從采樣的角度談信號(hào)與系統(tǒng)中的傅里葉變換

王 琳， 胡 耀， 王世元

(1.西南大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，重慶 400715；2.非線性電路與智能信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400715；3.重慶工商職業(yè)學(xué)院，重慶 401520)

引言

《信號(hào)與系統(tǒng)》是電子信息大類(lèi)專(zhuān)業(yè)本科生的一門(mén)專(zhuān)業(yè)核心課，通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生建立利用變換域分析處理信號(hào)的思想以及從系統(tǒng)的角度考慮分析問(wèn)題的觀念[1]。該課程以高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、電路分析等課程為基礎(chǔ)，其后續(xù)課程為數(shù)字信號(hào)處理、通信原理以及數(shù)字圖像處理等[2]。因此，《信號(hào)與系統(tǒng)》在電子信息類(lèi)本科生的培養(yǎng)環(huán)節(jié)中起到了承上啟下的作用[3]。該門(mén)課程概念比較抽象、理論性強(qiáng)、內(nèi)容又相對(duì)比較枯燥[4]。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生感覺(jué)比較吃力，主要體現(xiàn)在以下幾方面：一是對(duì)一些重要理論理解不夠深入，尤其是其實(shí)際和工程意義；二是該課程涉及大量計(jì)算，且部分計(jì)算的相似度較高，同學(xué)們?cè)诼耦^計(jì)算的過(guò)程中，往往失去對(duì)部分概念的清晰把握；三是對(duì)個(gè)別知識(shí)點(diǎn)，單個(gè)的還掌握得比較到位，但對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，常常缺乏深入理解、難以融會(huì)貫通。針對(duì)《信號(hào)與系統(tǒng)》教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的上述問(wèn)題，本文就該課程中“幾種傅里葉變換之間的相互關(guān)系”這部分內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)探索。該內(nèi)容既是《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的重點(diǎn)又是難點(diǎn)，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)也比較多，知識(shí)點(diǎn)之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往感覺(jué)較難，到期末復(fù)習(xí)甚至考研階段還有不少同學(xué)捋不清幾種傅里葉變換之間的相互關(guān)系；同時(shí)，也常看到有人在知網(wǎng)、百度等論壇上咨詢這個(gè)問(wèn)題。希望通過(guò)筆者的探索，幫助大家輕松理解幾種傅里葉變換之間的相互關(guān)系。

古詩(shī)云：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。對(duì)同一個(gè)事物，從不同的角度去分析、理解，會(huì)有不同的想法和收獲。本文從采樣定理出發(fā)、結(jié)合時(shí)域和頻域的特點(diǎn)來(lái)理解傅里葉的各種變換。結(jié)構(gòu)安排如下：首先，對(duì)幾種傅里葉變換進(jìn)行簡(jiǎn)要回顧，接著分析幾種傅里葉變換在時(shí)域和頻域的特點(diǎn)；最后，采用思維導(dǎo)圖的勾勒來(lái)對(duì)知識(shí)點(diǎn)及其相互關(guān)系進(jìn)行描繪，梳理、總結(jié)幾種傅里葉變換的相互關(guān)系。

1 幾種傅里葉變換在時(shí)域和頻域的特點(diǎn)

本部分內(nèi)容涉及幾種傅里葉變換以及采樣定理，下面依次簡(jiǎn)要介紹。通過(guò)以往的學(xué)習(xí)可知，傅里葉變換是針對(duì)非周期信號(hào)或非周期序列進(jìn)行的從時(shí)域到頻域的變換，傅里葉級(jí)數(shù)是針對(duì)周期信號(hào)或周期序列進(jìn)行的從時(shí)域到頻域的變換。

1.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換(Continuous Time Fourier Transform,CTFT)

以門(mén)函數(shù)為例，來(lái)分析連續(xù)時(shí)間傅里葉變換在時(shí)域和頻域的特征。如圖1a、b所示，一個(gè)寬度為τ高度為1的門(mén)函數(shù)，它在時(shí)域是連續(xù)、非周期的；在頻域也是連續(xù)、非周期的。

圖1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換示例Fig.1 Example of continuous time Fourier transform

1.2 離散時(shí)間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform,DTFT)

此處以方波序列為例。如圖2a、b所示，一個(gè)從-2到2的方波序列，它在時(shí)域是離散、非周期的；在頻域是連續(xù)、且以2π為周期的。

圖2 離散時(shí)間傅里葉變換示例Fig.2 Example of discrete time Fourier transform

1.3 連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)(Continuous Fourier Series,CFS)

