關(guān)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思考

李鳳忠

關(guān)鍵詞:模仿;變式;領(lǐng)悟;分析

中圖分類(lèi)號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B

文章編號(hào):1009-010X(2009)09-0063-02

波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中指出:“一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法:沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研,我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答,而且在任何情況下,我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平?！边@就說(shuō)明,分析解題過(guò)程不僅能“改進(jìn)”解答,而且能提高“理解”水平。

一、簡(jiǎn)單模仿——學(xué)會(huì)解題的初步體驗(yàn)

例:如圖,AB∥CD,求證:∠B+∠D=∠BED

分析:(1)為了證明兩個(gè)角的和等于一個(gè)角,需要建立這三個(gè)角之間的聯(lián)系。

(2)由于已知條件只有一個(gè)AB∥CD,所以作輔助線EF∥AB,產(chǎn)生了AB∥CD∥EF(如圖1),把∠BED分成兩個(gè)角,與∠B和∠D也建立了聯(lián)系。

(3)證明∠B=∠BEF,∠D=∠DEF;∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED。

(4)由平行線的性質(zhì)得出內(nèi)錯(cuò)角相等,得出證明結(jié)論

證明一:如圖1,作EF∥AB,因?yàn)?AB∥CD,所以 EF∥CD;所以,∠B=∠BEF,∠D=∠DEF;所以,∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED。

評(píng)析:上述處理有分析、有啟引,注重了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,幾何論證能力在潛移默化中得到提高。這時(shí)我們要讓學(xué)生模仿證明方法,探索新的解法。

學(xué)生通過(guò)模仿探究出如圖2的解法,運(yùn)用兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)知識(shí),得出證法二:作EF∥AB,因?yàn)锳B∥CD,

所以EF∥CD;所以,∠B+∠BEF=180°,∠D+∠DEF=180°;又因∠BEF+∠DEF+∠BED=360°,所以,∠B+∠D=∠BED。

二、變式練習(xí)——主動(dòng)實(shí)踐與應(yīng)用

引導(dǎo)學(xué)生分析題中已知條件,觀察圖中的線段,借助“有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合”,得出如下信息:

證法三:如圖3:延長(zhǎng)BE交

CD于F。則∠BED=∠EFD+∠D;又因AB∥CD,所以,∠B=∠BFD;所以∠BED=∠B+∠D。

證法四:如圖4:延長(zhǎng)DE交AB于F。與證法三類(lèi)同。

證法五:如圖5:連接BD,則∠BED+∠EBD+∠BDE=180°;又因?yàn)锳B∥CD,所以∠ABE+∠EBD+∠BDE+∠EDC=180°;

所以∠BED=∠ABE+∠EDC。

評(píng)析:上述三種證明方法通過(guò)作輔助線,構(gòu)造出了三角形,再借助平行線的性質(zhì),建立了∠BED和∠B、∠D的聯(lián)系,學(xué)生易于掌握并得出證明方法。

三、自發(fā)領(lǐng)悟——解題后的再思考

在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中,我們會(huì)到此為止,認(rèn)為思路已經(jīng)打通,學(xué)生都想出5種證法了,還有什么不滿(mǎn)足的呢?如果此時(shí)此刻,忽視解題后的再思考,也就錯(cuò)過(guò)提高的最好機(jī)會(huì),應(yīng)對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo),是否從上面的幾種證法中,將某些線段進(jìn)行平移,得出新的證法?

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,組織學(xué)生探索、交流,得出將圖4中的線段DF向右平移,使點(diǎn)F與點(diǎn)B重合,交CD的延長(zhǎng)線于G。

證法六:如圖6,由平移得到BG∥ED,則∠CDE=∠G;∠BED+∠EBG=180°;又因AB∥CD,則∠ABE+∠EBG+∠G

=180°;即∠ABE+∠G=∠ABE+∠D=180°-∠EBG;所以,∠BED=∠ABE+∠EDC。

證法七:如圖7,將圖3中的線段BF向右平移,使點(diǎn)F與點(diǎn)D重合,交AB的延長(zhǎng)線于G,下面證法同證法六。

證法八:如圖8,將圖5中的線段BD向左平移至GF,使點(diǎn)E在GF上;這樣構(gòu)造出了△BGE和△DFE,則由三角形內(nèi)角和定理得到:∠B+∠BGE+∠BEG=180°,∠D+∠DEF+∠DFE=180°,所以∠B+∠D=360°-∠BGE-∠BEG-∠DEF-

∠DFE=360°-(∠BGE+∠DFE)-(∠BEG+∠DEF)又因AB∥CD,∠BGE+∠DFE=180°;而∠BED=180°-(∠BEG+∠DEF)所以∠BED=∠B+∠D。

評(píng)析:上述三種證法通過(guò)平移線段得到新的方法,仍然是建立∠BED和∠ABE、∠EDC三者之間的聯(lián)系,使探究問(wèn)題得到升華。教師的主導(dǎo)作用就在于相機(jī)引導(dǎo),使學(xué)生處于“憤”、“悱”狀態(tài),發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力,有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,領(lǐng)悟了平面幾何證明題的魅力。

四、自覺(jué)分析——暴露數(shù)學(xué)思維的過(guò)程

對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行自覺(jué)的反思,使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu),這是一個(gè)通過(guò)已知學(xué)未知、通過(guò)分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”的過(guò)程,也是一個(gè)理解從自發(fā)到自覺(jué)、從感性到理性、從基礎(chǔ)到創(chuàng)新的飛躍階段。

讓學(xué)生審視上述幾種證明方法,證法一、二、三、四、八作的輔助線均過(guò)E點(diǎn),看看哪位同學(xué)有新的發(fā)現(xiàn)?學(xué)生通過(guò)自覺(jué)反思,合作交流得到如下的證明方法:

證法9:順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圖8中的線段GF,得到圖9,其證法與證法八類(lèi)同。

證法10:繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圖中的線段GF,當(dāng)GF與EB重合時(shí)(和證法三同),繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)得到圖10。

因?yàn)椤螦BE=∠F+∠BEF,∠FED=∠G+∠D;又因AB∥CD,所以∠F=∠G,∠ABE+∠G+∠D=∠F+∠BEF+∠FED=∠F+∠BED,即∠BED=∠ABE+∠D。

繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圖10中的線段GF,當(dāng)GF與AB、CD沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),情況是怎樣的?同學(xué)們一個(gè)個(gè)摩拳擦掌,躍躍欲試,得出GF∥AB∥CD(這樣就歸結(jié)到了證法一、二),讓學(xué)生感受了極限思想。

評(píng)析:通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)E點(diǎn)的輔助線,實(shí)現(xiàn)了上述幾種證法的有機(jī)統(tǒng)一,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到只要作過(guò)E點(diǎn)的直線即可得到證明方法。這是因?yàn)橛辛诉@條線,就建立起了∠BED和∠ABE、∠EDC的聯(lián)系;本課例的數(shù)學(xué)對(duì)象是生動(dòng)有趣的,學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)也是積極活躍的。一題多解是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑。由靜止到運(yùn)動(dòng),開(kāi)闊了學(xué)生的視野,感悟了問(wèn)題解決的美妙。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),需要學(xué)生用內(nèi)心的體驗(yàn)與創(chuàng)造的方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生生動(dòng)活潑、主動(dòng)發(fā)展的情境,讓學(xué)生親歷探究過(guò)程。只有這樣,教師才能成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者與合作者。