• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算公式

    2009-07-05 14:21:38譚尚旺
    關(guān)鍵詞:圖論鄰接矩陣有向圖

    譚尚旺

    (中國石油大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山東東營 257061)

    矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算公式

    譚尚旺

    (中國石油大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山東東營 257061)

    給出了賦權(quán)有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算公式,從而得到了一般矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算方法,并且研究了賦權(quán)有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式和譜半徑的一些性質(zhì).

    矩陣;賦權(quán)有向圖;線性子圖;特征多項(xiàng)式

    1 引言

    文中沒有定義的概念和記號見文[1].令A(yù)=(aij)是數(shù)域F上的n階矩陣,則它的伴隨有向圖定義為賦權(quán)有向圖DA=(V,E),V={v1,v2,…,vn},其中當(dāng)且僅當(dāng)aij/=0時,vi到vj有一條權(quán)值為aij的有向邊.顯然,A是賦權(quán)有向圖DA的鄰接矩陣.因此,一般矩陣特征多項(xiàng)式的計算問題與一般賦權(quán)有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的計算問題是等價的.

    設(shè)D是頂點(diǎn)集為V(D)且邊集為E(D)的賦權(quán)有向圖,wD(e)表示有向邊e在D中的權(quán). 設(shè)H是D的一個子圖,如果對每個邊e∈E(H),都有wH(e)=wD(e),則稱H是D的一個賦權(quán)有向子圖.令H是D的賦權(quán)有向子圖.如果V(D)/=V(H)或E(D)/=E(H),則稱H是D的賦權(quán)有向真子圖.如果V(D)=V(H),則稱H是D的生成賦權(quán)有向子圖.D的一個i階賦權(quán)有向子圖H稱為D的一個i階線性子圖,如果H的每個點(diǎn)的入度和出度都是1.顯然,D的一個線性子圖是由一些頂點(diǎn)不交有向圈的并構(gòu)成的,其中這里把環(huán)看成長度為1的有向圈.對于D的賦權(quán)有向子圖H,如果E(H)/=?,則定義它的權(quán)wD(H)為wD(H)=∏e∈E(H)wD(e).

    圖譜研究是圖論的熱點(diǎn)之一,如文[2]研究了具有特殊譜的圖的結(jié)構(gòu),文[3]研究了特殊圖的譜特征.如何快速計算矩陣的特征多項(xiàng)式對研究和計算矩陣的譜是重要的.另一方面,網(wǎng)絡(luò)和電路設(shè)計中的圖一般都是賦權(quán)有向圖并且賦權(quán)有向圖的譜時常用來解決具體問題.因此,研究矩陣或賦權(quán)有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的計算問題是有意義的.1974年,文[4]給出了一般無向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算公式.2000年,文[5]給出了一般有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的計算公式.本文首先研究了一般矩陣或賦權(quán)有向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的圖論計算方法,然后研究了非負(fù)矩陣或賦權(quán)有向圖特征多項(xiàng)式和譜半徑的一些性質(zhì).

    2 賦權(quán)有向圖特征多項(xiàng)式的圖論計算方法

    本節(jié)研究賦權(quán)有向圖特征多項(xiàng)式的圖論計算方法.記n階賦權(quán)有向圖D的鄰接矩陣A(D)的特征多項(xiàng)式為φ(D,λ)或φ(D),令

    對D的賦權(quán)有向子圖H,約定H?V(H)=?時,φ(H?V(H),λ)=1.

    引理2.1[6]令Li是D的i階線性子圖的全體,ε(H)是H中的圈數(shù),則

    其中當(dāng)Li=?時,約定和號取值為0.

