幾種矩陣逆的連續(xù)性

吳池業(yè),黃廷祝

(電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610054)

幾種矩陣逆的連續(xù)性

吳池業(yè),黃廷祝

(電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610054)

非奇異矩陣的逆是矩陣元素的連續(xù)函數(shù).學(xué)者們也對(duì)矩陣廣義逆的連續(xù)性有所研究.本文應(yīng)用矩陣分裂和兩個(gè)矩陣之和的逆的展開式,給出了一般非奇異矩陣,M-矩陣和H-矩陣的逆的連續(xù)性．當(dāng)一些合理的條件滿足時(shí),這幾種矩陣的逆是連續(xù)的.

連續(xù)性;矩陣逆;M-矩陣;H-矩陣;廣義逆

1 引言

對(duì)大多數(shù)的數(shù)值分析者來(lái)說(shuō),矩陣逆是不合常理的.不但是因?yàn)榫仃嚹娴墓ぷ髁拷咏谝话憔仃嚦朔üぷ髁康娜?而且不穩(wěn)定[1].另外,很少矩陣逆是連續(xù)的.當(dāng)A是非奇異方陣時(shí), Moore-Penrose廣義逆等同于A的一般矩陣逆A?1.眾所周知[2],對(duì)于使得‖I‖=1任意矩陣范數(shù)‖·‖,如果‖E‖＜1,則

的充分條件是對(duì)于充分大的n,En的行和列位于A的行空間和列空間.廣義逆連續(xù)性的充要條件是Stewart[4]給出的.他給出了在(2)和(3)的條件下(4)成立的充要條件是對(duì)于充分大的n都有rank(A+En)=rank(A).Campbell和Meyer[5]也提供了M-P和Drazin廣義逆的連續(xù)性性質(zhì).

首先,我們提供兩個(gè)本文所需的定義

其中P是非負(fù)的,ρ(P)是P的譜半徑且當(dāng)s＞ρ(P)時(shí),A稱為M-矩陣.

M-矩陣有兩個(gè)主要特征:

(ii)A是穩(wěn)定的.

n階矩陣A稱為H-矩陣,如果A的比較矩陣μ(A)=(αij)是M-矩陣,其中αii=|aii|且αij= ?|aij|(i/=j).

M-矩陣和H-矩陣在數(shù)值分析,數(shù)學(xué)物理,控制論和經(jīng)濟(jì)學(xué)中有非常重要的應(yīng)用[68].本文給出了關(guān)于一般非奇異矩陣,M-矩陣和H-矩陣逆的連續(xù)性的一些結(jié)論.明顯地,本文的條件比文[9]中的條件簡(jiǎn)單.

全文中,對(duì)A=(aij)矩陣|A|被定義成|A|=(|aij|).

2 一般非奇異矩陣逆的連續(xù)性

3 M-矩陣逆的連續(xù)性

本節(jié)我們給出當(dāng)滿足一些特殊條件時(shí),M-矩陣逆的連續(xù)性.

定理2若給M-矩陣A一個(gè)擾動(dòng)△A,|△A|≤ε|A|,ε是充分小的正數(shù)且A+△A非奇.則

故

定理2的條件明顯比引理2的條件要簡(jiǎn)單.此外,當(dāng)ε充分靠近于0時(shí),ερ(A?1|A|)＜1總是可以達(dá)到的.故在定理2的條件下中,我們將其省略.

4 H-矩陣逆的連續(xù)性

本節(jié)我們給出當(dāng)滿足一些特殊條件時(shí),H-矩陣逆的連續(xù)性.

定理3若給不可約H-矩陣A一個(gè)擾動(dòng)△A使得B=A+△A,其中B是非奇異的且△A= diag(ε1,ε2,…,εn)≥0.則

接下來(lái)的證明類似于定理3的證明,此略.

[1]Higham N J.Accuracy and Numerical Algorithm[M].Philadephia:SIAM,1996.

[2]Wilkinson J H.Rounding Error in Algebraic Process[M].Englewood Cliff,NJ:Prentice-Hall,1963.

[3]Ben-Israel A,Charnes A.On error bounds for the generalized inverse[J].SIAM J.Numer.Anal.,1966, 3(4):585-592.

[4]Stewart G W.On the continuity of the generalized inverse[J].SIAM J.Appl.Math.,1969,17(1):33-45.

[5]Campbell S L.On the continuity properties of Moore-Penrose and Drazin generalized inverse[J].Ibid,1977, 18(1):53-57.

[6]Windisch G.M-matrices in Numerical analysis[M].Leipzig:Teubner-Texte zur Mathematik,1989.

[7]Takayama A.Mathematical Economics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1988.

[8]Horn R A,Johnson C R.Topics in Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[9]Wei Yimin,Cao Yanhua,Xiang Hua.A note on the componentwise perturbation bounds of matrix inverse and linear systems[J].Appl.Math.Comp.,2005,169(2):1221-1236.

On the continuity of several kinds of matrices inverse

WU Chi-ye,HUANG Ting-zhu
(School of Applied Mathematics,University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu610054,China)

The inverse of a nonsingular matrix is a continuous function of the elements of the matrix.The continuity of the generalized inverse A+of a matrix A was also investigated by scholars.In this paper,applying matrices splitting and the expansion of inverse of sum of two matrices,the continuity of matrices inverse,such as general nonsingular matrices,M-matrices and H-matrices,respectively,is provided.Inverses of these matrices are continuous when some reasonable conditions are satisfied.

continuity,matrix inverse,M-matrix,H-matrix,generalized inverse

O241.6

A

1008-5513(2009)03-0481-05

2007-04-02.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10771030),教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(107098),四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2008JY0052),高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20070614001),電子科技大學(xué)“中青年學(xué)術(shù)帶頭人+創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”項(xiàng)目.

吳池業(yè)(1978-),博士生,研究方向：數(shù)值算法的穩(wěn)定性和精確性.

2000MSC:65F10