在解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力

章 穎

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的學(xué)習(xí)方式。所謂數(shù)學(xué)建模是指把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用過程。數(shù)學(xué)建模教學(xué)是指通過在課堂中面對有生活背景的實(shí)際問題，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的空間，讓學(xué)生交流數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)，在體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)與方法解決實(shí)際問題的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用。本文主要針對如何在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的教學(xué)中。幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)學(xué)生初步的建模能力，進(jìn)行一些基礎(chǔ)性的探討。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，滲透建模意識(shí)

成功的“數(shù)學(xué)建模”離不開對現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)致的觀察，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法對材料進(jìn)行加工分析，大膽地猜想和不斷地提出問題。以具體形象思維為主的小學(xué)生比較難以構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法，只有將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)背景緊密地聯(lián)系在一起，才能促使學(xué)生充分地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生獲得富有生命力的數(shù)學(xué)理解。

1.利用感性材料突出問題背景

豐富的感性材料是“數(shù)學(xué)建?！钡幕颈尘?，也是創(chuàng)設(shè)問題情境、揭示問題本質(zhì)的前提。如果學(xué)生通過對感性材料的閱讀、思考、理解，自覺產(chǎn)生強(qiáng)烈應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。就會(huì)深化對“數(shù)學(xué)建模”中數(shù)學(xué)問題的基本背景的再認(rèn)識(shí)，從而激活并展開思維活動(dòng)。新教材從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，安排了“游戲”、“運(yùn)動(dòng)會(huì)”、“植樹”、“可愛的校園”、“購物”、“旅游”等現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)感性材料。這些來自于現(xiàn)實(shí)生活的感性材料用學(xué)生熟悉的語言和思維方式呈現(xiàn)，突出了問題情境，有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，并適時(shí)地上升到抽象理論，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，然后再把它用之于更廣泛的具體內(nèi)容中去，既使學(xué)生得到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，又能使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的基本思想方法。例如，在教學(xué)長方形周長的計(jì)算時(shí)，教材首先以學(xué)生熟悉喜愛的籃球場為題材，指名說說知道了哪些信息，再創(chuàng)設(shè)“小明繞籃球場走一圈走了多少米”這一問題情境讓各小組討論研究。學(xué)生的情緒十分高漲，紛紛出謀劃策。在學(xué)生的探討匯報(bào)過程中，教師從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度趁勢提出研究問題：“你認(rèn)為計(jì)算長方形的周長需要知道什么條件?怎樣計(jì)算?”學(xué)生輕松地理解了長方形的長和寬與周長之間的關(guān)系以及幾種不同的計(jì)算方法，初步建構(gòu)了長方形周長計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。

2.從現(xiàn)實(shí)原型中抽象數(shù)學(xué)問題

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。在許多數(shù)學(xué)實(shí)際問題中，由于“事理”往往包含在“事件”中，隱而未露，而小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和對事物間相互聯(lián)系的認(rèn)識(shí)又比較缺乏，造成學(xué)生對某些實(shí)際問題中所包含的事件、事理不理解。因此，教學(xué)時(shí)必須先通過演示、實(shí)驗(yàn)等手段，逐步舍棄復(fù)雜的生活情節(jié)。將實(shí)際問題運(yùn)用數(shù)學(xué)思想(轉(zhuǎn)化、對應(yīng)等)抽象、概括為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)滲透了建立數(shù)學(xué)模型并將數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理的意識(shí)。例如：“六年級同學(xué)為準(zhǔn)備國慶晚會(huì)做了三種顏色的綢花，黃花有50朵，紅花比黃花多1/10，綠花比黃花少2/5。紅花比黃花多多少朵?綠花比黃花少多少朵?”這是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題的變式，雖然一步計(jì)算就能解決問題。但其數(shù)量之間的隱含關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生不易理解。解決這個(gè)問題的關(guān)鍵可以在教學(xué)中利用表格和條形圖相結(jié)合的辦法呈現(xiàn)出現(xiàn)實(shí)原型，把問題中隱含的數(shù)量關(guān)系顯示出來，并通過設(shè)問“紅花比黃花多多少朵，就是求什么?綠花比黃花少多少朵，也就是求什么”抽象出求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)凸顯出與要解決的問題密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系“紅花比黃花多的朵數(shù)=黃花的朵數(shù)1/10”，從而簡化了解題思路，找到解決問題的方法。這樣既提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，又滲透了建模意識(shí)。