    定理2.1設(shè)v是n階賦權(quán)有向圖D=(V,E)的一個頂點(diǎn),C(D,v)表示D中包含頂點(diǎn)v的所有有向圈的集合,則

    證明記D的一個賦權(quán)有向子圖H的階為o(H).引進(jìn)記號

    對i=0,1,…,n,下面只要證明φ(D,λ)與g(λ)?h(λ)的λn?i的系數(shù)相等即可.顯然,λn的系數(shù)相等且都為1.因此,下面假設(shè)i≥1.取定D的一個i階線性子圖Hi,以Hif(λ)表示Hi對多項(xiàng)式f(λ)的λn?i系數(shù)的貢獻(xiàn).對常數(shù)a,特別約定Hi(af(λ))=aHif(λ).則對任意的常數(shù)a,b和多項(xiàng)式p(λ),q(λ),都有

    由引理2.1知Hiφ(D,λ)=(?1)ε(Hi)wD(Hi).下面分兩種情形討論Hi對g(λ)?h(λ)的λn?i系數(shù)的貢獻(xiàn).

    情形1假設(shè)v/∈V(Hi).

    顯然,g(λ)的λn?i系數(shù)取決于φ(D?v,λ)的λn?i?1系數(shù).由于o(D?v)=n?1,于是對φ(D?v,λ)的λn?i?1系數(shù)有貢獻(xiàn)的D?v的線性子圖的階是i.因?yàn)関/∈V(Hi),所以Hi也是D?v的一個i階線性子圖.于是由引理2.1知

    任取Z∈C(D,v).由于o(D?V(Z))=n?o(Z),于是對φ(D?V(Z),λ)的λn?i系數(shù)有貢獻(xiàn)的D?V(Z)的線性子圖的階為i?o(Z).既然Z不是Hi的分支,于是o(Hi?V(Z))≥i?o(Z)+1,從而Hi?V(Z)不是D?V(Z)的i?o(Z)階線性子圖,進(jìn)而Hi?V(Z) 對φ(D?V(Z),λ)的λn?i系數(shù)貢獻(xiàn)為0,即Hi(φ(D?V(Z),λ))=0.因此,有

    情形2假設(shè)v∈V(Hi).

    顯然,o(Hi?v)=i?1并且o(D?v)=n?1.因此,Hi?v不是D?v的i階線性子圖,從而Hi?v對φ(D?v,λ)的λn?i?1的系數(shù)貢獻(xiàn)為0,即Hig(λ)=0.

    由線性子圖的定義,C(D,v)中只有一個圈在Hi中,記該圈為K,則Hi?V(K)是D?V(K)的i?o(K)階線性子圖.既然o(D?V(K))=n?o(K),于是Hi?V(Z)對φ(D?V(K),λ) 的λn?i系數(shù)貢獻(xiàn)為

    對每個Z∈C(D,v){K},Z都不是Hi的分支,所以o(Hi?V(Z))≥i?o(Z)+1,從而Hi不是D?V(Z)的i?o(Z)階線性子圖,于是Hiφ(D?V(Z),λ)=0.因此,有

    根據(jù)上面兩種情形的討論,我們完成了定理的證明.

    推論2.1設(shè)u和v分別是無公共頂點(diǎn)賦權(quán)有向圖D1和D2的頂點(diǎn),D表示把u和v粘成一個頂點(diǎn)后得到的賦權(quán)有向圖,則

    對i=0,1,2,…,n,下面只需證明φ(D,λ)和φ(D?e,λ)?h(λ)的λn?i的系數(shù)相等即可.顯然,λn的系數(shù)相等且都為1.因此,下面假設(shè)i≥1.取定D的一個i階線性子圖Hi,下面需要證明Hi對φ(D,λ)和φ(D?e,λ)?h(λ)的λn?i的系數(shù)貢獻(xiàn)相同.仍然沿用定理2.1中的記號,由引理2.1知Hiφ(D,λ)=(?1)ε(Hi)wD(Hi).下面分兩種情形討論Hi對φ(D?e,λ)?h(λ) 的λn?i系數(shù)的貢獻(xiàn).

    情形1假設(shè)e/∈E(Hi).

