幾何教學(xué)中學(xué)生思維能力的訓(xùn)練例談

喬興文

摘要:《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面持續(xù)、和諧地發(fā)展”,“使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！北疚慕Y(jié)合《三角形內(nèi)角和定理》一課談?wù)勗趲缀谓虒W(xué)中進(jìn)行創(chuàng)新思維能力訓(xùn)練的一些做法:一、在幾何定理證明中引發(fā)、調(diào)動學(xué)生思維的積極性,具體做法為:利用定理證明的必要性,啟動學(xué)生思維;利用定理證明與發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生思維;二、在定理證明的思維中,探求開發(fā)學(xué)生的思維能力,具體做法為:遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,深化學(xué)生思維;變換角度,激發(fā)學(xué)生思維;創(chuàng)設(shè)民主的教學(xué)氛圍,鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞:幾何教學(xué)思維能力訓(xùn)練 例談

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面持續(xù)、和諧地發(fā)展”,“使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！痹诔踔袛?shù)學(xué)教育教學(xué)中,我們進(jìn)行了一些有益的探索。本文結(jié)合《三角形內(nèi)角和定理》一課的教學(xué),談一談對學(xué)生進(jìn)行思維能力訓(xùn)練的做法,以供讀者參考。

《三角形內(nèi)角和定理》是學(xué)生接觸較早的定理之一,其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此,教學(xué)中要重點(diǎn)解決的問題是定理的證明,在定理的證明中,學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線。于是在定理證明中“為什么要添加輔助線”和“如何添加輔助線”成為重中之重。通過“三角形內(nèi)角和定理”的證明的具體教學(xué)實(shí)踐,感受幾何證明的思想,讓學(xué)生體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用,感悟數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想,訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,成為幾何教學(xué)中探索的重要內(nèi)容。

一、在證明幾何定理的實(shí)踐中,引發(fā)調(diào)動學(xué)生思維的積極性

1.引導(dǎo)分析幾何定理證明的必要性,啟動學(xué)生思維

在講授《三角形內(nèi)角和定理》一課時,首先讓學(xué)生通過剪裁、拼接的方法,將三角形的三個內(nèi)角拼成一個角,并量得該角度數(shù),得出三個內(nèi)角的和為180度。然后引出定理證明的必要性:(1)測量會產(chǎn)生誤差,通過觀察、度量、猜測得到的結(jié)論不一定正確;(2)剪裁、拼接有限個三角形,還不足以說明所有三角形都有同樣性質(zhì) ;(3)測量一些三角形內(nèi)角和等于180度,可以作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的依據(jù),但還不是數(shù)學(xué)證明,利用這種必要性,使學(xué)生產(chǎn)生疑慮,有疑慮,才能產(chǎn)生認(rèn)知沖突,進(jìn)而激發(fā)認(rèn)知要求。

2.利用定理證明與發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生思維

講課時,先從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)入手,讓學(xué)生體會生活中橋梁的重要性,同時引出搭建橋梁的注意事項(xiàng),然后把生活中的橋梁向數(shù)學(xué)中的橋梁引申,借助剪裁、拼接三角形三個內(nèi)角的過程分析,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生初步體會輔助線在幾何證明中的橋梁作用。指導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論,條件相當(dāng)于已知,結(jié)論相當(dāng)于未知,指出已知和未知相當(dāng)于河兩岸,輔助線是連接兩岸的橋梁。提問:“何處能提供180度”從而引發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散和創(chuàng)新,學(xué)生容易想到“平角為180度”“平行線同旁內(nèi)角和為180度”。然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析:(1)如何添加輔助線(即如何架橋),明確添加輔助線的目的是將三角形三個內(nèi)角向一個平角或互補(bǔ)的兩個角轉(zhuǎn)化。(2)在哪兒能添加輔助線(即在哪能架橋),教師組織學(xué)生剪裁、拼接三角形的三個內(nèi)角,驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180度,很容易得知:可以選擇三角形的頂點(diǎn)、邊上或三角形內(nèi)部、甚至三角形外部。教師應(yīng)注意分層次引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)地點(diǎn)選擇的多樣性。學(xué)生不僅容易將三個內(nèi)角移到一個頂點(diǎn)上,也能將三個內(nèi)角移成平行線的一對同旁內(nèi)角。此時,抓住了定理證明的實(shí)質(zhì),這兩種思路都是利用平行線把分散的角相對集中起來,因而這兩種思路可以相互轉(zhuǎn)化,便把學(xué)生的思維引向了一個較高境界,引發(fā)了學(xué)生的自主探索。(3)輔助線有幾種添法(可架幾座橋),從地點(diǎn)上看可以有若干種,同時對平角或互補(bǔ)的選擇又有所不同。(4)哪種最簡捷(架哪座橋最省),讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué)的意識。

