積極培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)“猜想”能力

薛　美

何謂“猜想”？猜想是對(duì)研究對(duì)象或問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維判斷。恩格斯曾說過：“只要科學(xué)在思維著，它的發(fā)展形式是‘猜想?！睂?duì)于數(shù)學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來說，猜想是一種合情合理、屬于綜合的、帶有一定直覺性的高級(jí)認(rèn)識(shí)過程。數(shù)學(xué)事實(shí)上首先是被猜想，然后才被證實(shí)。正如有了著名的哥德馬赫猜想后，才吸引了一批像陳景潤(rùn)那樣的數(shù)學(xué)家孜孜不倦地去研究、去探索；又如摩根的關(guān)于地圖著色的“四色猜想”、“笛卡爾—?dú)W拉公式”。正是這些獨(dú)特魅力的猜想，深深吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家投身其中去研究、去攻克，成為推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。正如美國(guó)G·波利亞所說：“在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個(gè)定理，在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，你必須猜想出證明的主導(dǎo)思想?！币虼?，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視猜想，因?yàn)椴孪肟梢约ぐl(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)積累，使他們的觀察、理解、分析、判斷、推理等多種智力因素得到充分發(fā)揮，從而達(dá)到發(fā)展思維的目的。根據(jù)多年對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中猜想的實(shí)踐和研究，我認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“猜想”主要有以下三類：類比性猜想、歸納猜想和探索性猜想。

一、類比性猜想可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移

運(yùn)用類比的方法，通過對(duì)兩個(gè)或多個(gè)對(duì)象的比較或問題的相似性觀察（部分相同或整體類似），得出數(shù)學(xué)新知識(shí)或新方法的猜想，就是類比性猜想。這種猜想以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，有所創(chuàng)新，有所發(fā)展，它需要經(jīng)過實(shí)踐的檢驗(yàn)才能真正進(jìn)入實(shí)際的應(yīng)用軌道。如，在教學(xué)三角形面積時(shí)，我先讓學(xué)生準(zhǔn)備相同的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形各兩塊，讓他們盡量使用兩塊三角形拼圖，從中整理出已學(xué)過的規(guī)則圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形，然后讓學(xué)生經(jīng)過觀察、類比，哪些條件在共用，哪些部分有區(qū)別，再猜想一下三角形的面積該如何求，又如教學(xué)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”時(shí)，我先出示三個(gè)算式1÷2、2÷4、3÷6，問這幾個(gè)算式之間有什么關(guān)系？（它們的商相等）運(yùn)用了什么規(guī)律？（商不變的性質(zhì)）如果把除法算式改寫為分?jǐn)?shù)，得到1/2、2/4、3/6，這三個(gè)分?jǐn)?shù)之間有什么關(guān)系？有的學(xué)生猜想它們相等，有的猜想不相等，由此可以展開下面的教學(xué)，對(duì)所做的猜想加以驗(yàn)證。

二、歸納性猜想能夠激發(fā)智慧的浪花

歸納性猜想是指運(yùn)用歸納法，對(duì)研究對(duì)象或問題從一定數(shù)量的個(gè)例、特例進(jìn)行觀察、分析，從而得出有關(guān)的原理、結(jié)論或方法的猜想。聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，有許多歸納性猜想例子。如我在奧數(shù)教學(xué)中講到等比數(shù)列的求和公式時(shí)，就請(qǐng)一個(gè)學(xué)生到黑板前面，讓他從離門3米遠(yuǎn)處筆直地向門邊走，并要求他一步走1米，第二步走1/2米，第三步走1/4米，以此類推，能否到門邊？不少人脫口而出“能”，于是我再讓學(xué)生一步步地走，發(fā)現(xiàn)所走路程S=1+1/2+1/8+…這個(gè)過程永無(wú)止境，全班學(xué)生情緒高漲，一起分析他能否走到門邊。由求和公式S=2＜3，得出結(jié)論：他永遠(yuǎn)不能走到門邊，只能“望門興嘆”。又如在圓周長(zhǎng)的教學(xué)中，我首先讓學(xué)生通過操作得到直徑1厘米的圓周長(zhǎng)為3厘米多一些，直徑是2厘米的圓周長(zhǎng)為6厘米多一些；直徑3厘米的圓周長(zhǎng)為9厘米多一些；然后讓學(xué)生猜想，圓周長(zhǎng)與直徑是什么關(guān)系？學(xué)生猜想圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)，再進(jìn)行多次驗(yàn)證來證明猜想是否正確。又如從3×3=6+3，4×4=12+4，5×5=20+5…可以猜想出n×n=n×（n-1）+n。再如在長(zhǎng)方體體積的教學(xué)中，我先出示長(zhǎng)方形的紙片，問它的面積大小與什么有關(guān)系？再出示長(zhǎng)方體猜一猜長(zhǎng)方體體積的大小與哪些因素有關(guān)系？讓學(xué)生觀察由1立方厘米的小正方體拼成的各種長(zhǎng)方體，從而猜想到長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，得出長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

三、探索性猜想促成創(chuàng)造性思維發(fā)展

探索性猜想是指運(yùn)用嘗試教學(xué)法，依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)或新問題做出結(jié)論的方向性或局部性的猜想。它是一種需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐步增強(qiáng)其或可靠性或合理性的猜測(cè)。例如在平行四邊形的面積的教學(xué)中，我先出示三個(gè)圖形（圖中注明方塊的面積都是1平方厘米），要求分別求出它們的面積；然后學(xué)生通過數(shù)格子、剪拼、割補(bǔ)，很快得出它們的面積。這時(shí)讓學(xué)生猜想平行四邊形如何計(jì)算？面對(duì)新問題學(xué)生可能猜想，平行四邊有相鄰兩邊相乘或者平行四邊形的底乘以高。我接著問：“同一平行四邊形的面積為什么有兩種計(jì)算方法，到底哪個(gè)正確？”以激發(fā)學(xué)生去探索、去驗(yàn)證。

人類已由混沌跨入文明，我們對(duì)這個(gè)世界的認(rèn)識(shí)正在日益加深，而這種認(rèn)識(shí)越深刻，問題也就越多地顯現(xiàn)出來，這使得我們對(duì)這個(gè)神奇的世界充滿了遐思和種種猜想，創(chuàng)造性思維應(yīng)該是人最美的思想之花，而猜想是它的催化劑，它讓我們體驗(yàn)到了智慧的誕生與傳承。讓我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中多運(yùn)用一些猜想，讓學(xué)生“自己引導(dǎo)思維”，像自然科學(xué)家和數(shù)學(xué)家那樣去經(jīng)歷“猜想、驗(yàn)證、確定”的過程，體驗(yàn)“冒險(xiǎn)、創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)”的喜悅和成功。