    顯然,Hi?e=Hi是n階賦權(quán)有向圖D?e的i階線性子圖.由引理2.1有

    任取Z∈C(D,e).由于o(D?V(Z))=n?o(Z),于是對φ(D?V(Z),λ)的λn?i系數(shù)有貢獻(xiàn)的D?V(Z)的線性子圖的階為i?o(Z).既然e/∈E(Hi),于是Z不是Hi的分支,從而o(Hi?V(Z))≥i?o(Z)+1.這表明Hi?V(Z)不是D?V(Z)的i?o(Z)階線性子圖.因此,Hi?V(Z)對φ(D?V(Z),λ)的λn?i系數(shù)貢獻(xiàn)為0,即Hi(φ(D?V(Z),λ))=0.于是有

    情形2假設(shè)e∈E(Hi).

    顯然,Hi?e是n階有向圖D?e的i階有向子圖,但不是D?e的i階線性子圖.因此, Hiφ(D?e,λ)=0.由線性子圖的定義,C(D,e)中只有一個圈在Hi中,記該圈為K.類似定理2.1情形2的證明得

    根據(jù)上面兩種情形的討論,我們完成了定理的證明.

    推論2.3設(shè)vu是簡單無向賦權(quán)圖G=(V,E)的一個邊,C(G,vu)表示G中包含vu的所有圈的集合,則

    利用上面的結(jié)論,能夠簡單直觀的計算許多矩陣的特征多項(xiàng)式.注意到簡單無向圖可以看成是邊上的權(quán)值為1的賦權(quán)圖,于是由推論2.2和推論2.3,能立即得到計算簡單無向圖鄰接矩陣特征多項(xiàng)式的常用公式[4].

    3 賦權(quán)有向圖特征多項(xiàng)式的一些性質(zhì)

    本節(jié)研究賦權(quán)有向圖特征多項(xiàng)式的性質(zhì).權(quán)值都是正數(shù)的賦權(quán)有向圖稱為正賦權(quán)有向圖.由非負(fù)矩陣?yán)碚撝x權(quán)有向圖的鄰接矩陣的譜半徑是一個最大特征值.記賦權(quán)有向圖D的鄰接矩陣的譜半徑為ρ(D).

    引理3.1[4]設(shè)H和D都是正賦權(quán)有向圖且D強(qiáng)連通,如果A(D)≥A(H)且A(D)/= A(H),或H是G的一個賦權(quán)有向真子圖,則ρ(H)<ρ(D).

    引理3.2設(shè)e是正賦權(quán)強(qiáng)連通有向圖D的一個邊,則當(dāng)λ≥ρ(D)時,都有φ(D,λ)<φ(D?e,λ).

    證明因?yàn)镈是強(qiáng)連通的,所以C(D,e)/=?.任取Z∈C(D,e).一方面,wD(Z)>0.另一方面,由引理3.1知ρ(D)>ρ(D?V(Z)),這表明λ≥ρ(D)時,φ(D?V(Z),λ)>0.因此, 當(dāng)λ≥ρ(D)時,由定理2.2得

    于是完成了引理的證明.

    定理3.1如果H是正賦權(quán)強(qiáng)連通有向圖D的一個真生成賦權(quán)有向子圖,則當(dāng)λ≥ρ(D) 時,有φ(D,λ)<φ(H,λ).

    [1]邦迪J A,默蒂U SR.圖論及其應(yīng)用[M].吳望名,李念祖,譯.北京:科學(xué)出版社,1984.

    [3]亓健,譚尚旺,同小軍.完全等部二分圖kn,n的迭線圖Lm(kn,n)的譜特征[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2000, 16(2):74-78.

    [4]Cvetkovi′c D M,Doob M,Sachs H.Spectra of G raphs[M].New York:Academ ic Press,1980.

