數(shù)學(xué)思想對教學(xué)的啟示

王晗寧

摘 要:認為數(shù)學(xué)思想對中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)意義重大,在教學(xué)中滲透方程思想,分類討論思想,數(shù)形結(jié)合思想,整體思想,化歸思想,變換思想,辯證思想等多種數(shù)學(xué)思想方法。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程,實質(zhì)上是運用各種教學(xué)理論進行數(shù)學(xué)知識教學(xué)的過程。在這個過程中,必然要涉及數(shù)學(xué)思想的問題。數(shù)學(xué)思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶,是數(shù)學(xué)的精髓,它對數(shù)學(xué)教學(xué)具有決定性的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思想;思想方法的滲透

中圖分類號:G424.1文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1672-3198(2009)16-0220-02

0 前言

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的既要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能,還要求發(fā)展學(xué)生的能力,培養(yǎng)他們良好的個性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。在實現(xiàn)教學(xué)目的的過程中,數(shù)學(xué)思想方法對于打好“雙基”和加深對知識的理解、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著獨到的優(yōu)勢,它是學(xué)生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師除了基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)外,還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,注重對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),這對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠的影響。從初中階段就重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ),會使學(xué)生終生受益。

1 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)運用的思想方法

(1)方程思想:眾所周知,方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體,應(yīng)用十分廣泛,可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一,在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯得十分重要。所謂方程思想,主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現(xiàn)這種思想方法,如列方程解應(yīng)用題,求函數(shù)解析式,利用根的判別式、根于系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等。教學(xué)時,可有意識的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時,可啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項系數(shù),可把他們看成三個“未知量”,告訴學(xué)生利用方程思想來解決,那學(xué)生就會自覺的去找三個等量關(guān)系建立方程組。在這里如果單講解題步驟,就會顯得呆板、僵硬,學(xué)生只知其然,不知其所以然。與此同時,還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想,諸如換元,消元,降次,函數(shù),化歸,整體,分類等思想,這樣可起到撥亮一盞燈,照亮一大片的作用。

(2)分類討論思想:分類討論即根據(jù)教學(xué)對象的共同性與差異性,把具有相同屬性的歸入一類,把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中,如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M行分類,就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例如,對三角形全等識別方法的探索,教材中的思考題:如果兩個三角形有三個部分(邊或角)分別對應(yīng)相等,那么有哪幾種可能的情況?同時,教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論,由簡到繁,一步步得出,教學(xué)時要讓學(xué)生體驗這種思想方法。

(3)數(shù)形結(jié)合思想:數(shù)和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。華羅庚先生說得好:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好。”這句話闡明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。初中代數(shù)教材列方程解應(yīng)用題所選例題多數(shù)采用了圖示法,所以,教學(xué)過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性,引導(dǎo)學(xué)生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系找出解決問題的突破口。學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值,對解決問題更具有指導(dǎo)意義。再如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時,可自制圓形紙板,進行運動實驗,讓學(xué)生首先從形的角度認識圓與圓的位置關(guān)系,然后可激發(fā)學(xué)生積極主動探索兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征。這種借助于形通過數(shù)的運算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想,在教學(xué)中要不失時機地滲透;這樣不僅可提高學(xué)生的遷移思維能力,還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。

(4)整體思想:整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出,如在實數(shù)運算中,常把數(shù)字與前面的“+,-”符號看成一個整體進行處理;又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想,即一個字母不僅代表一個數(shù),而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等;再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理,如:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2視(a+b)為一個整體展開等等,這些對培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),提高解題效率是一個極好的機會。

(5)化歸思想:化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法體系主梁之一。在實數(shù)的運算、解方程(組)、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對化歸思想方法的認識,學(xué)生有意無意接受到了化歸思想。如已知(x+y)2=11,xy=1求x2+y2的值,顯然直接代入無法求解,若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,則易得:原式=9;又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決,這都是化歸思想在實際問題中的具體體現(xiàn)。再如解方程(組)通過“消元”、“降次”最后求出方程(組)的解等也體現(xiàn)了化歸思想;化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的,其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上,利用相反數(shù)的概念,化歸出減法法則,使加、減法統(tǒng)一起來,得到了代數(shù)和的概念;在乘法的基礎(chǔ)上,利用倒數(shù)的概念,化歸出除法法則,使互逆的兩種運算得到統(tǒng)一。又如,對等腰梯形有關(guān)性質(zhì)的探索,除了教材中利用軸對稱方法外,還經(jīng)常通過作一腰的平行線、作底邊上的高、延長兩腰相交于一點等方法,把等腰梯形轉(zhuǎn)化到平行四邊形和三解形的知識上來。

