數(shù)學(xué)奧林匹克教育

蔣邕平 呂德清

摘要：數(shù)學(xué)奧林匹克教育已成為國(guó)際公認(rèn)的教育活動(dòng)，隨著這種活動(dòng)的發(fā)展，逐漸形成了一門(mén)特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科——數(shù)學(xué)奧林匹克，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)奧林匹克教育的教育價(jià)值、理論依據(jù)、體系特征、主要研究?jī)?nèi)容和問(wèn)題特點(diǎn)；妥當(dāng)確立數(shù)學(xué)奧林匹克教育的教學(xué)定位，把握其教學(xué)要求，科學(xué)實(shí)施其教學(xué)方略，可促使數(shù)學(xué)奧林匹克教育健康、有序地發(fā)展，

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)奧林匹克教育研究

數(shù)奧競(jìng)賽已成為國(guó)際公認(rèn)的教育活動(dòng)，從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，參賽人數(shù)之多、范圍之廣、試題難度之高等均不比體育中的奧運(yùn)會(huì)遜色，在國(guó)際奧競(jìng)賽中，中國(guó)學(xué)生的成績(jī)已得到舉世公認(rèn)，進(jìn)入新世紀(jì)，面臨新挑戰(zhàn)，如何繼續(xù)使中國(guó)的數(shù)奧事業(yè)漫步在繁榮發(fā)展的康莊大道上?這是擺在有志于這一事業(yè)的同仁面前的一個(gè)重要課題，事業(yè)要發(fā)展，一方面要整體有序性地加強(qiáng)，另一方面要局部自主性地發(fā)揮，數(shù)奧事業(yè)整體有序性得以加強(qiáng)要靠數(shù)奧理論的深入研究并完善其體系，其自主性的積極發(fā)揮也要卓有成效的數(shù)奧教育為基礎(chǔ)。

一、數(shù)學(xué)奧林匹克的教育價(jià)值

數(shù)奧對(duì)發(fā)現(xiàn)人才、選拔人才、培養(yǎng)人才發(fā)揮著重要的作用，當(dāng)今所有經(jīng)濟(jì)大國(guó)和科技大國(guó)，無(wú)一例外地都是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的開(kāi)展，肩負(fù)著發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)優(yōu)秀人才的重任，一個(gè)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)一般分為兩個(gè)階段：一是早期的未定型階段，另一個(gè)是選定數(shù)學(xué)為職業(yè)后的學(xué)習(xí)和研究階段，這兩個(gè)階段的培優(yōu)教育都是重要的，一些世界著名數(shù)學(xué)家，除了他們的天賦之外，早期得到“伯樂(lè)”的指導(dǎo)的例子是很多的。

數(shù)奧強(qiáng)化了能力培養(yǎng)的教育導(dǎo)向，培養(yǎng)了學(xué)生開(kāi)拓探索型的智力和能力，開(kāi)拓探索型的智力和能力依賴于開(kāi)拓探究型思維方法的掌握，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容是以研究解決問(wèn)題為主的開(kāi)拓探究型認(rèn)知體系，要求人們注重智力的開(kāi)發(fā)與能力的發(fā)展。

數(shù)奧從本質(zhì)上激發(fā)了學(xué)生對(duì)科學(xué)的濃厚興趣，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題從結(jié)構(gòu)到解法都充滿著藝術(shù)的魅力和誘人的趣味，它吸引人們?nèi)ミM(jìn)行積極的探索，而在探索中又親自體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的智慧光輝和數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造力量，更進(jìn)一步產(chǎn)生向往感。

數(shù)奧活動(dòng)有利于學(xué)生形成發(fā)展的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，競(jìng)賽活動(dòng)具有發(fā)展性和研究性，發(fā)展性是其時(shí)代特性，研究性是其內(nèi)容與價(jià)值特性，求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題沒(méi)有例題，沒(méi)有現(xiàn)成的解題程序，需經(jīng)自己研究，獨(dú)立去發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生的認(rèn)知體系中，注入獨(dú)立學(xué)習(xí)、獨(dú)立研究、獨(dú)立發(fā)展的新的認(rèn)知元素，使他們受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與文化的熏陶，為其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步更新與發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