    [5]譚尚旺,亓健,郭紀(jì)明.有向圖和弱正則有向圖補(bǔ)圖的特征多項(xiàng)式的計算方法[J].數(shù)學(xué)雜志,2000,20(4):421-426.

    [6]陳惠開.應(yīng)用圖論[M].范定松,張玲玲,譯.北京:人民郵電出版社,1988.

    (Department of App lied Mathematics,China University of Petroleum,Dongying 257061,China)

    We obtain formulas computing the characteristic polynomial of ad jacent matrix of a weighted digraph in graph theory,thereby the methods computing the characteristic polynomial of a matrix in graph theory are derived and some properties of characteristic polynomial and spectral radius of adjacentmatrix on a weighted digraph are investigated.

    matrix,weighted digraph,linear subgraph,characteristic polynomial 2000M SC:05C50

    On form u las calcu lating the characteristic polynomial ofm atrices in graph theory TAN Shang-wang

    O157.5

    A

    1008-5513(2009)02-0209-08

    2007-11-10.

    國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10871204).

    譚尚旺(1965-),教授,研究方向:圖論.

    猜你喜歡
    圖論鄰接矩陣有向圖
    輪圖的平衡性
    有向圖的Roman k-控制
    基于FSM和圖論的繼電電路仿真算法研究
    構(gòu)造圖論模型解競賽題
    超歐拉和雙有向跡的強(qiáng)積有向圖
    關(guān)于超歐拉的冪有向圖
    點(diǎn)亮兵書——《籌海圖編》《海防圖論》
    孫子研究(2016年4期)2016-10-20 02:38:06
    基于鄰接矩陣變型的K分網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)算法
    一種判定的無向圖連通性的快速Warshall算法
    圖論在變電站風(fēng)險評估中的應(yīng)用
    電測與儀表(2015年3期)2015-04-09 11:37:54
    一级爰片在线观看| 国产亚洲一区二区精品| 一本一本综合久久| 最近2019中文字幕mv第一页| 少妇熟女欧美另类| 97精品久久久久久久久久精品| 韩国av在线不卡| 亚洲av不卡在线观看| 高清在线视频一区二区三区| 久久婷婷青草| 91精品一卡2卡3卡4卡| 国产伦理片在线播放av一区| 老女人水多毛片| 九九爱精品视频在线观看| 成年女人在线观看亚洲视频| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 一个人看视频在线观看www免费| 人体艺术视频欧美日本| 永久免费av网站大全| 色网站视频免费| 日本免费在线观看一区| 寂寞人妻少妇视频99o| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 久久99蜜桃精品久久| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 日韩精品有码人妻一区| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲欧洲日产国产| av国产精品久久久久影院| 成人无遮挡网站| 韩国av在线不卡| 十八禁高潮呻吟视频| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 99热全是精品| 黄片无遮挡物在线观看| 亚洲一区二区三区欧美精品| 亚洲无线观看免费| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 国产熟女欧美一区二区| freevideosex欧美| 哪个播放器可以免费观看大片| 成人国产av品久久久| 亚洲精品一二三| 免费高清在线观看日韩| 男女免费视频国产| 美女主播在线视频| 国产永久视频网站| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 亚洲精品久久成人aⅴ小说 | 亚洲精品av麻豆狂野| 欧美亚洲日本最大视频资源| 