根據(jù)前面的講述可知：CFS針對(duì)的是在時(shí)域連續(xù)的周期信號(hào)。CFS有三角和指數(shù)兩種形式。例如，畫(huà)出圖3a所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜Fn，此處，令T=4τ。經(jīng)求解可得圖3b，從圖上可以看到，CFS在時(shí)域是連續(xù)、周期的；在頻域是離散、非周期的。

圖3 連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)示例Fig.3 Example of continuous Fourier series

1.4 離散傅立葉級(jí)數(shù)(Discrete Fourier Series,DFS)

DFS針對(duì)的是在時(shí)域離散的周期序列。如圖4a所示，為一個(gè)以N為周期、在-M到M幅值為1的DFS，令N=30、M=2把它展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，如圖4b所示，在頻域它仍然是離散、周期的。

圖4 離散傅立葉級(jí)數(shù)示例Fig.4 Example of discrete Fourier series

在完成了以上四種傅里葉變換的教學(xué)后，很多同學(xué)反映已經(jīng)感覺(jué)比較迷糊。通常在這一階段需要給同學(xué)們留一點(diǎn)時(shí)間自行回顧一下，并在隨后的教學(xué)中加入對(duì)上述四種傅里葉變換的梳理工作。這里，需要重點(diǎn)理清傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系。傅里葉級(jí)數(shù)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉提出的。傅里葉級(jí)數(shù)的出現(xiàn)極大地推動(dòng)了偏微分方程的發(fā)展，解決了關(guān)于弦振動(dòng)問(wèn)題解的爭(zhēng)論，促進(jìn)了函數(shù)概念的進(jìn)一步發(fā)展和完善。傅里葉級(jí)數(shù)分為連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)和離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)，分別針對(duì)的是連續(xù)周期信號(hào)和離散周期信號(hào)。傅里葉級(jí)數(shù)有指數(shù)和三角兩種形式。連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，任何連續(xù)周期信號(hào)都可以展開(kāi)為正弦信號(hào)和余弦信號(hào)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)。三角函數(shù)利用歐拉公式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，指數(shù)形式的連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)中的負(fù)頻率并沒(méi)有實(shí)際物理意義，引入負(fù)頻率僅僅是為了便于計(jì)算。

傅里葉級(jí)數(shù)研究的是周期信號(hào)，在一定條件下，非周期信號(hào)可以理解為一種特殊的周期信號(hào)。對(duì)一個(gè)周期信號(hào)而言，如果其周期足夠大，可將其作為非周期信號(hào)來(lái)理解。簡(jiǎn)單地說(shuō)，通過(guò)將周期信號(hào)的周期拓展到無(wú)窮大，則非周期信號(hào)就可以理解為一種特殊的周期信號(hào)。當(dāng)信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)即為傅里葉變換。傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、通信、金融等領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用。

1.5 離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)

CTFT、DTFT、CFS、DFS這四種傅里葉變換已經(jīng)包含了連續(xù)的、離散的、周期的、非周期的信號(hào)和序列，為什么還要進(jìn)行離散傅里葉變換呢？這是為了便于利用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行傅里葉變換而規(guī)定的一種專(zhuān)門(mén)運(yùn)算。DFT不是對(duì)任意信號(hào)都可以進(jìn)行，只能對(duì)有限長(zhǎng)序列才可以。這里，仍然以方波序列為例來(lái)分析。如圖5a所示，將有限長(zhǎng)序列f(k)以N=10為周期延拓成周期序列fN(k)，變換得DFS，再對(duì)DFS取主值即可得DFT，如圖5b。從這個(gè)例子可以看到，DFT在時(shí)域和頻域都離散且序列長(zhǎng)度有限，這個(gè)特點(diǎn)就是為什么計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的時(shí)候要采用DFT的原因。

圖5 離散傅立葉變換示例Fig.5 Example of discrete Fourier transform

對(duì)于離散序列，其DFT的快速算法稱之為快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)。由于DFT采用矩陣相乘，算法復(fù)雜度為信號(hào)規(guī)模的平方，而FFT有效利用了旋轉(zhuǎn)因子的對(duì)稱性，從而很好地降低了DFT的復(fù)雜度，提高了運(yùn)算速度。