二、自主探索分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供充分的時(shí)間和空間，通過自主探索和合作交流，經(jīng)歷“觀察—分析與處理——抽象——檢驗(yàn)與修改”的過程，從結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實(shí)情境中導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題中完成對數(shù)學(xué)模型的解釋與應(yīng)用。

1.全方位、多角度的分析與簡化

建立數(shù)學(xué)模型的目的是運(yùn)用數(shù)學(xué)的系統(tǒng)理論導(dǎo)出問題的結(jié)果，或?qū)σ延械慕Y(jié)果提供強(qiáng)而有力的支撐。在運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問題的過程中，首先要引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度地分析題意，將原始問題中的本質(zhì)特征保留下來，同時(shí)盡可能地將題意進(jìn)行簡化。這種簡化應(yīng)基于科學(xué)與合理，要根據(jù)原來的實(shí)際情況仔細(xì)考慮，以避免有關(guān)的數(shù)學(xué)定理不能提供實(shí)際情形的有效預(yù)測，以便得到的數(shù)學(xué)體系是易處理的，同時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，要注意通過揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過程，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展過程，從而掌握“簡化”的經(jīng)驗(yàn)和技巧。

2.合理的、漸進(jìn)的推理與歸納

教學(xué)讓學(xué)生僅悟到把問題簡單化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要從簡化的問題出發(fā)，探尋出解決問題有效的規(guī)律，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律幫助解決復(fù)雜問題。這發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，實(shí)質(zhì)上是學(xué)生的推理過程。從個(gè)別的、簡單的例子出發(fā)。逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)常用的推理方法，滲透了歸納的思想方法，使學(xué)生自主完成了對“復(fù)雜問題——簡單問題——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問題”的解題策略的構(gòu)建。例如，在解決事物搭配的實(shí)際問題活動(dòng)中，由于要探索的規(guī)律比較抽象，教師首先設(shè)計(jì)了“營養(yǎng)早餐”這一生活中常見的搭配問題，讓學(xué)生通過擺一擺、畫一畫、連一連等操作活動(dòng)，從實(shí)物、圖形逐步過渡到符號，接著思考：(1)怎樣選擇才能做到既不重復(fù)又不遺漏?(2)飲料的種數(shù)和點(diǎn)心的種數(shù)，與多少種搭配有什么關(guān)系?學(xué)生通過交流，不斷完善自己的想法，并把獲得的具體、感性的認(rèn)識(shí)逐步上升為數(shù)學(xué)思考，初步感受有關(guān)的簡單數(shù)學(xué)模型。然后讓學(xué)生存生活中尋找類似的例子，進(jìn)一步運(yùn)用規(guī)律打開思路。最后通過幾組數(shù)的排列組合，將研究的結(jié)果繪制成表。對原有的解題策略進(jìn)行了一次全新的擴(kuò)充，構(gòu)建了搭配規(guī)律的模型。在探索過程中，學(xué)生掌握從局部觀察找規(guī)律到推及整體事物和從實(shí)物、圖形到推及符號、數(shù)學(xué)模型的方法，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識(shí)，同時(shí)學(xué)生的思維經(jīng)歷了“一波三折”的過程，加深了對解題方法的理解。

3.生活化、實(shí)踐化的檢驗(yàn)與修改

成功的“數(shù)學(xué)建?！奔纫匾晫?shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，又要重視數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程，讓數(shù)學(xué)模型回到生活實(shí)踐中去接受檢驗(yàn)。在這一過程中，不斷地發(fā)現(xiàn)和提出新問題，并將各種情況進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法對已建立的模型進(jìn)行不

