點(diǎn)，稱(chēng)點(diǎn)x，點(diǎn)ξ關(guān)于單位球面互為反演點(diǎn)。

規(guī)定：球心O與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于單位球面互為反演點(diǎn)。

2 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)平面區(qū)域Ω為圓周C(O，R) 以外的無(wú)界區(qū)域，它的反演區(qū)域?yàn)棣?。u(r,θ)是Ω中有界的調(diào)和函數(shù)，函數(shù)：

v(ρ，θ)=K[u(r,θ)]=u(R2/ρ，θ)

稱(chēng)為函數(shù)u(r,θ)的凱爾文(Kelvin)變換，這里ρ=R2/r。則函數(shù)v(ρ，θ)在區(qū)域Ω1中除去原點(diǎn)O外是調(diào)和的。

證明由反演變換的定義可知，當(dāng)M=(r,θ)在Ω中變化時(shí)，M1=(ρ，θ)在Ω1中變化。由于u(r,θ)在區(qū)域Ω中調(diào)和，故:

Δr,θu=urr+(1/r)ur+(1/r2)uθθ=0

(1)

令r=R2/ρ，顯然當(dāng)r≠+∞時(shí)，ρ≠0。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：

vρ=-(R2/ρ2)urvρρ=(2R2/ρ3)ur+(R4/ρ4)urr

vθ=uθvθθ=uθθ

代入形如式(1)極坐標(biāo)下的拉普拉斯算子表達(dá)式可得：

Δρ，θv=(R4/ρ4)Δr,θu=0

故v(ρ，θ)在區(qū)域Ω1中除去原點(diǎn)O外是調(diào)和的。

性質(zhì)2設(shè)空間區(qū)域Ω整個(gè)地包含在以原點(diǎn)O為球心、R為半徑的球面B(O，R)中，u(r,θ，φ)是此區(qū)域中的調(diào)和函數(shù)，其中(r,θ，φ)表示Ω中動(dòng)點(diǎn)M的球坐標(biāo)。記ρ=R2/r，點(diǎn)M1=(ρ,θ,φ)是點(diǎn)M關(guān)于球面B(O,R)的反演點(diǎn)。以Ω1表示Ω的反演區(qū)域，則函數(shù):

v(ρ,θ,φ)=(R/ρ)u(R2/ρ，θ，φ)

(2)

是區(qū)域Ω1中的調(diào)和函數(shù)(無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)除外)。

證明由反演變換的定義可知，當(dāng)M=(r,θ,φ)在Ω中變化時(shí)，M1=(ρ，θ，φ)在Ω1中變化。由于u(r,θ,φ)在區(qū)域Ω中調(diào)和，故:

Δr,θ，φu=urr+(2/r)ur+(1/r2)uθθ+[cosθ/(r2sinθ)]uθ+[1/(r2sin2θ)]uφφ=0

(3)

令r=R2/ρ，顯然ρ≠0，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：

vρ=-(R/ρ2)u-(R3/ρ3)ur

vρρ=(2R/ρ3)u+(4R3/ρ4)ur+(R5/ρ5)urr

vθ=(R/ρ)uθvθθ=(R/ρ)uθθ

vφ=(R/ρ)uφvφφ=(R/ρ)uφφ

代入形如式(3)球坐標(biāo)下的拉普拉斯算子表達(dá)式可得：

Δρ,θ,φv=(R5/ρ5)Δr,θ,φu=0

故v(ρ,θ,φ)在區(qū)域Ω1中除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外是調(diào)和的。

性質(zhì)3設(shè)空間區(qū)域Ω為球面B(O，R)以外的無(wú)界區(qū)域，u(r,θ,φ)在Ω中調(diào)和，函數(shù)v(ρ,θ,φ)的表達(dá)式如式(2)，稱(chēng)為函數(shù)u(r,θ,φ)的凱爾文(Kelvin)變換，記為：

v(ρ，θ,φ)=K[u(r,θ,φ)]

則函數(shù)v(ρ,θ,φ)在區(qū)域Ω的反演區(qū)域Ω1中除去原點(diǎn)O外是調(diào)和的。

證明由反演變換的定義知，區(qū)域Ω1在球面B(O，R)的內(nèi)部，由于Ω是無(wú)界區(qū)域，區(qū)域Ω1包含原點(diǎn)O。函數(shù)v(ρ，θ,φ)在區(qū)域Ω1中調(diào)和的驗(yàn)證同性質(zhì)2類(lèi)似，只是注意當(dāng)r≠+∞時(shí)ρ≠0。故函數(shù)v(ρ,θ,φ)在區(qū)域Ω的反演區(qū)域Ω1中除去原點(diǎn)O外是調(diào)和的。

性質(zhì)4設(shè)Ω為Rn(n≥3)中的有界區(qū)域，記ξ=x/|x|2為x關(guān)于單位球面的反演點(diǎn)，Ω1={ξ|ξ=x/|x|2，x∈Ω}。假設(shè)u是定義在Ω上的函數(shù)，它的凱爾文(Kelvin)變換是定義在Ω1上的函數(shù):

K[u(x)]=v(ξ)=|ξ|2-nu(x)x=ξ/|ξ|2ξ∈Ω1

則u是Ω上的調(diào)和函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)v(ξ)是Ω1上的調(diào)和函數(shù)。

證明記φ(ξ)=|ξ|2-n,ξ∈Ω1，易知φ(ξ)是Ω1上的調(diào)和函數(shù)，即Δξφ=0。經(jīng)計(jì)算知:

Δξv=φΔξu+2ξφξu+uξφ

容易求得:

代入上式可得：

Δv(ξ)=|ξ|-n-2Δxu(x)=|x|n+2Δxu(x)