以上即為《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中涉及到的六種傅里葉變換。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)“幾種傅里葉變換”這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)起來(lái)感覺(jué)比較吃力，歸納起來(lái)，原因主要有以下幾點(diǎn)：一是，教材中這部分內(nèi)容對(duì)計(jì)算的推導(dǎo)比較詳細(xì)，但對(duì)幾種傅里葉變換的意義和實(shí)際應(yīng)用介紹得比較欠缺。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中注意力被大量的推導(dǎo)和計(jì)算牽制，忽略了對(duì)傅里葉變換的物理意義及變換其目的的把握，容易出現(xiàn)知其然而不知其所以然的情況。二是，該部分內(nèi)容涉及的幾個(gè)傅里葉變換具有較高的相似度，在初步接觸傅里葉變換的階段，容易被大量相似而又有區(qū)別的計(jì)算和推導(dǎo)弄暈。很多同學(xué)反映，學(xué)習(xí)一種新的傅里葉變換的時(shí)候，需要對(duì)之前已經(jīng)介紹過(guò)的傅里葉變換進(jìn)行反復(fù)回顧，以比較其區(qū)別；并且極易在反復(fù)的比對(duì)中產(chǎn)生焦慮和煩躁情緒，影響對(duì)該部分知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握。三是，教材中對(duì)幾種傅里葉變換的介紹比較詳細(xì)，但是對(duì)幾種傅里葉變換之間的關(guān)系介紹得比較粗略，且欠缺對(duì)該部分內(nèi)容的整體梳理。筆者及其團(tuán)隊(duì)在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，密切關(guān)注教學(xué)效果、與學(xué)生進(jìn)行多渠道溝通，獲取來(lái)自學(xué)生的反饋，并結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)現(xiàn)有教材和教學(xué)方式存在的不足，基于采樣定理結(jié)合傅里葉變換時(shí)域和頻域特征，對(duì)六種傅里葉變換之間相互關(guān)系進(jìn)行整體分析。通過(guò)分析和梳理，將幾種傅里葉變換之間的關(guān)系進(jìn)行了重新組織，以期學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠更容易、更深入地理解和掌握該部分內(nèi)容。下面，將對(duì)采樣定理進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

采樣定理又稱取樣定理(原理圖見(jiàn)圖6)，是通信與信號(hào)處理學(xué)科中一個(gè)重要的基本結(jié)論。該定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的樣本值表示。“采樣”就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這些樣本值包含了該連續(xù)時(shí)間信號(hào)的全部信息，當(dāng)滿足采樣定理，還可以把離散信號(hào)恢復(fù)為原信號(hào)。采樣的實(shí)質(zhì)就是離散化(或數(shù)字化)。采樣，架起了連續(xù)與離散時(shí)間信號(hào)之間的橋梁，為其相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

圖6 采樣定理原理圖Fig.6 Schematic diagram of sampling theorem

在對(duì)幾種傅里葉變換分析的基礎(chǔ)上，以非周期信號(hào)為例進(jìn)行說(shuō)明。如圖7所示，一個(gè)寬度為τ高度為1的門(mén)函數(shù)gτ(t)，在時(shí)域它是連續(xù)、非周期的。令τ=4，對(duì)其在時(shí)域進(jìn)行采樣，得到從-2到2的方波序列f(k)。分別對(duì)gτ(t)和f(k)進(jìn)行CTFT和DTFT，得F(jω)和F(ejω)?？梢钥吹剑篊TFT在時(shí)域和頻域都是連續(xù)、非周期的，DTFT在時(shí)域是離散、非周期的，在頻域是連續(xù)、周期的。對(duì)這個(gè)連續(xù)的周期信號(hào)F(ejω)在2π周期內(nèi)，進(jìn)行N=10次均勻采樣。此時(shí)，是在頻域進(jìn)行采樣，也就是在頻域進(jìn)行離散化處理，就得到了DFT。

圖7 基于采樣定理數(shù)字化處理過(guò)程舉例Fig.7 Example of digital processing based on sampling theorem

該例說(shuō)明：時(shí)域的采樣會(huì)產(chǎn)生頻域的周期性延拓。基于傅里葉變換的對(duì)稱性，同理，頻域的采樣也會(huì)產(chǎn)生時(shí)域的周期性延拓。即：一個(gè)域的離散會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)域的周期性延拓。

