關于一個有限集合基數(shù)定理的歸納法證明

張萬忠

人教版高中數(shù)學用CArd（A）表示有限集合A的基數(shù)，這樣書寫在比較復雜的運算或證明中用起來很不方便，在本文中我們采用符號|A|來表示有限集合A的基數(shù)。

定理：若且n＞1，A₁，A₂，…A_n是有限集合，則：| A₁∪A₂∪…∪A_n |= ＋…

＋（－1）^n-1| A₁∩A₂∩…∩A_n |①

為下面分析與證明方便，我們將①式變形為：| A₁∪A₂∪…∪A_n |=（-1）^1-1

（-1）^（n-1）-1②

這里①式變?yōu)棰谑街皇切问缴系淖兓ɡ淼囊饬x是沒有改變的。

設M={A₁，A₂，…，A_n},②中的每一個∑都表示從M中任取相應個數(shù)的不同元素，依次分別有A₁，A₂，…，A_n種，再求出每一種的所有元素交集的基數(shù)，然后求和。以下仿此?？梢?，我們可以用組合的方法來分析研究②式。

下面我們用數(shù)學歸納法來證明②式：

1． 當n=2時

（1）若A₁與A₂不相交，則A₁∩A₂=Φ，而且| A₁∩A₂ |=0，這時顯然成立

| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |。

（2）若A₁與A₂相交，則A₁∩A₂≠Φ，但有

| A₁ |=| A₁∩-A₂ |+| A₁∩A₂ |

| A₂ |=| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

此外| A₁∪A₂ |=| A₁∩-A₂ |+| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

所以，| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |-| A₁∩A₂ |

在這里，-A定義為：-A=E-A={x|}，其中E為全集。

2． 假設n=k-1時命題成立

設Q=A₁∪A₂∪…∪A_k