一類二階半線性橢圓方程邊值問題正解的熄滅現(xiàn)象

熊 駿 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

一類二階半線性橢圓方程邊值問題正解的熄滅現(xiàn)象

熊 駿 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

討論了一類二階半線性橢圓方程u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0的第一類邊值問題:u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0,u(t0)=u(t1)=0，0lt;t0lt;t1lt;+∞的徑向正解的熄滅現(xiàn)象。在假設(shè)條件f∈C1(0,+∞)，f(t)/tλ在(0,+∞)上非增，λ∈[0，1)下通過變量代換與構(gòu)造積分等式得到該問題的徑向正解出現(xiàn)熄滅現(xiàn)象的充要條件。

熄滅現(xiàn)象；徑向正解；邊值問題

對二階半線性橢圓方程Δu+f(u)=0(x∈Ω，Ω為n≥2維歐氏空間的環(huán)域)的正解的存在惟一性討論有很多結(jié)果[1～4]，而對該問題解的性態(tài)討論較少。筆者通過變量代換與構(gòu)造積分等式得到該問題在f(t)在t=0具有奇性的第一類邊值問題徑向正解出現(xiàn)熄滅現(xiàn)象的充要條件。

1 問題的提出與基本假設(shè)

當考察方程Δu+f(u)=0的徑向解時,方程化為:

(1)

(2)

此時方程(1)的第一邊值問題：u|x|=r0=u|x|=r1=0 轉(zhuǎn)化為：

u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0u(t0)=u(t1)=0 0lt;t0lt;t1lt;+∝

當n=2時，利用變量代換t=-lnr，方程(1)化為：

u″(t)+θ(t)f(u(t))=0θ(t)=e-2tgt;0

為簡潔起見，筆者考察方程(2)的兩點邊值問題：

u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0u(t0)=u(t1)=0 0lt;t0lt;t1lt;+∞

(3)

的正解的熄滅現(xiàn)象。假設(shè)條件為：f∈C1(0,+∞)；f(t)/tλ在(0,+∞)上非增，λ∈[0,1)。

2 主要結(jié)論

定理1在如上條件假設(shè)下,問題(3)的正解有熄滅現(xiàn)象的充要條件是對任意m∈R+有：

(4)

由方程(2)知當t∈(t0,t1),u(t)為凸函數(shù)，在t∈(t0,t*),u′(t)gt;0且單調(diào)減少，又由于ρ(t)=((n-2)t)-kgt;0是單調(diào)減少函數(shù)，所以：

同樣在u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0兩端乘以u′(t),從t*到t積分得：

[1]Fang Z Z.The domain for existence of positive solutions of boundary value problem of Δu+f(u)=0 and quenching phenomenon[J].Appl Math,1987, (3):49～56.

[2]Smollar J A, Wasserman A G.Existence uniqueness and nondegenracy of positive solutions of semi linear elliptic equations[J].Comm Math Phys, 1984, 95(1):129～159.

[3]Garaizar X.Existence of positive radial solutions for semi linear elliptic equations[J].J D E, 1987,70(1):69～92.

[4]熊駿.一類二階半線性橢圓型方程的徑向基態(tài)解[J].長江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，5(2)：N03～04.

[編輯] 洪云飛

O175.25

A

1673-1409(2009)01-N008-02

2008-09-10

熊駿(1967-)，男，1989年大學(xué)畢業(yè)，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事微分方程方面的教學(xué)與研究工作。