2 思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖是一種圖形思維工具，簡(jiǎn)單有效，能很好地表達(dá)發(fā)散性思維。思維導(dǎo)圖利用圖形和文字工具，把各級(jí)主題之間的關(guān)系用隸屬和相關(guān)的層級(jí)圖表現(xiàn)出來(lái)，便于記憶和理解。

要理解傅里葉的各種變換可以從采樣定理出發(fā)，結(jié)合時(shí)域和頻域的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行?；诒疚牡?部分的分析，構(gòu)筑思維導(dǎo)圖如圖8所示，幾種傅里葉變換時(shí)域、頻域特征如表1所示。針對(duì)非周期信號(hào)或序列的CTFT、DTFT，針對(duì)周期信號(hào)或序列的CFS、DFS。CTFT和DTFT在時(shí)域的區(qū)別就是一個(gè)連續(xù)、另外一個(gè)離散，所以，可以通過(guò)時(shí)域的采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)。類(lèi)似地，CFS和DFS也可以通過(guò)時(shí)域的采樣來(lái)關(guān)聯(lián)。CTFT在時(shí)域和頻域都是連續(xù)、非周期的，DTFT在時(shí)域是離散、非周期的，在頻域是連續(xù)、周期的。CFS在時(shí)域是連續(xù)、周期的，在頻域是離散、非周期的。DFS在時(shí)域和頻域都是離散、周期的。根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性，由于頻域的采樣會(huì)導(dǎo)致時(shí)域的周期性延拓，所以，從CTFT到CFS以及從DTFT到DFS都可以通過(guò)頻域的采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)DFS取主值得到DFT，對(duì)DFT進(jìn)行快速運(yùn)算就可以得到FFT。以上就是基于采樣定理，結(jié)合傅里葉變換時(shí)域和頻域特征，對(duì)六種傅里葉變換之間相互關(guān)系的分析。

圖8 從采樣定理出發(fā)理解傅里葉的各種變換Fig.8 Understanding Fourier transforms by sampling theorem

表1 幾種傅里葉變換時(shí)頻域特征對(duì)照Table 1 Comparison of time-frequency domain features of Fourier transforms

3 教學(xué)實(shí)踐結(jié)果

在《信號(hào)與系統(tǒng)》課程較長(zhǎng)時(shí)期的教學(xué)過(guò)程中，筆者及團(tuán)隊(duì)深深體會(huì)到教好這門(mén)課程是很不容易的。該課程知識(shí)點(diǎn)多、信息量大，涉及大量的計(jì)算，就需要學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上清晰掌握各個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，熟練推導(dǎo)過(guò)程，并能夠進(jìn)行精確計(jì)算。在該課程的教學(xué)過(guò)程中，一方面，需要教師胸有成竹且講授合理；另一方面，需要學(xué)生積極主動(dòng)投入大量精力，且具有百折不撓的精神，從而克服學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的各種困難。對(duì)教師而言，合理引導(dǎo)并對(duì)重要知識(shí)進(jìn)行梳理、總結(jié)以方便學(xué)生理解就顯得尤為重要。懷著這個(gè)初衷，筆者及其所在教學(xué)團(tuán)隊(duì)就傅里葉變換這部分知識(shí)，通過(guò)構(gòu)筑思維導(dǎo)圖，以采樣定理為主線，對(duì)《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中的傅里葉變換時(shí)域和頻域的關(guān)系進(jìn)行了重新組織，并在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行了實(shí)踐。

教學(xué)實(shí)踐主要分為兩個(gè)階段：第一階段為教師引導(dǎo)教學(xué)階段。在按照課本內(nèi)容學(xué)習(xí)完幾種傅里葉變換、學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容有了初步認(rèn)識(shí)以后，教師基于采樣定理將六種傅里葉變換按照思維導(dǎo)圖的邏輯順序進(jìn)行梳理講解，利用時(shí)域和頻域的采樣將六種傅里葉變換進(jìn)行關(guān)聯(lián)。在這一階段，教師應(yīng)注意把握和控制學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，盡量對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使其充分理解并跟上教師的教學(xué)思路。經(jīng)實(shí)踐，講授這部分內(nèi)容大約需要十五分鐘，通常應(yīng)將這部分內(nèi)容安排在一次課的收尾部分。第二階段為學(xué)生自主學(xué)習(xí)階段。根據(jù)筆者及其教學(xué)團(tuán)隊(duì)的實(shí)踐，該階段主要以布置一次課后作業(yè)的形式來(lái)完成。通過(guò)布置一次作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生在課后自主對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固和總結(jié)，并對(duì)思維導(dǎo)圖進(jìn)行浮現(xiàn)。這樣，就能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的充分理解和掌握，從而收到較好的學(xué)習(xí)效果。時(shí)間允許的情況下，可以在兩個(gè)教學(xué)階段完成以后，在后續(xù)課堂上，花兩、三分鐘，以提問(wèn)的方式對(duì)學(xué)生的掌握情況進(jìn)行評(píng)估，以更好地把握教學(xué)質(zhì)量。