數(shù)奧造就學(xué)生追求科學(xué)發(fā)展的百折不撓的心理品質(zhì)，解競(jìng)賽題需要的是意志堅(jiān)強(qiáng)者，而淘汰意志薄弱者，參加競(jìng)賽使他們體驗(yàn)到：沒(méi)有艱辛，就沒(méi)有成功。

二、數(shù)學(xué)奧林匹克的體系特征

數(shù)奧是基礎(chǔ)性的綜合數(shù)學(xué)，數(shù)奧植于中學(xué)數(shù)學(xué)，錘煉了數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，許多競(jìng)賽題目與中、小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的例題、習(xí)題有一定的聯(lián)系，有的甚至是課本例題、習(xí)題的直接延伸、發(fā)展和變化，數(shù)奧以傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容為起點(diǎn)，逐步加深難度，不斷淘汰一些較陳舊的內(nèi)容，同時(shí)挖掘傳統(tǒng)內(nèi)容的精華并加以改造，注入新的表現(xiàn)形式，用新的數(shù)學(xué)思想和方法重新處理，逐步增加現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和觀點(diǎn)，并且使所涉及的問(wèn)題大多可用較初等的方法解決，它服務(wù)于培養(yǎng)數(shù)奧選手及教練，服務(wù)并服從數(shù)奧的發(fā)展，它是一種大學(xué)數(shù)學(xué)的深刻思想與中、小學(xué)數(shù)學(xué)的精妙技巧相結(jié)合的基礎(chǔ)性綜合數(shù)學(xué)。

數(shù)奧是發(fā)展性的教育數(shù)學(xué)，數(shù)奧教育從一定意義上說(shuō)是某種數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)，對(duì)中、小學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革產(chǎn)生巨大影響，通過(guò)競(jìng)賽，較新的數(shù)學(xué)知識(shí)逐步普及，在這個(gè)普及過(guò)程中許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新思想、新方法、新內(nèi)容，不斷地影響中、小學(xué)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)課程的改革。

數(shù)奧是創(chuàng)造性的問(wèn)題數(shù)學(xué)，數(shù)奧通過(guò)一道道千姿百態(tài)的問(wèn)題和機(jī)智巧妙的解法，橫跨傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，人們常以“內(nèi)部生成”(即剖析已有問(wèn)題，做出實(shí)質(zhì)性改造、推廣或遷移)和“外部嵌入”(即將較高層次的數(shù)學(xué)研究成果，經(jīng)過(guò)加工創(chuàng)造而成)的創(chuàng)造方式命制出競(jìng)賽試題。

數(shù)奧是富于挑戰(zhàn)性的活數(shù)學(xué)，由于眾多的數(shù)學(xué)家直接參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，同時(shí)更由于競(jìng)賽本身的機(jī)制，使得數(shù)奧具有很大的開(kāi)放性、發(fā)展性、挑戰(zhàn)性，現(xiàn)代數(shù)學(xué)某些分支的發(fā)展，往往很快影響到數(shù)奧的發(fā)展，例如，組合幾何這一既古老又新穎的分支在20世紀(jì)70年代后發(fā)展很快，形成了絢麗多彩的理論，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，這類問(wèn)題也逐漸受到重視，因此，數(shù)奧的發(fā)展也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)奧林匹克教育的理論依據(jù)

