方程根的存在判別

翟玉玲

【摘要】多項(xiàng)式的討論是代數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。本文主要介紹了多項(xiàng)式方程根的一種簡便判別方法。

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式 根 代數(shù)

多項(xiàng)式求解大約可以分成有沒有解、如何求解兩部分,知道有根再求根才有意義。代數(shù)學(xué)基本定理解決了根的存在性問題,對此定理的證明以代數(shù)方法居多,雖直觀性強(qiáng),但計(jì)算量大、冗繁、復(fù)雜。下面給出一種簡便的分析學(xué)證明方法。

定理:任意一個(gè)n階方程a₀zⁿ+a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n(a≠0)(*)有且只有n個(gè)根(n重根就算是n個(gè)根)。

證明:令f(z)=a₀zⁿ,φ(z)=a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n,當(dāng)z在充分大的圓周c:|z|=R時(shí),有|φ(z)|≤|a₁|R^n-1+……|a_n-1|R+|a_n|＜(|a₁|+……|a_n|)R^n-1＜|a₀|Rn=|f(z)|

由儒歇定理即知:在|z|＜R內(nèi),方程(*)與a₀zⁿ=0有相同個(gè)數(shù)的根。而a₀zⁿ=0在|z|＜R內(nèi)有一個(gè)n重根z=0,因此(*)在|z|＜R有n個(gè)根。另外,在|z|=R上或其外部,任取一點(diǎn)z₀,則|z₀|=R₀≥R,則|a₀z₀ⁿ+a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀z₀ⁿ|-|a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|R₀^n-1+……+|a_n|)＞|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|+……+|a_n|)R₀^n-1＞|a₀|R₀ⁿ-|a₀|R₀ⁿ=0。這說明原n次方程在圓周上及其外部都沒有根。所以,原n次方程在z平面上有且只有n個(gè)根。

例:求證:z⁷+z³+12=0的根全在圓環(huán)1＜|z|＜2內(nèi)。

證明:取f(z)=12,φ(z)=z⁷-z³,易于驗(yàn)證在|z|=1時(shí),有|f(z)|＞|p(z)|。

由儒歇定理可知:p(z)=f(z)+φ(z)=z⁷-z³+12在單位圓內(nèi)無零點(diǎn)。

又在圓周|z|=2上,|12-z³|≤12+|z³|=12+8=20＜128=27=|z⁷|

故由儒歇定理得,方程z⁷+z³+12=0的7個(gè)根全部落在1≤|z|＜2上。

但當(dāng)|z|=1時(shí),|z⁷-z³|=|z³||z⁴-1|≤|z|3(|z⁴|+1)=2,|z⁷-z³+12|≥12-|z⁷-z³|≥12-2=10＞0。

故方程的根全在圓環(huán)1＜|z|＜2內(nèi)。

【參考文獻(xiàn)】

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