迄今為止，筆者已在西南大學(xué)為數(shù)屆電子信息類(lèi)本科生講授了《信號(hào)與系統(tǒng)》課程，近三年該課程的教學(xué)信息如表二所示。在教學(xué)過(guò)程中，最初采用的教材是吳大正主編、高等教育出版社出版的《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》第四版[5]，后更新至第五版[6]；該教材是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，也是國(guó)內(nèi)大部分高校信號(hào)與系統(tǒng)課程選用的經(jīng)典教材。在課后作業(yè)方面，每學(xué)期通常會(huì)布置五至七次作業(yè)。在考試方面，每學(xué)期以閉卷統(tǒng)考形式分別安排一次其中和期末考試。

表2 《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)信息Table 2 Teaching information for the course Signals and Systems

按照教學(xué)進(jìn)度安排，在將六種傅里葉變換和采樣定理全部講解以后，筆者基于采樣定理，結(jié)合傅里葉變換時(shí)、頻域的特征，對(duì)六種傅里葉變換之間的相互關(guān)系進(jìn)行梳理和總結(jié)，學(xué)生普遍反映較好、課堂氣氛活躍。有學(xué)生反映，基于該方法的梳理，對(duì)充分掌握、理解幾種傅里葉變換有很大幫助。

《信號(hào)與系統(tǒng)》這門(mén)課程的期末考試試題緊扣教學(xué)大綱，考點(diǎn)較好地覆蓋了大綱規(guī)定的知識(shí)點(diǎn)，題型結(jié)構(gòu)合理、題量適中、難度中等。圖九是表一中筆者任課班級(jí)三屆本科生的成績(jī)分布圖。如圖9所示，三屆學(xué)生的成績(jī)分布比較合理，通過(guò)率較高，滿足學(xué)校要求。每一屆學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，高分和不及格學(xué)生數(shù)量相對(duì)較少，成績(jī)分布大致符合正態(tài)分布特征，學(xué)生對(duì)考試成績(jī)總體滿意。在每學(xué)期的網(wǎng)上教學(xué)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)筆者評(píng)分均在93分以上，這也體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)該教學(xué)方法的認(rèn)可。

圖9 學(xué)生成績(jī)分布Fig.9 The distribution of students’ score

在教學(xué)過(guò)程中，筆者及團(tuán)隊(duì)注重與學(xué)生的交流并獲取反饋。在學(xué)習(xí)《信號(hào)與系統(tǒng)》這門(mén)課程的過(guò)程中，部分同學(xué)們反映，通過(guò)對(duì)幾種傅里葉變換的梳理和總結(jié)后，有豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，可以在一定程度上強(qiáng)化理解和記憶，并讓學(xué)生獲得攻克難關(guān)的成就感，提升學(xué)習(xí)興趣。

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)高校人才培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合團(tuán)隊(duì)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課程中的傅里葉變換進(jìn)行了教學(xué)探索?；诓蓸佣ɡ韺⒏道锶~變換的時(shí)、頻域分析這部分內(nèi)容進(jìn)行了重新組織，使得學(xué)生對(duì)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換、離散時(shí)間傅里葉變換、連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)、離散傅立葉級(jí)數(shù)、離散傅里葉變換、快速傅里葉變換幾個(gè)比較類(lèi)似又容易混淆的概念能夠充分理解、深入體會(huì)。通過(guò)一段時(shí)期的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，該教學(xué)探索能夠提高課程教學(xué)質(zhì)量，并取得良好的教學(xué)效果。在今后的教學(xué)工作中，筆者會(huì)不斷進(jìn)行探索和實(shí)踐，并對(duì)教學(xué)的方式、方法進(jìn)行優(yōu)化，以期進(jìn)一步提升課程的教學(xué)質(zhì)量。