“最近發(fā)展區(qū)”是前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基在揭示教育對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)體的發(fā)展起主導(dǎo)和促進(jìn)作用的規(guī)律時(shí)提出來(lái)的，他認(rèn)為促進(jìn)學(xué)生個(gè)體的發(fā)展首先要確定其發(fā)展的兩種水平，一種是現(xiàn)有的已經(jīng)達(dá)到的水平，表現(xiàn)為學(xué)生能夠獨(dú)立解決的智力任務(wù)，另一種是在有指導(dǎo)的情況下，借助于他人的啟發(fā)和幫助可以達(dá)到的較高水平，這表現(xiàn)在學(xué)生還不能獨(dú)立完成解決某些任務(wù)，但在他人的幫助下，在集體活動(dòng)中，通過(guò)模仿就能夠解決這些任務(wù)，這兩種水平之間的差距，就是“最近發(fā)展區(qū)”，維果斯基的理論對(duì)于學(xué)校教育的最重要的啟示是：最佳的教學(xué)效果一定產(chǎn)生于“最近發(fā)展區(qū)”，可見(jiàn)，宜重視在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的潛力，而不僅僅局限于他的發(fā)展水平之內(nèi)，這一觀點(diǎn)在原則上對(duì)數(shù)奧教育具有很大的啟發(fā)意義，數(shù)奧教育在學(xué)生個(gè)體發(fā)展中具有加速發(fā)展的特殊功能，在確定了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”后，數(shù)奧教育往往走在學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的前面，從而更加明顯有效地帶動(dòng)學(xué)生的發(fā)展。

“超前、超常”是數(shù)奧的最大特點(diǎn)，數(shù)奧的高難度、高要求形成了學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，它是側(cè)重于學(xué)生創(chuàng)新能力傾向的測(cè)試，這種創(chuàng)新能力是逐步形成的，不同層次的學(xué)生，由于其成績(jī)、智力、能力有差異，因而他們的“最近發(fā)展區(qū)”也不同，數(shù)奧教育要求充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和老師的主導(dǎo)作用，把握好“火候”，指導(dǎo)學(xué)生盡量完成“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的題目，促使學(xué)生迅速發(fā)展和提高，從而利用“最近發(fā)展區(qū)”，促使學(xué)生的創(chuàng)新能力產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

四、數(shù)學(xué)奧林匹克教育的教學(xué)定位

數(shù)奧教育從本質(zhì)上講是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，其教育對(duì)象是中小學(xué)生，其教育載體是不超過(guò)中學(xué)或中學(xué)生所能接受的數(shù)學(xué)知識(shí)；如果對(duì)數(shù)學(xué)教育按照“因材施教”的原則進(jìn)行分層，那么可以分為循序漸進(jìn)的三個(gè)層次，第一層次為最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能教育，它為勞動(dòng)后備軍打下最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是最低層次，大致相當(dāng)于畢業(yè)過(guò)關(guān)水平，不妨稱之為過(guò)關(guān)教育；第二層次是高一級(jí)學(xué)校的預(yù)備教育，它為將升入高一級(jí)學(xué)校的新生打下較堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，不妨稱之為升學(xué)教育或預(yù)科教育；第三個(gè)層次是為了培養(yǎng)高新技術(shù)的高級(jí)后備人才而進(jìn)行的培優(yōu)教育，不妨稱之為英才教育，在不同的歷史時(shí)期，這三個(gè)層次的水平及表現(xiàn)形式有所變化，在今天“現(xiàn)代化在某種意義上說(shuō)，就是數(shù)學(xué)化”，“高新技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的形式下，在人才激烈競(jìng)爭(zhēng)的世界上，

確立數(shù)奧教育在基礎(chǔ)教育中的地位具有戰(zhàn)略的意義——奧運(yùn)戰(zhàn)略，因此，進(jìn)入新世紀(jì)，數(shù)奧教學(xué)應(yīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的組成部分，是基礎(chǔ)教育的完善與補(bǔ)充，不應(yīng)把它看成單純的業(yè)余教育，更不應(yīng)把它與過(guò)關(guān)教育、升學(xué)教育對(duì)立起來(lái)，要妥善處理好三個(gè)層次的關(guān)系，同時(shí)，筆者也認(rèn)為：任何事情都有個(gè)度，超度就會(huì)走向反面，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)齡、學(xué)段、學(xué)情妥當(dāng)確立數(shù)奧教育對(duì)一個(gè)學(xué)生、一個(gè)學(xué)校的教育定位，并且應(yīng)當(dāng)與現(xiàn)在開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課程、數(shù)學(xué)研究課程、數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽等有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，這樣將極大地促進(jìn)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。