二、在探求定理證明思路中開發(fā)學(xué)生的思維能力

1.遵循認(rèn)知規(guī)律,深化學(xué)生思維

學(xué)生通過回憶對三角形的三個內(nèi)角的剪裁、拼接,很容易得出圖形.然后引導(dǎo)學(xué)生按圖形補(bǔ)畫線(輔助線),表現(xiàn)了學(xué)生會對直觀模型進(jìn)行抽象提煉,會對新圖形進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述,學(xué)生的理性思維在實(shí)驗(yàn)變論證、感性變理性、直觀變抽象的飛躍中得到了發(fā)展。教師指出,新補(bǔ)畫的線為輔助線,即聯(lián)系命題的已知和未知的橋梁。那么能不能通過只移一個內(nèi)角得到三個內(nèi)角和為180度,進(jìn)而證明三角形內(nèi)角和定理呢?得到從而引領(lǐng)學(xué)生掌握輔助線添加方法的多樣性,深化學(xué)生思維。

2.多角度變換,激發(fā)學(xué)生思維

學(xué)生回顧剪裁、拼接三角形三個內(nèi)角為一個平角的過程,成功地找出了定理證明的思路后,及時引導(dǎo)學(xué)生找出在三角形邊上或三角形內(nèi)部、外部添線的方法。繼續(xù)探索引出利用兩平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)也可以證明,啟發(fā)學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)哪種方法最簡捷,體會數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.

同學(xué)們經(jīng)過比較得知,過C作CE平行AB,運(yùn)用平行線內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ),證明三角內(nèi)角和定理過程最簡便;如果先延長BC,再過C作CE平行AB,運(yùn)用平行線內(nèi)錯角相等、同位角相等及平角定義,證明三角形內(nèi)角和定理,圖形直觀,思維簡便。然后學(xué)生試寫出完整的證明過程。經(jīng)過多方面探討,學(xué)生的發(fā)散思維能力得到了開發(fā),學(xué)生探求定理證明的思路得到拓展,教學(xué)活動也達(dá)到了豐富多彩。

3.在民主的教學(xué)氛圍中,鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思維

民主的教學(xué)作風(fēng),為學(xué)生提出問題,暴露思維過程提供了良好的教學(xué)氛圍,在學(xué)生探索過程中,有的學(xué)生發(fā)現(xiàn),作∠ACE=∠B證不出∠ECD=∠A,教師可引導(dǎo)學(xué)生從反面理解不成功的理由,是這樣做得不到平行線。當(dāng)學(xué)生提出作∠ACE=∠A再證∠ECD=∠B時需要∠ACD>∠A,(由于延長BC得到了∠ACD,默認(rèn)了“外角大于不相鄰的內(nèi)角”)。引導(dǎo)學(xué)生探究:從圖上看無論怎樣做CE均在∠ACD內(nèi)部,若CE在∠ACD外部,則CE必通過△ABC內(nèi)部與AB相交,這與CE平行AB矛盾。則CE一定平行于AB。進(jìn)而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。這樣添加輔助線這個難點(diǎn)在討論探究中得到化解,一種富有創(chuàng)造性的思路在學(xué)生認(rèn)識的不斷修正和完善中產(chǎn)生,經(jīng)過訓(xùn)練,創(chuàng)造性思維能力得到了有效培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn):

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教育部編 2001年北京師范大學(xué)出版社

《新課程理念下的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計初中數(shù)學(xué)》孔凡哲編 2007年東北師范大學(xué)出版社

作者單位:河北省盧龍縣雙望鎮(zhèn)中學(xué)