性高湖久久久久久久久免费观看| 色婷婷av一区二区三区视频| 99久国产av精品国产电影| 久久久a久久爽久久v久久| 久久久久久久久久人人人人人人| 亚州av有码| 婷婷色综合www| 91成人精品电影| 熟女电影av网| √禁漫天堂资源中文www| 国产成人aa在线观看| h视频一区二区三区| 成人毛片60女人毛片免费| av又黄又爽大尺度在线免费看| 一本久久精品| 一区二区日韩欧美中文字幕 | 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 亚洲综合精品二区| h视频一区二区三区| 国产精品 国内视频| 97在线视频观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 亚洲欧美成人精品一区二区| 日本午夜av视频| 久久青草综合色| 晚上一个人看的免费电影| 国产在线视频一区二区| 国产成人91sexporn| 成人无遮挡网站| 国产色爽女视频免费观看| 在线看a的网站| 国产亚洲欧美精品永久| 国产乱来视频区| 在线精品无人区一区二区三| 桃花免费在线播放| 色婷婷久久久亚洲欧美| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 亚洲精品,欧美精品| 青青草视频在线视频观看| 晚上一个人看的免费电影| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 草草在线视频免费看| 一级毛片我不卡| 久久久国产欧美日韩av| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 欧美少妇被猛烈插入视频| 久久99热6这里只有精品| 亚洲在久久综合| 精品国产乱码久久久久久小说| 91久久精品国产一区二区成人| 久久精品国产亚洲av天美| 日本免费在线观看一区| 亚洲国产精品一区三区| av线在线观看网站| 美女大奶头黄色视频| 成人影院久久| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 插逼视频在线观看| 久久影院123| 久热久热在线精品观看| 精品国产露脸久久av麻豆| 国产一区亚洲一区在线观看| 亚洲国产色片| 久久久久国产网址| 亚洲国产欧美在线一区| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 日日撸夜夜添| 久久精品久久久久久久性| 亚洲中文av在线| av免费在线看不卡| 在线免费观看不下载黄p国产| 考比视频在线观看| 寂寞人妻少妇视频99o| 另类亚洲欧美激情| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 国产淫语在线视频| 精品国产一区二区三区久久久樱花| av免费观看日本| 国产高清国产精品国产三级| 亚洲色图综合在线观看| 九色亚洲精品在线播放| av在线老鸭窝| 大香蕉久久网| 免费人妻精品一区二区三区视频| √禁漫天堂资源中文www| 五月玫瑰六月丁香| 777米奇影视久久| 丰满乱子伦码专区| 久久午夜福利片| 一级爰片在线观看| 免费观看a级毛片全部| 91精品伊人久久大香线蕉| 午夜福利视频在线观看免费| 母亲3免费完整高清在线观看 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 欧美最新免费一区二区三区| 下体分泌物呈黄色| 亚洲国产精品成人久久小说| 如何舔出高潮| 久久久国产欧美日韩av| 成人免费观看视频高清| 黄片无遮挡物在线观看| 国产亚洲最大av| 精品一区二区三区视频在线| 在线观看一区二区三区激情| 欧美三级亚洲精品| 十分钟在线观看高清视频www| 成人无遮挡网站| videos熟女内射| 亚洲欧美成人精品一区二区| 午夜日本视频在线| 国产亚洲最大av| 亚洲高清免费不卡视频| 亚洲一区二区三区欧美精品| 夫妻午夜视频| 午夜91福利影院| 韩国高清视频一区二区三区| 国产探花极品一区二区| 日韩中字成人| 久久精品久久精品一区二区三区| 简卡轻食公司| 国产乱人偷精品视频| 九九在线视频观看精品| 女人精品久久久久毛片| 最近手机中文字幕大全| 久久国产亚洲av麻豆专区| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 久久精品国产a三级三级三级| 久久久久久久久久久免费av| 亚洲欧洲国产日韩| 亚洲av福利一区| 高清欧美精品videossex| 亚洲精品一区蜜桃| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 永久网站在线| 一边亲一边摸免费视频| 丝袜脚勾引网站| 亚洲美女搞黄在线观看| 不卡视频在线观看欧美| 永久免费av网站大全| 黑人高潮一二区| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 大片免费播放器 马上看| 国产片特级美女逼逼视频| 久久人人爽人人片av| 在线观看人妻少妇| 成人午夜精彩视频在线观看| 免费看光身美女| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲av中文av极速乱| 最近最新中文字幕免费大全7| 国模一区二区三区四区视频| 亚洲第一av免费看| 成人毛片a级毛片在线播放| 日韩av免费高清视频| 亚洲国产精品成人久久小说| 精品一区二区三卡| 91久久精品电影网| 亚洲av福利一区| 黄色视频在线播放观看不卡| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 在线观看免费视频网站a站| 黄色一级大片看看| 搡女人真爽免费视频火全软件| 青青草视频在线视频观看| 99久久综合免费| 亚洲成人一二三区av| 人妻 亚洲 视频| av.