生活中的邏輯與數(shù)學(xué)中的法則

陳士文

一、教材呈現(xiàn)

蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(四年級(jí)上冊(cè))關(guān)于混合運(yùn)算的前三個(gè)例題呈現(xiàn)如下。

(1)小軍買(mǎi)3本筆記本和1個(gè)書(shū)包,一共用去多少錢(qián)?

(2)小晴買(mǎi)2盒水彩筆,付了50元,應(yīng)找回多少元?

通過(guò)對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的解答,得出:算式中有乘法和加法、減法,應(yīng)先算乘法。

通過(guò)對(duì)情境中的問(wèn)題以及“列綜合算式計(jì)算1盒水彩筆比1支鋼筆貴多少元”問(wèn)題的解決,得出:算式中有除法和加、減法,應(yīng)先算除法。

通過(guò)問(wèn)題的解決,得出:算式里有括號(hào),應(yīng)先算括號(hào)里面的。

二、教學(xué)困惑

學(xué)生對(duì)于例1中“先算3本筆記本的價(jià)錢(qián),再把它和書(shū)包的價(jià)錢(qián)合起來(lái)”以及例2中“先算1支鋼筆的價(jià)錢(qián),再把它和訂書(shū)機(jī)的價(jià)錢(qián)合起來(lái)”的生活經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)具備,自然會(huì)先算乘法或除法,這都是生活邏輯的反映。試想,如果教材先呈現(xiàn)例3的內(nèi)容,當(dāng)出現(xiàn)50-20÷5的綜合算式時(shí),生活的經(jīng)驗(yàn)會(huì)使學(xué)生得出這樣的結(jié)論:“算式中有除法和減法時(shí),先算減法”。這樣的教材編排、這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)給學(xué)生(甚至是教師)一個(gè)印象:是“先乘除,后加減”,還是“先加減,后乘除”?這是由教學(xué)素材呈現(xiàn)的順序決定的。

我們?cè)?jīng)對(duì)34名小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,他們對(duì)四則混合運(yùn)算法則的規(guī)定持三種不同的觀點(diǎn)。認(rèn)為這是生活實(shí)踐規(guī)律的有7人,認(rèn)為這是人為約定俗成的有20人,認(rèn)為這是數(shù)學(xué)內(nèi)在原因的有7人。問(wèn)卷的調(diào)查結(jié)果反映出教師對(duì)四則混合運(yùn)算順序規(guī)定的認(rèn)識(shí)比較模糊。那么我們能否重新編排教材呢?

三、教材設(shè)想

第一課時(shí)

觀察第一個(gè)方框,我們發(fā)現(xiàn):減法是加法的逆運(yùn)算。

觀察第二個(gè)方框,我們發(fā)現(xiàn):除法是乘法的逆運(yùn)算。

觀察第三個(gè)方框,我們發(fā)現(xiàn):乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

得出:加、減是低級(jí)運(yùn)算,乘、除是高級(jí)運(yùn)算。

12+12+12+12+9=12×4+9,我們?cè)谟?jì)算12×4+9時(shí),先算什么?后算什么?

12+12+12+12-9=12×4-9,我們?cè)谟?jì)算12×4-9時(shí),先算什么?后算什么?

108+23+23+23+23=108+23×4,我們?cè)谟?jì)算108+23×4時(shí),先算什么?后算什么?

108-23-23-23-23=108-23×4,我們?cè)谟?jì)算108-23×4時(shí),先算什么?后算什么?

得出:算式中有乘法和加、減法,應(yīng)先算乘法。

我們已經(jīng)知道除法是乘法的逆運(yùn)算,因此,算式中有除法和加、減法,應(yīng)先算除法。

第二課時(shí)

教材中的例1、例2、例3。

第三課時(shí)

相關(guān)練習(xí)(略)。

四、設(shè)計(jì)意圖

第一課時(shí)的教學(xué)通過(guò)三個(gè)方框的觀察思考使學(xué)生從整體上理解加、減、乘、除之間的內(nèi)在聯(lián)系,即減法是加法的逆運(yùn)算,除法是乘法的逆運(yùn)算,乘法是加法的“提升”和“簡(jiǎn)便”。接著通過(guò)一組算式的改寫(xiě),得出結(jié)論:算式中有乘法和加、減法,應(yīng)先算乘法。又由于前面有了“加、減是低級(jí)運(yùn)算,乘、除是高級(jí)運(yùn)算”的教學(xué),再次引導(dǎo)學(xué)生得出:算式中有除法和加、減法,應(yīng)先算除法。最終自然形成初步完整的法則:先乘除,后加減。

第二課時(shí)通過(guò)第1例、第2例的教學(xué)讓學(xué)生感悟到生活中的問(wèn)題是與數(shù)學(xué)的法則相吻合的,接著教學(xué)第3例,此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn):生活中有些問(wèn)題是按照“先加減,后乘除”的邏輯順序,因?yàn)榍懊嬗辛恕跋瘸顺?后加減”的法則規(guī)定,而法則是不能違背生活邏輯的,于是對(duì)原先“先乘除,后加減”的法則作出補(bǔ)充規(guī)定,即引進(jìn)“括號(hào)”,說(shuō)明算式中有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。

第三課時(shí)組織相關(guān)的練習(xí),鞏固強(qiáng)化法則的運(yùn)用。

至此,我們可對(duì)問(wèn)卷中關(guān)于為什么規(guī)定“先乘除,后加減,有括號(hào)先算括號(hào)里面的”的原因作出如下回答:

因?yàn)槌顺ㄊ羌訙p法的高級(jí)運(yùn)算,所以要先乘除后加減,由于有些具體的實(shí)踐問(wèn)題需要先加減,則用括號(hào),此時(shí)先算括號(hào)里面的,括號(hào)的作用是對(duì)“先乘除,后加減”法則的特別補(bǔ)充。一句話,四則混合運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)自身內(nèi)在體系科學(xué)運(yùn)行的必然,又通過(guò)括號(hào)的介入,使之符合生活的邏輯。