五、數(shù)學(xué)奧林匹克的主要內(nèi)容和教學(xué)要求

深入研究數(shù)奧所涉及的內(nèi)容可知，目前已基本穩(wěn)定的代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合等方面，另外，我們要注意到數(shù)奧內(nèi)容的兩個(gè)方面，一方面數(shù)學(xué)競(jìng)賽是才智的角逐，因此，一些有固定路線可以遵循的問(wèn)題，不屬于數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽需要的是“巧”，是出奇制勝的“野路子”，競(jìng)賽促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)薄弱環(huán)節(jié)，而每當(dāng)一種方法越來(lái)越多地為中學(xué)教師與學(xué)生所掌握后，它也就完成了自己的歷史使命，并脫離了數(shù)奧，成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)部分，另一方面將高等數(shù)學(xué)下放到初等數(shù)學(xué)中去，用初等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，并用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決這些問(wèn)題，這就是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的任務(wù)，因此，數(shù)奧吸收了能用初等語(yǔ)言表述，并能用初等方法解決的高等數(shù)學(xué)中的某些問(wèn)題，這里的問(wèn)題、甚至解法的背景往往來(lái)源于某些高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，滲透了高等數(shù)學(xué)的某些內(nèi)容、思想和方法，但數(shù)奧又不同于這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域，另外，數(shù)學(xué)往往追求證明一些概括廣泛的定理，而數(shù)奧恰恰追求一些特殊問(wèn)題，而不需要高深的數(shù)學(xué)工具，這些問(wèn)題往往可以從思考角度、理解方法和解題思路方面推出一種廣義的認(rèn)識(shí)，深入研究數(shù)奧的主要內(nèi)容，更要認(rèn)真鉆研《數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》，當(dāng)然，隨著新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制定，競(jìng)賽大綱也可能進(jìn)行修訂，但制定數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱是我國(guó)數(shù)奧活動(dòng)的創(chuàng)造，也是我國(guó)數(shù)奧深入發(fā)展和日益成熟的標(biāo)志，數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱的制定是方興未艾的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)進(jìn)一步規(guī)范化的標(biāo)志，因此，競(jìng)賽大綱是數(shù)奧培訓(xùn)的依據(jù)、命題的依據(jù)。

六、數(shù)學(xué)奧林匹克的試題特點(diǎn)

根據(jù)數(shù)奧的體系特征，數(shù)奧試題的命制應(yīng)遵循科學(xué)性、新穎性、選拔性、能力性、界定性等原則，因而，數(shù)奧的題目風(fēng)格迥異，各具特色，涉及知識(shí)領(lǐng)域?qū)掗煟季S方式新穎，認(rèn)識(shí)試題的主要特點(diǎn)，可以為我們?cè)跀?shù)奧教育中科學(xué)實(shí)施教學(xué)方略指明方向。

新穎性與選拔性：競(jìng)賽題中有不少稱為“適應(yīng)性”的試題，這種題往往是新定義一個(gè)概念：如新定義一個(gè)函數(shù)、一個(gè)集合、一個(gè)數(shù)列、一類數(shù)；新定義一種符號(hào)、一種運(yùn)算法則或者給出處理問(wèn)題的規(guī)劃和要求等等，然后要求參賽者按新給的定義解題，或者設(shè)計(jì)出方案或給出實(shí)施方案。