在线天堂| 九色成人免费人妻av| 国产片特级美女逼逼视频| 精品视频人人做人人爽| 国产成人精品久久久久久| 日本av免费视频播放| 日韩av免费高清视频| 毛片一级片免费看久久久久| 一边摸一边做爽爽视频免费| 午夜福利视频在线观看免费| 国产男女超爽视频在线观看| 草草在线视频免费看| 日日爽夜夜爽网站| av在线app专区| 老司机影院毛片| 3wmmmm亚洲av在线观看| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 女的被弄到高潮叫床怎么办| 国产精品不卡视频一区二区| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 久久人人爽人人爽人人片va| 亚洲欧美清纯卡通| 嘟嘟电影网在线观看| 一区二区日韩欧美中文字幕 | 日本91视频免费播放| 欧美+日韩+精品| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 777米奇影视久久| 在线观看美女被高潮喷水网站| 日本av免费视频播放| 搡老乐熟女国产| 午夜激情av网站| 国产深夜福利视频在线观看| 女性生殖器流出的白浆| 3wmmmm亚洲av在线观看| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 国产永久视频网站| 亚洲熟女精品中文字幕| 成人漫画全彩无遮挡| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 在线播放无遮挡| 国产精品久久久久成人av| 香蕉精品网在线| 亚洲国产日韩一区二区| 亚洲伊人久久精品综合| 精品久久久精品久久久| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 国产成人午夜福利电影在线观看| videosex国产| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 亚洲国产av影院在线观看| 黄色怎么调成土黄色| 精品国产国语对白av| 纯流量卡能插随身wifi吗| 亚洲在久久综合| 成人黄色视频免费在线看| 丰满迷人的少妇在线观看| 另类精品久久| 亚洲国产精品999| 久久免费观看电影| 中国三级夫妇交换| 午夜老司机福利剧场| 亚洲国产精品国产精品| 国产成人freesex在线| av在线观看视频网站免费| 激情五月婷婷亚洲| 精品人妻熟女av久视频| 少妇 在线观看| 大香蕉久久网| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 久久青草综合色| 九九爱精品视频在线观看| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 亚洲av综合色区一区| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 国产有黄有色有爽视频| 一区二区av电影网| 精品国产国语对白av| 在线免费观看不下载黄p国产| 日日啪夜夜爽| 成人亚洲欧美一区二区av| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 午夜福利视频精品| 18禁观看日本| 麻豆成人av视频| 视频在线观看一区二区三区| 高清av免费在线| 婷婷色综合www| 91成人精品电影| 夫妻性生交免费视频一级片| 国产极品粉嫩免费观看在线 | 欧美日韩av久久| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 另类亚洲欧美激情| 国产免费一级a男人的天堂| 色婷婷av一区二区三区视频| 最近中文字幕高清免费大全6| 国产精品99久久99久久久不卡 | 久久久久久久久久久丰满| 亚洲精品美女久久av网站| 视频在线观看一区二区三区| 欧美精品国产亚洲| 在现免费观看毛片| 亚洲av在线观看美女高潮| 九草在线视频观看| 黄片无遮挡物在线观看| 国产视频首页在线观看| 久久久久网色| 国产高清三级在线| 免费高清在线观看日韩| 99热国产这里只有精品6| 丰满迷人的少妇在线观看| 久久99热6这里只有精品| 人妻 亚洲 视频| 欧美精品一区二区大全| 亚洲精品色激情综合| 国产精品嫩草影院av在线观看| 乱人伦中国视频| 