斷拓寬和發(fā)展，不斷地修正和完善原先的結(jié)論。例如，在解決鋪地磚的實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生通過自主探索，經(jīng)歷了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，獲得解決問題的基本模型——房間面積÷每塊地磚的面積=地磚的塊數(shù)。在拓展練習(xí)時(shí)，有這樣一道題：王阿姨用一塊長3.2米、寬1.5米的長方形白布制作餐巾，最多可以裁成邊長是2分米的正方形餐巾多少塊?學(xué)生們在進(jìn)行長度和面積的轉(zhuǎn)換后，根據(jù)大面積÷小面積=餐巾的塊數(shù)，很快列出了算式(32×15)÷(2.2)=120(塊)。這時(shí)我在旁邊提出了質(zhì)疑：“想一想，結(jié)果正確嗎?”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際進(jìn)行分析與討論。有學(xué)生提出長為3，2米可以裁出16個(gè)2分米(32÷2=16)；寬為1，5米，只能剪出7個(gè)2分米(15÷2=7……1)，總共只能裁出16×7=112(塊)，還有32×1平方分米的長方形布條剩余，而生活中餐巾是不可以進(jìn)行拼接的，這塊剩余的長方形實(shí)際上是無法裁成正方形餐巾的。此時(shí)我又提出：“如果是一塊長為3.2米、寬為1.6米的長方形白布，用這種思路解答可以嗎?”學(xué)生們通過驗(yàn)證，認(rèn)為在長和寬都剛好夠剪的情況下用‘大面積÷小面積是適用的。

三、呈現(xiàn)變換思想，深化數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生通過自主實(shí)踐初步建立了簡單的數(shù)學(xué)模型后，教師可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活，靈活變換背景、條件，使實(shí)際問題得到進(jìn)一步復(fù)雜化，形成不同類型而又相互鏈接的題組結(jié)構(gòu)，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)模型的深化，激發(fā)學(xué)生的探求欲望，提高學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)發(fā)散、變式與求異的思維習(xí)慣，促使學(xué)生學(xué)會(huì)觸類旁通。

間隔現(xiàn)象在生活中普遍存在。植樹問題在現(xiàn)實(shí)中也有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。在教學(xué)中，利用生活中的植樹問題(兩端都栽的)為載體，首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)間隔現(xiàn)象的普遍規(guī)律，直觀認(rèn)識(shí)并總結(jié)出間隔和點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)要比段數(shù)(間隔數(shù))多1，從而建立起數(shù)學(xué)模型：總長÷間距+1=棵數(shù)(兩端都栽)。在此基礎(chǔ)上安排學(xué)生自主完成已知總長與間距求棵數(shù)、已知棵數(shù)和間距求總長的練習(xí)，讓學(xué)生從正、反兩個(gè)方面出發(fā)，直接應(yīng)用模型解決簡單的實(shí)際問題，訓(xùn)練學(xué)生雙向可逆思維的能力。接著提問：“如果你是園林工人，你還可以怎么種?”讓學(xué)生自主探索出在一條路上植樹時(shí)，有3種不同的情況：“兩端都種”、“兩端都不種”、“只種一端”。這樣，使讓學(xué)生體會(huì)與間隔現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際問題是多樣的，通過問題和條件等變換手段，形成系列植樹題串，呈現(xiàn)題型的可能變化，讓學(xué)生進(jìn)一步深化該數(shù)學(xué)模型。同時(shí)把學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)生活情境，如掛彩燈、鋸木頭、爬樓梯、排隊(duì)做操等與植樹問題相似的現(xiàn)象呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中含有許多與植樹問題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決。這樣把解決植樹問題作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)學(xué)習(xí)支點(diǎn)，既加強(qiáng)了該模型的拓展應(yīng)用，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)建模的重要意義，同時(shí)又使該數(shù)學(xué)模型得到進(jìn)一步深化。

數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向我們提出的各種問題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的過程中，只有讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟建模思想，真正發(fā)揮自主探索的能力和敢于創(chuàng)新的精神，建模能力就能得到有效的培養(yǎng)。