開(kāi)放性與探究性：為了考查參賽者的探究能力，某些試題呈現(xiàn)出各種情形的開(kāi)放性，如只給出條件，而結(jié)論隱而未白，或指出一個(gè)探索方向和范圍，結(jié)論需自己探究后做出判斷。

背景性與前沿性：競(jìng)賽題的很多題材，凝結(jié)了不少優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的心血和智慧，是某些高等數(shù)學(xué)或前沿領(lǐng)域的問(wèn)題、方法，通過(guò)“初等化”、“特殊化”、“具體化”等移植而來(lái)，而且調(diào)動(dòng)和活化了初等數(shù)學(xué)中很多潛在的知識(shí)、方法、原理，有重要的背景。

藝趣性與競(jìng)技性：很多競(jìng)賽試題把現(xiàn)代化的內(nèi)容與趣味性的陳述、獨(dú)創(chuàng)性技巧有機(jī)結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)藝術(shù)的構(gòu)造或構(gòu)造的藝術(shù)，競(jìng)賽試題常常又以其題型新、知識(shí)面廣、解法靈活、技巧強(qiáng)、難度大以體現(xiàn)競(jìng)賽性質(zhì)。

七、數(shù)學(xué)奧林匹克教育的教學(xué)方略

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一種特殊形式的考試，因此數(shù)奧教育應(yīng)防止應(yīng)試教育的傾向，避免采用應(yīng)試教育的教學(xué)方略，

激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)精神，是數(shù)奧教育的一條指導(dǎo)原則，如果教學(xué)與訓(xùn)練工作不考慮不斷激發(fā)學(xué)生的興趣和能力水平，長(zhǎng)時(shí)間的高難度訓(xùn)練會(huì)產(chǎn)生反作用，產(chǎn)生疲勞情緒，甚至導(dǎo)致思維混亂，變成學(xué)生的沉重負(fù)擔(dān)。

要注意培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和進(jìn)行廣泛遷移的能力，現(xiàn)代教學(xué)論中，布魯納強(qiáng)調(diào)“學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)”，瓦根舍因注意通過(guò)范例使學(xué)生掌握一般原理，形成結(jié)構(gòu)性知識(shí)，說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)是非常重要的，知識(shí)不形成結(jié)構(gòu)，也就不能進(jìn)行遷移，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的所學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，不僅要注意局部，更要注意整體，還要注意過(guò)程，應(yīng)使常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)與競(jìng)賽培訓(xùn)教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

突出數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)調(diào)在理解的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，現(xiàn)代教學(xué)論強(qiáng)調(diào)理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)特征，使新舊知識(shí)建立起本質(zhì)的非人為的聯(lián)系，才能靈活地運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，數(shù)奧教學(xué)在一定意義上是以解競(jìng)賽題為中心的教學(xué)，如果孤立地處理問(wèn)題，不注重問(wèn)題的背景和相關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)與命題系統(tǒng)的關(guān)系，便不會(huì)收到鍛煉學(xué)生思維的目的，因此，必須突出數(shù)學(xué)思想方法，在把握問(wèn)題、解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新。

利用交往的功能發(fā)揮智力群體的作用，現(xiàn)代教學(xué)論，特別是交往教學(xué)論與社會(huì)心理學(xué)，都十分強(qiáng)調(diào)環(huán)境與交往對(duì)人的發(fā)展的影響，由于參加數(shù)奧培優(yōu)的都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較好的學(xué)生相對(duì)集中的智力群體，每個(gè)人都有自己的長(zhǎng)處，強(qiáng)中自有強(qiáng)中手，一山更比一山高，每個(gè)人都可以找到自己的參照進(jìn)取目標(biāo)，應(yīng)適當(dāng)?shù)亟M織探討式教學(xué)，以形成師生、學(xué)生間的多向信息交流，發(fā)揮互補(bǔ)式交往功能，促使解題思路更加優(yōu)化，知識(shí)理解更加透徹，創(chuàng)新精神更加開(kāi)拓。