波野结衣二区三区在线| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 七月丁香在线播放| 国产精品一区www在线观看| 赤兔流量卡办理| 久久99精品国语久久久| 91在线精品国自产拍蜜月| 久久99热6这里只有精品| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产成人精品在线电影| 亚洲美女视频黄频| 美女cb高潮喷水在线观看| 赤兔流量卡办理| 一区在线观看完整版| 色婷婷久久久亚洲欧美| 亚洲国产精品999| 极品人妻少妇av视频| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 高清毛片免费看| 国产成人精品久久久久久| 免费观看性生交大片5| 我要看黄色一级片免费的| 性色av一级| 最近中文字幕2019免费版| 18禁在线播放成人免费| 国产精品蜜桃在线观看| 寂寞人妻少妇视频99o| 久久精品久久精品一区二区三区| 青春草视频在线免费观看| 欧美三级亚洲精品| 大片电影免费在线观看免费| 亚洲人成网站在线播| 美女大奶头黄色视频| av天堂久久9| 色婷婷av一区二区三区视频| 一本久久精品| 亚洲欧美成人精品一区二区| 草草在线视频免费看| 曰老女人黄片| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 秋霞在线观看毛片| 插逼视频在线观看| 国产黄片视频在线免费观看| 一级毛片aaaaaa免费看小| 中文欧美无线码| 在线观看免费高清a一片| 午夜福利视频在线观看免费| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| av免费在线看不卡| 嫩草影院入口| 高清毛片免费看| 性高湖久久久久久久久免费观看| 一边亲一边摸免费视频| 美女视频免费永久观看网站| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 男女国产视频网站| 纯流量卡能插随身wifi吗| 熟女电影av网| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 99热全是精品| 国产精品99久久久久久久久| 亚洲伊人久久精品综合| 久久久久精品性色| 在线播放无遮挡| 美女主播在线视频| 婷婷色综合www| 色5月婷婷丁香| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 最近2019中文字幕mv第一页| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 在线天堂最新版资源| 亚洲精品乱久久久久久| 水蜜桃什么品种好| 国产探花极品一区二区| 一本色道久久久久久精品综合| 人妻系列 视频| 国产精品.久久久| 爱豆传媒免费全集在线观看| 一级毛片我不卡| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 国产黄频视频在线观看| 美女内射精品一级片tv| 亚洲av成人精品一区久久| 一区二区三区精品91| 一二三四中文在线观看免费高清| 乱码一卡2卡4卡精品| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 人人澡人人妻人| 精品亚洲成国产av| 三级国产精品欧美在线观看| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 在线精品无人区一区二区三| 日韩精品有码人妻一区| 婷婷色综合www| 日韩欧美一区视频在线观看| 制服诱惑二区| 一区二区三区乱码不卡18| 秋霞伦理黄片| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 欧美bdsm另类| 欧美 亚洲 国产 日韩一| kizo精华| 日韩伦理黄色片| 高清欧美精品videossex| 热99久久久久精品小说推荐| 精品久久久久久久久亚洲| 美女cb高潮喷水在线观看| kizo精华| 桃花免费在线播放| 亚洲五月色婷婷综合| 成年人免费黄色播放视频| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 婷婷色av中文字幕| 日本黄大片高清| 亚洲精品av麻豆狂野| 国产精品国产av在线观看| 91aial.com中文字幕在线观看| 午夜91福利影院| 18+在线观看网站| 日本午夜av视频| 简卡轻食公司| 亚洲成人av在线免费| 日本爱情动作片www.