二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

易小聰

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”，總結(jié)概括數(shù)學(xué)思想有利于透徹地理解所學(xué)知識(shí)，提高獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。二次函數(shù)中隱含著許多重要的數(shù)學(xué)思想，需要我們?nèi)ネ诰蚝瓦\(yùn)用。歸納起來(lái)主要有以下幾種。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)、式與圖形結(jié)合起來(lái)考慮，用幾何圖形直觀地反映和描述數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)方法來(lái)分析幾何圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而使問(wèn)題巧妙快速解決。解決這類題，首先，要注意學(xué)會(huì)觀察，提高圖形信息的識(shí)別能力，其次，要學(xué)會(huì)分析和推理，作出正確的判斷。

例1，下圖都是而此函數(shù)y=ax2+bx+a2-1 的圖像，若b>0 ，則a 的值等于 （ D ）

解析：∵b>0，而拋物線（a）（b）中b<0

∴拋物線不可能是（a）（b），

又∵（c）（d）中對(duì)稱軸x=-■<0

∴只有（c）f符合

又∵a2-1=0

∴a=1或a=-1（舍去）

∴a的值只能為1，選D

二、函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想是將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程（組），通過(guò)解方程（組）或運(yùn)用方程的性質(zhì)來(lái)分析，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決，函數(shù)與方程思想是密切相關(guān)的。

例2：已知拋物線y=x2 +（2k+1）x-k2+k

（1）求證：此拋物線與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

（2）當(dāng)k=0 時(shí)，求此拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：（1）與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，證明方程 ×2+（2k+1）x-k2+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可。

（2）通過(guò)解方程，求值即可。

解：（1）∵b2-4ac=（2k+1）2-4x（-k2+k）=8k2+1>0

∴方程x2+（2k+1）x-k2+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴拋物線與 X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

（2）當(dāng)k=0 時(shí)，原拋物線為y=x2+x

由x=0 得y=02+0=0

x2+x=0得x1=0，x2=-1

∴此拋物線與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），與 X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（-1，0）。

三、整體思想

整體思想就是根據(jù)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式或幾個(gè)圖形視為一個(gè)整體，去觀察、分析、探究問(wèn)題的一種方法，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)捷巧妙的解決。

例3：如圖，矩形ABCD 的長(zhǎng)AB=4cm ，寬AD=2cm , op⊥AB是 的中點(diǎn)， ,兩半圓的直徑分別為OA 與OB ，拋物線的頂點(diǎn)是O ，關(guān)于OP 對(duì)稱且經(jīng)過(guò) C、D 兩點(diǎn)，求圖中陰影部分面積？

解析：由拋物線頂點(diǎn)是O ，關(guān)于 OP對(duì)稱且經(jīng)過(guò) C、 D兩點(diǎn)，根據(jù)拋物線、矩形的對(duì)稱性可知，S陰=S半圓

∴s=s=1/2π g=π/2 （cm）

注：解此題的關(guān)鍵是運(yùn)用對(duì)稱性，把兩個(gè)不規(guī)則的陰影部分視為一個(gè)整體。

四、分類討論思想

所謂分類討論思想，就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干類不同的情形，然后再逐步進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。對(duì)于因存在一些不確定因素，解答無(wú)法用統(tǒng)一的方法或者結(jié)論不能以統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們往往將問(wèn)題劃分為若干類來(lái)解決。

例4：拋物線 y=x2+2x+k與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.不能確定

解析：求拋物線與 X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由△ 決定 b2-4ac=4-4k， k為未知數(shù)，需討論

① k=1時(shí)，4-4k=0 ，拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)

② k>1時(shí)，4-4k>0，拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)

③ k>1時(shí)，4-4k<0 ，拋物線與 x軸無(wú)交點(diǎn)

∴應(yīng)選擇D

五、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想，在解題過(guò)程中，我們往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的直接的攻破，而是把問(wèn)題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的、熟悉的，或已經(jīng)解決了的，或容易解決的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，這就是轉(zhuǎn)化思想。

現(xiàn)實(shí)生活中的“拱橋類”問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決。

例5：已知一條雙向公路隧道，其橫斷面由拋物線和矩形ABCD的三邊組成，隧道最大高度為4.9米，AB=10米，BC=2.4米，有一輛高為4米，寬為2米，裝有集裝箱的汽車通過(guò)隧道，問(wèn)：如果不考慮其它因素，汽車的右側(cè)離開(kāi)隧道石壁多少米才不至于碰到隧道頂部？

解析：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系可求解。

解：以CD所在直線為 軸，CD中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線頂點(diǎn)P在 軸上，所以P（0，2.5），C（5，0），D（-5，0）

設(shè)拋物線為y=ax2+k,k即拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)，

∴k=2.5

∴a（5）2+2.5=0

a=-1/10

∴y=-1/10x2+2.5

當(dāng)汽車高為4米時(shí)，在拋物線隧道中對(duì)應(yīng)是縱坐標(biāo)為 =4-2.4=1.6

∴1．6=- 1/10x2+2.5

解得 x=±3

故汽車要通過(guò)隧道，右側(cè)至少要離開(kāi)隧道石壁3米才不至于碰到隧道頂部。

從以上各題可看出，二次函數(shù)中，數(shù)學(xué)思想無(wú)處不在，這就要求我們?cè)谥R(shí)傳播過(guò)程中適時(shí)加以滲透，將有助于學(xué)生領(lǐng)會(huì)和把握新知識(shí)，有助于提高解題能力，有助于培養(yǎng)和發(fā)展思維能力。