由上式可以看出，如果u是Ω上的調(diào)和函數(shù)，那么v(ξ)是Ω1上的調(diào)和函數(shù)。反之亦然。

附注：若Ω包含原點(diǎn)O，則Ω1是無(wú)界區(qū)域。要求v(ξ)在Ω1上調(diào)和，且當(dāng)|ξ|→+∞時(shí)，v(ξ)=O(|ξ|2-n)。

3 應(yīng) 用

命題1通過(guò)凱爾文(Kelvin)變換，可將平面Dirichlet外問(wèn)題化為Dirichlet內(nèi)問(wèn)題。

證明設(shè)所給的Dirichlet外問(wèn)題為：

(4)

并設(shè)閉曲線Γ內(nèi)部的區(qū)域?yàn)棣浮Ｈ籀浮浒c(diǎn)O，可通過(guò)坐標(biāo)的平移變換，使原點(diǎn)落在Ω內(nèi)，并不改變u的調(diào)和性。因此下面的證明都假定原點(diǎn)O在Ω內(nèi)。

(5)

其中f1(ρ，θ)=f(R2/ρ,θ)。下面討論v(ρ,θ)在原點(diǎn)的調(diào)和性。

由于：

故平面Dirichlet外問(wèn)題(4)可化為Dirichlet內(nèi)問(wèn)題(5)。

命題2通過(guò)凱爾文(Kelvin)變換，可將空間Dirichlet外問(wèn)題化為Dirichlet內(nèi)問(wèn)題。

證明設(shè)所給的Dirichlet外問(wèn)題為：

(6)

并設(shè)閉曲面Γ內(nèi)部的區(qū)域?yàn)棣浮Ｈ籀浮浒c(diǎn)O，可通過(guò)坐標(biāo)的平移變換，使原點(diǎn)落在Ω內(nèi)，并不改變u的調(diào)和性。因此下面的證明都假定原點(diǎn)O在Ω內(nèi)。

(7)

其中f1(ρ，θ，φ)=(R/ρ)f(R2/ρ,θ,φ)。下面討論v(ρ,θ,φ)在原點(diǎn)的調(diào)和性。

由于：

故Dirichlet外問(wèn)題(6)可化為Dirichlet內(nèi)問(wèn)題(7)。

命題3空間無(wú)界區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)u(M)及其偏導(dǎo)數(shù)ur(M)若在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零，那么u(M)=O(1/r)，ur(M)=O(1/r2)(r→+∞)。這里r=|OM|。

證明由命題2的證明過(guò)程知，當(dāng)u(r,θ,φ)在無(wú)界區(qū)域內(nèi)調(diào)和，在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零時(shí)，u(r,θ,φ)的凱爾文(Kelvin)變換函數(shù)：

v(ρ,θ,φ)=K[u(r,θ,φ)]=(R/ρ)u(R2/ρ,θ,φ)

|(r/R)u(r,θ,φ)|≤A

即：

|u(r,θ,φ)|≤c/r

這就證明了：

u(M)=O(1/r) (r→+∞)

又v(ρ,θ,φ)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)調(diào)和，由調(diào)和函數(shù)的解析性定理[7]知，v(ρ,θ,φ)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展開(kāi)成ρ的冪級(jí)數(shù)，即:

v(ρ,θ,φ)=(R/ρ)u(R2/ρ,θ,φ)=A0+A1ρ+A2ρ2+…+Anρn+…

(8)

其中，Ai(i=0,1,2,…)是與ρ無(wú)關(guān)的有界量。令r=R2/ρ，代入式(8)可得：

u(r,θ,φ)=(A0R)/r+(A1R3)/r2+(A2R5)/r3+…+(AnR2n+1)/rn+1+…

兩邊關(guān)于r求偏導(dǎo)數(shù)得：

ur=-{(A0R)/r2+(2A1R3)/r3+(3A2R5)/r4+…+[(n+1)AnR2n+1]/rn+2+…}

即：

ur(M)=O(1/r2) (r→+∞)

命題4設(shè)Ω為Rn(n≥3)中的有界區(qū)域，u(x)為Ω外的調(diào)和函數(shù)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零，則：

u(x)=O(|x|2-n(|x|→+∞)

證明由于坐標(biāo)平移變換不改變u(x)的調(diào)和性，不妨假設(shè)Ω包含原點(diǎn)。記：

D=RnD1={ξ|ξ=x/|x|2，x∈D}

則u(x)是D上的調(diào)和函數(shù)，D1是有界區(qū)域。

考慮u(x)的凱爾文(Kelvin)變換:

K[u(x)]=v(ξ)=|ξ|2-nu(x)x=ξ/|ξ|2ξ∈D1

由命題7知，v(ξ)是D1lt;FounderNodename0}上的調(diào)和函數(shù)，并且ξ=0為v(ξ)的孤立奇點(diǎn)。由于:

故當(dāng)ξ→0時(shí)，v(ξ)=o(|ξ|2-n)。利用調(diào)和函數(shù)的可去奇點(diǎn)定理[8]知，ξ=0是v(ξ)的可去奇點(diǎn)，從而v(ξ)在D1內(nèi)有界。即存在正常數(shù)C，使得：

|v(ξ)|≤Cξ∈D1

也就是當(dāng)|x|足夠大時(shí)有:

||x|n-2u(x)|≤C

因此:

u(x)=O(|x|2-n(|x|→+∞)

[1]張水勝，李祥林，劉彩平. 空間反演變換及性質(zhì)[J]. 高師理科學(xué)刊，2000，20(1)：7～8.

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[8]王明新，王曉光. 數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.173～229.

[編輯] 洪云飛

O174

A

1673-1409(2009)03-N001-04

2009-05-23

趙天玉(1958-)，男，1981年大學(xué)畢業(yè)，碩士，教授，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。