除此之外,很多知識之間都存在著相互滲透和轉(zhuǎn)化:多元轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、分式轉(zhuǎn)化為整式、一般三解形轉(zhuǎn)化為特殊三角形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形、幾何問題代數(shù)解法、恒等的問題用不等式的知識解答。

(6)變換思想:是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。解方程中的同解變換,定律、公式中的命題等價變換,幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優(yōu)秀思維品質(zhì)的一個重要特征,就是善于變換,從正反、互逆等進行變換考慮問題,但很多學(xué)生又恰恰常忽略從這方面考慮問題,因此變換思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個重要武器。例:四邊形ABCD中,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的兩點,且AE=CF。求證:DE=BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向,但用變換方法尋找證法比較易:要證DE=BF,只要證△ADE≌△CBF(證△ABF≌△CDE也可);要證△ADE≌△CBF,因題目已知BC=DA,AE=CF,只要證∠DAE=∠BCF;要證∠DAE=∠BCF,可由△ABC≌△CDA得到,而由已知條件AB=CD,BC=DA,AE=CF不難得到△ABC≌△CDA。這樣問題就解決了。

(7)辯證思想:辯證思想是科學(xué)世界觀在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn),是最重要的數(shù)學(xué)思想之一。自然界中的一切現(xiàn)象和過程都存在著對立統(tǒng)一規(guī)律,數(shù)學(xué)中的有理數(shù)和無理數(shù)、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等同樣蘊涵著這一辯證思想。因此,教學(xué)時,應(yīng)有意識地滲透。如初三《分式方程》一節(jié),就體現(xiàn)了分式方程與整式方程的對立統(tǒng)一思想,教學(xué)時,不能只簡單介紹分式方程的概念和解法,而要滲透上述思想,我們可以從復(fù)習(xí)整式和分式的概念出發(fā),然后依據(jù)辯證思想自然引出分式方程,接著帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)會兩個概念的對立性(非此即彼)和統(tǒng)一性(統(tǒng)稱有理方程),再利用未知與已知的轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)學(xué)生說出分式方程的解題基本思想,從而發(fā)現(xiàn)兩種方程在解法上雖有不同,但卻存在內(nèi)在的必然聯(lián)系。這樣,學(xué)生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關(guān)系后,就能進一步理解和掌握分式方程,收到一種居高臨下,深入淺出的教學(xué)效果。因此,抓辯證思想教學(xué),不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識,而且可提高學(xué)生的探索能力和觀察能力。

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法滲透的原則

在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中,教師要精心設(shè)計、有機結(jié)合,要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法,切忌生搬硬套,和盤托出,脫離實際等錯誤做法。比如,教學(xué)二次不等式解集時結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶,總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”,利用數(shù)形結(jié)合方法,從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識都明顯地寫在教材中,是有“形”的,而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識體系里,是無“形”的,并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。教師講不講,講多少,隨意性較大,常常因教學(xué)時間緊而將它作為一個“軟任務(wù)”擠掉。對于學(xué)生的要求是能領(lǐng)會多少算多少。因此,作為教師首先要更新觀念,從思想上不斷提高對滲透數(shù)學(xué)思想方法重要性的認識,把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時納入教學(xué)目的,把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材,努力挖掘教材中可以進行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素,對于每一章每一節(jié),都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)學(xué)思想方法滲透,滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法,怎么滲透,滲透到什么程度,應(yīng)有一個總體設(shè)計,提出不同階段的具體教學(xué)要求。

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過具體的教學(xué)過程加以實現(xiàn)。因此,必須把握好教學(xué)過程中進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的契機——概念形成的過程,結(jié)論推導(dǎo)的過程,方法思考的過程,思路探索的過程,規(guī)律揭示的過程等。同時,進行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要注意有機結(jié)合、自然滲透,要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)知識之中的種種數(shù)學(xué)思想方法,切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。

數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過程中逐步積累和形成的。為此,在教學(xué)中,首先要特別強調(diào)解決問題以后的“反思”。因為在這個過程中提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法,對學(xué)生來說才是易于體會、易于接受的。其次要注意滲透的長期性。應(yīng)該看到,對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕就能見到學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的,而是有一個過程。數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過循序漸進和反復(fù)訓(xùn)練,才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟。

教學(xué)中要適時恰當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)方法給予提煉和概括,讓學(xué)生有明確的印象。由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個不同部分,而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決。因此,教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力,這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實處。

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,只要切切實實把握好上述幾個典型的數(shù)學(xué)思想,同時注意滲透的過程,依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認知水平,從初一開始就有計劃的滲透,就一定能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。

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