數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用

李　奎　尹文麗

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該看成是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過程以及數(shù)學(xué)思維結(jié)果這三者的綜合?？梢哉f數(shù)學(xué)思維是動(dòng)的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)知識本身是靜的數(shù)學(xué),這三者是辨證統(tǒng)一。數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系猶如人體的血肉關(guān)系,血液之榮枯外現(xiàn)于形體之盛衰。就是說數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱直接影響著人們掌握和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的廣狹和深淺。

數(shù)學(xué)思維方式的層次和類型也有各種不同的劃分,根據(jù)這種劃分,我們可以得出下列結(jié)論:

(1)數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動(dòng)的形式可以分成邏輯思維、形象思維和直覺思維三類。

數(shù)學(xué)直覺思維是包括數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)靈感的一種獨(dú)立表現(xiàn)形式。是能夠迅速地直接地洞察或領(lǐng)悟?qū)ο笮再|(zhì)的思維方式,它們以思維的跳躍性或突發(fā)性為主要特征,用阿達(dá)瑪?shù)脑拋碚f,“直覺”思維是以相當(dāng)多的無意識“成分”,思維過程更分散,迅速和省略為特征。

(2)數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。

集中思維是指從一個(gè)方向深入問題或朝著一個(gè)目標(biāo)前進(jìn)的思維方式?！霸诩兴季S時(shí),全部信息僅僅是導(dǎo)致一個(gè)正確的答案或一個(gè)人們認(rèn)為最好的或最合乎慣例的答案”。

發(fā)散思維則是具有多個(gè)思維指向,多種思維角度并能發(fā)現(xiàn)多種解答或結(jié)果的思維方式。在發(fā)散思維時(shí),“我們是沿著各種不同的方向去思考的,即有時(shí)去探索新遠(yuǎn)景,有時(shí)去追求多樣性”。

(3)數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。

再現(xiàn)性思維是一種整理性的一般思維活動(dòng),而創(chuàng)造性思維是與創(chuàng)造活動(dòng)——與數(shù)學(xué)有關(guān)的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等能產(chǎn)生新穎、獨(dú)特、有社會(huì)或個(gè)人價(jià)值的精神或物質(zhì)產(chǎn)品的活動(dòng)相聯(lián)系的思維方式,創(chuàng)造性思維是再現(xiàn)性思維的發(fā)展,再現(xiàn)性思維是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)。

(4)多維型思維在具體的數(shù)學(xué)思維過程中,相互交叉。

數(shù)學(xué)形象思維和數(shù)學(xué)邏輯思維往往是交線,在一起不能分開的。它們相互滲透,相互啟發(fā),并向立體思維轉(zhuǎn)化,使思維的方向朝著不同的角度、不同的方面拓展開來,呈現(xiàn)出一種發(fā)散的多維型思維的特征,進(jìn)而使原來的思維向更高級的思維形式——辯證思維升華。

要正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維獲得數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題,就要使思維進(jìn)程符合客觀運(yùn)動(dòng)的辨證規(guī)律。因此,主體進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)時(shí)使用科學(xué)辨證的操作方式是發(fā)展數(shù)學(xué)思維和指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

集中思維的特點(diǎn)是思維集中,所有信息都朝著一個(gè)目標(biāo)深入發(fā)展以生成新信息。集中思維在思維方向上具有定向性、層次性和聚合性(或收放性);在思維內(nèi)容上具有求同性和專注性。它是深刻地理解概念,正確地解決問題,完整地掌握知識系統(tǒng)的重要思維方式。

(1)定向思維(或正向思維)是集中思維的一種形式,它是按照常規(guī)習(xí)慣形成的沿著固定方向,采用一定的模式或方法進(jìn)行的對問題的分析思考。思維定勢在適合的條件下,一般能迅速地聯(lián)想和使用已有的知識與技能來分析和解決問題,表現(xiàn)了正遷移作用。

思維定勢的正遷移作用還表現(xiàn)在,它又是類比、聯(lián)想等思維活動(dòng)得以展開的基礎(chǔ),特別是思維定勢與直覺有直接的關(guān)系。直覺是思維定勢的一種潛在表現(xiàn)。但是過分強(qiáng)調(diào)定向思維后卻容易引起負(fù)遷移,表現(xiàn)出思維僵化、呆板等封閉性,而不能從多角度、全面地看問題。特別是在解決一些非常規(guī)的或探索性、開放性的數(shù)學(xué)問題就會(huì)束手無策。

(2)縱向思維是集中思維的另一種形式,它是把思維目標(biāo)沿著逐步深入的方向,分解成若干個(gè)前后聯(lián)系的小目標(biāo)。(稱為中途點(diǎn)或環(huán)節(jié))。通過逐個(gè)解決小目標(biāo)達(dá)到解決大目標(biāo)的思維方式。這種思維同樣也反映思維過程的連續(xù)性、漸進(jìn)性和聯(lián)結(jié)性。但它思維環(huán)節(jié)之間的層次性和因果性,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,通常是把原問題分解成若干個(gè)縱深聯(lián)結(jié)的小問題,前面小問題的解決是為后續(xù)小問題的解決服務(wù)的。

常用的數(shù)學(xué)思維方法還有觀察、實(shí)驗(yàn)等。在用于對實(shí)際對象或?qū)嶋H過程的思維時(shí),這些方法互相穿插、配合,靈活運(yùn)用。而分析與綜合是最基本的方法,是其他一切思維方法的基礎(chǔ)。當(dāng)然,在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中,抽象與概括有著特別重要的意義,這是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)所決定的,它們是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心,數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)方法論的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)思維方式就是數(shù)學(xué)思維過程中主體進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的相對定型、相對穩(wěn)定的思維樣式,它是數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)思維形式的統(tǒng)一,并且通過一定的數(shù)學(xué)思維內(nèi)容而得以體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維方式的形成與數(shù)學(xué)思維關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的各種要素的相互作用有關(guān)。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),把面對的問題通過轉(zhuǎn)化、分析、綜合、假設(shè)等變化成已知的數(shù)學(xué)問題。在這個(gè)思維過程中,要依據(jù)具體情況恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分析與綜合、具體與抽象、求同與求異、一般與特殊等思維方法。