開口弧具高階奇性解Hilbert核方程的求解

陳荊松 (中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院， 湖北 武漢 430073)

陳俊文 (湖北省沙市中學(xué)， 湖北 荊州 434000)

開口弧具高階奇性解Hilbert核方程的求解

陳荊松 (中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院， 湖北 武漢 430073)

陳俊文 (湖北省沙市中學(xué)， 湖北 荊州 434000)

在開口弧具高階奇性解Hilbert核方程完全方程的Nother定理的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用基礎(chǔ)解系，改寫了未知函數(shù)在H類(或H*類)情形下特征方程的解，得到了開口弧具高階奇性解的Hilbert核奇異積分方程的特征方程。

開口弧；高階奇性；Hilbert核方程；基礎(chǔ)解系

關(guān)于Cauchy核奇異積分方程的討論已有較為完備的結(jié)論[1～6]，特別是開口弧情形的補(bǔ)充[6]，使得之前僅限于閉口弧的討論更加完備。關(guān)于Hilbert核情形的奇異積分方程，筆者曾在文獻(xiàn)[7]中討論了其在開口弧具高階奇性解的積分方程，給出了完全方程的Nother定理，并對(duì)解的一般特性作出了描述。下面，筆者將在此基礎(chǔ)上對(duì)特征方程：

(1)

1 未知函數(shù)在H類(或H*類)情形下特征方程解的改寫

在H類或H*類情形下，對(duì)于方程(1)，有：

(i)κgt;0,γ≠或=(2k+1)π時(shí)，方程(1)的解分別為:

(2)

(3)

(ii)當(dāng)κ=0,γ≠(2k+1)π時(shí)，方程(1)有唯一解:

φ(t)=N*f+(f1-f0tan(γ/2))B*(t)Z(t)

φ(t)=N*f+CB*(t)Z(t) (C為任意常數(shù))

(iii)當(dāng)κlt;0，可解條件：

f0sin(γ/2)=f1cos(γ/2)fj-2=fjj=2,…,-κ

正交條件為：

(4)

當(dāng)γ≠(2κ+1)π時(shí)：

φ(t)=K*f-f0tan(γ/2)B*(t)Z(t)=N*f

當(dāng)γ=(2k+1)π時(shí)：

φ(t)=K*f-f1B*(t)Z(t)=N*f

與文獻(xiàn)[8]不同，當(dāng)κlt;0時(shí)，得出解的統(tǒng)一表達(dá)式及可解條件幾何意義明顯正交化。

注1上面的討論對(duì)L為開口弧或有節(jié)點(diǎn)的曲線亦有類似結(jié)果。

2 特征方程的求解

ω(t)=φ(t)-T(tan(t/a))/Π(t)

(5)

這里與閉口弧情形不同之處在于上式中的積分項(xiàng)不易計(jì)算出具體值。

但由于F(t)∈H*，由上面的討論有：

(1)當(dāng)κgt;0時(shí)，方程(1)無(wú)條件可解：

(6)

從式(5)得到φ(t)關(guān)于ω(t)的表達(dá)式后，將式(6)代入得到:

(7)

再由文獻(xiàn)[6]有：

(8)

(9)

另一方面，式(8)中:

(10)

將式(9)和式(10)代回式(8)計(jì)算后再代回式(7)有：

(11)

(12)

(2)當(dāng)κ=0時(shí)，分以下2種情況：

(i)γ≠(2κ+1)π時(shí)，方程(1)有唯一解:

(ii)γ=(2κ+1)π時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng):

滿足時(shí)，方程(1)有解：

(3)當(dāng)κlt;0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)條件:

滿足時(shí)，方程(1)有唯一解式(11)(Pκ(t)≡0)。

[1]路見(jiàn)可. 沿曲線的積分方程，其解具有一階奇性[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1964，(1):1～13.

[2]路見(jiàn)可，張桂生. 具一階奇性解的奇異積分方程[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1997，43(3):273～280.

[3]鐘壽國(guó),趙新泉. 具高階奇性解的奇異積分方程(I)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1997，43(5):553～559.

[4]鐘壽國(guó),趙新泉. 具高階奇性解的特征奇異積分方程(II)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1998，44(1):5～10.

[5]鐘壽國(guó). 具高階奇性解的奇異積分方程的推廣Noether定理[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 1998，13A(3):361～366.

[6]Zhong Shou-guo. Singular integral equations along an open arc with solution having singularities of higher order[J]. Acta Mathematica Scientia, 2005,25B(2):193～200.

[7]陳荊松,鐘壽國(guó),陳俊文.開口弧具高階奇性解的Hilbert核奇異積分方程[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,5(1):N10～12.

[8]路見(jiàn)可. 周期Riemann邊值問(wèn)題及其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1963, 3(3):343～388.

[編輯] 洪云飛

O175.8

A

1673-1409(2009)01-N005-03

2008-12-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10471107)。

陳荊松(1979-)，男，2000年大學(xué)畢業(yè)，博士，講師，現(xiàn)主要從事復(fù)分析理論方面的教學(xué)與研究工作。