有限群極大子群的s-θ-完備與π-可解性

鐘祥貴,單俊輝,張洪,2

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西桂林541004;2.凱里學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,貴州凱里 556000)

有限群極大子群的s-θ-完備與π-可解性

鐘祥貴1,單俊輝1,張洪1,2

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西桂林541004;2.凱里學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,貴州凱里 556000)

定義一些極大子群的集合,通過(guò)研究極大子群的s-θ-完備對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響,給出有限群為π-可解的一些新刻畫.

極大子群;s-θ-完備;π-可解群

1 引言及預(yù)備知識(shí)

有限群的極大子群在群論研究中扮演著重要的角色.賦予極大子群若干條件研究其對(duì)有限群本身的結(jié)構(gòu)的影響,這是長(zhǎng)期以來(lái)令人感興趣的課題[112].Deskins[1]引入了有限群極大子群完備的概念,并在文[2]中研究了極大完備的群論性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.這一開創(chuàng)性的方法為研究有限群的性質(zhì)提供了一個(gè)很好的工具.借鑒這種方法,文[3]定義了有限群極大子群的θ-子群偶的概念,利用極大子群的完備或θ-子群偶刻劃群的可解性,超可解性,冪零等性質(zhì). 文[4]提出θ-完備的概念,有力地揭示了完備與θ-子群偶之間的內(nèi)在聯(lián)系.注意到以往的研究是通過(guò)對(duì)θ-完備賦予“極大”這一條件來(lái)刻劃群的結(jié)構(gòu).為了去掉“極大”條件,文[5]提出了強(qiáng)θ-完備的概念,文[6]中稱其為s-θ-完備,并利用這一概念得到了關(guān)于群的可解性,冪零性的一些新的判別準(zhǔn)則.本文繼續(xù)文[5-6]的工作,通過(guò)定義一些極大子群集合,從新的角度對(duì)群的π-可解性進(jìn)行刻劃.

本文涉及的群G皆指有限群.M＜…G表示M是G的極大子群,CoreG(M)表示M在G中的核.文中未予特別說(shuō)明的符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的.

定義1.1[1]給定群G的極大子群M.令N/K是G的一個(gè)主因子,滿足G=M N并且N有盡可能小的階.N/K的階叫做M在G中的正規(guī)指數(shù),記作η(G:M).

定義1.2[4]給定群G的極大子群M,稱G的子群C為關(guān)于M的θ-完備,如果C/?M,CoreG(M)?C,且C/CoreG(M)不真含G/CoreG(M)的異于1的正規(guī)子群.

定義1.3[6]設(shè)C是關(guān)于M的θ-完備,稱C為關(guān)于M的s-θ-完備,如果C=G或者存在G的子群B,使得C是B的極大子群但B不是關(guān)于M的θ-完備.

定義1.4設(shè)G是有限群,p是素?cái)?shù),定義G的特征子群L(G),Sp(G),Dp(G)如下

引理1.1設(shè)C是極大子群M的一個(gè)s-θ-完備,如果NG且N≤M,則C/N是M/N的一個(gè)s-θ-完備;反之如果C/N是M/N的一個(gè)s-θ-完備,則C是極大子群M的一個(gè)s-θ-完備.

證明由定義,結(jié)論顯然.

引理1.2[7]L(G)超可解.

引理1.3[8]如果N是G的正規(guī)子群,M是G的極大子群,滿足N≤M,那么η(G/N: M/N)=η(G:N).

引理1.4[1]η(G:M)=|σ(M)||G:M|.

引理1.5[9]如果M是G的極大正規(guī)子群,那么η(G:M)=|G:M|為一素?cái)?shù).

引理1.6[10]設(shè)p是Dp(G)定義中的素?cái)?shù),如果G p-可解,那么Dp(G)可解.

引理1.7[10]設(shè)p是Sp(G)定義中的素?cái)?shù),如果G p-可解,那么Sp(G)可解.

引理1.8[11]如果G有一個(gè)CoreG(M)=1的極大子群M,那么下列陳述兩兩等價(jià)

(i)核為1的極大子群在G中的指數(shù)為同一個(gè)素?cái)?shù)的方冪;

(ii)G有唯一極小正規(guī)子群N,且G的核為1的極大子群在G中的指數(shù)有共同的素因子;

(iii)G有一可解極大正規(guī)子群.

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)群G p-可解,則Gπ-可解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)M∈δp(G),存在M的正規(guī)s-θ-完備C使得C/CoreG(M)π-可解.

證明必要性顯然.下面證明充分性.設(shè)G是滿足條件的極小階反例.如果δp(G)為空集,則由定義1.4,G=Dp(G),由引理1.6,Dp(G)可解,所以G可解.矛盾.下設(shè)δp(G)非空. 又G非單,否則G亦π-可解,矛盾.設(shè)N是G的極小正規(guī)子群,我們證明G/N,Nπ-可解.事實(shí)上,由G p-可解,則G/N p-可解,若δp(G/N)為空集,由定義1.4,G/N=Dp(G/N)p-可解,據(jù)引理1.6,Dp(G/N)可解,從而G/N可解,G/N當(dāng)然π-可解.若δp(G/N)非空,不妨設(shè)M/N∈δp(G/N),亦即M∈δp(G),由假設(shè)存在M的一個(gè)正規(guī)s-θ-完備C使得C/CoreG(M)π-可解.由引理1.1,C/N為M/N的s-θ-完備,由

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On the s-θ-com p letions of max imal subgroups and the π-solvability of a finite group

ZHONG Xiang-gui1,SHAN Jun-hui1,ZHANG Hong1,2

(1.College of Mathem atical Sciences,Guangxi Norm al University,Guilin 541004,China; 2.Department of Mathematics and Com puter Science,Kaili University,Kaili 556000,China)

Define some sets for m axim al subgroups,and by investigating the influence of s-θ-com p letions of maximal subgroups on the structure of finite groups,some new characterizations of theπ-solvability of a finite group are obtained.

m axim al subgroups,s-θ-com p letion,π-solvable groups

O152.1

A

1008-5513(2009)02-0346-05

2007-10-10.

廣西科學(xué)基金資助項(xiàng)目(桂科自0991090),廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(2007106020701M 51).

鐘祥貴(1963-),副教授,研究方向：群論.

2000M SC:20D 10