在线观看| 秋霞伦理黄片| 日韩大片免费观看网站| 蜜桃国产av成人99| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 国产成人精品福利久久| 久久狼人影院| 视频区图区小说| 国产日韩欧美视频二区| 美女大奶头黄色视频| 亚洲高清免费不卡视频| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 女人精品久久久久毛片| 国产精品久久久久久精品古装| 天天操日日干夜夜撸| 午夜91福利影院| www.av在线官网国产| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 国产精品久久久久久久电影| 热re99久久国产66热| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 男女边摸边吃奶| 亚洲内射少妇av| 99久久精品一区二区三区| 高清av免费在线| 天天影视国产精品| 大码成人一级视频| 夜夜爽夜夜爽视频| 亚洲精品乱久久久久久| 少妇人妻精品综合一区二区| 高清毛片免费看| 久久99精品国语久久久| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 妹子高潮喷水视频| 亚洲成人av在线免费| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 欧美日本中文国产一区发布| 一级a做视频免费观看| 亚洲少妇的诱惑av| 亚洲av成人精品一二三区| 999精品在线视频| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 91精品国产国语对白视频| av专区在线播放| 欧美精品国产亚洲| 日本91视频免费播放| 人人妻人人澡人人看| 少妇熟女欧美另类| 伊人亚洲综合成人网| 美女福利国产在线| 国产精品国产av在线观看| 亚洲精品色激情综合| 久久精品国产亚洲av天美| 中文欧美无线码| 午夜激情福利司机影院| 国产免费福利视频在线观看| 99久久综合免费| 国产成人freesex在线| 国产片内射在线| 日韩精品免费视频一区二区三区 | 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 欧美日韩国产mv在线观看视频| 午夜福利,免费看| 啦啦啦在线观看免费高清www| 老熟女久久久| 大香蕉久久成人网| 精品人妻熟女av久视频| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 最近中文字幕高清免费大全6| 亚洲人成网站在线观看播放| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 久久久久久人妻| 国产精品偷伦视频观看了| 精品人妻熟女av久视频| av.在线天堂| 久久午夜福利片| 九草在线视频观看| 美女xxoo啪啪120秒动态图| av专区在线播放| 亚洲精品色激情综合| 伊人久久国产一区二区| 日本色播在线视频| 青春草国产在线视频| 久久久久久久久久久久大奶| 在现免费观看毛片| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 久久ye,这里只有精品| 久久狼人影院| 日韩中文字幕视频在线看片| 九九爱精品视频在线观看| 国产 一区精品| 99热这里只有是精品在线观看| 国产精品 国内视频| 在线 av 中文字幕| 国产av码专区亚洲av| 美女内射精品一级片tv| 黄色配什么色好看| 观看美女的网站| 午夜福利,免费看| 国产高清国产精品国产三级| 久久久精品免费免费高清| 啦啦啦在线观看免费高清www| 亚洲第一av免费看| 成人国语在线视频| 亚洲国产精品国产精品| 免费观看a级毛片全部| 亚洲精品中文字幕在线视频| 免费高清在线观看视频在线观看| a级毛色黄片| 欧美日韩在线观看h| 久久久精品区二区三区| 欧美日韩在线观看h| 香蕉精品网在线| 欧美日韩在线观看h| 午夜激情福利司机影院| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 丝袜脚勾引网站| 美女大奶头黄色视频| 下体分泌物呈黄色| 亚洲av国产av综合av卡| 午夜激情福利司机影院| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 黄片播放在线免费| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 一二三四中文在线观看免费高清| 国产成人freesex在线| 日韩成人av中文字幕在线观看| 蜜桃在线观看..| 免费大片18禁| 成人免费观看视频高清| 国产精品久久久久成人av| 亚洲精品自拍成人| 91精品国产九色| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 高清在线视频一区二区三区| 成人国产av品久久久| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 好男人视频免费观看在线| 国产成人精品在线电影| 最后的刺客免费高清国语| 在线看a的网站| 久久精品国产亚洲网站| 3wmmmm亚洲av在线观看| av黄色大香蕉| √禁漫天堂资源中文www| 麻豆成人av视频| 美女福利国产在线| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 在现免费观看毛片| 国产永久视频网站| 久久精品国产亚洲网站|