投影法在力學中的應用

商慶艷

摘要正交分解法是一種很好的解題方法,一切矢量的運算都可應用正交分解法。應用這種方法解題時,要建立二維的直角坐標系,每建立一個坐標系,一般要列兩個方程,尤其是坐標方向的選擇,很多題目使學生似乎已形成一種習慣,即習慣于以水平方向或沿斜面方向為x軸建立坐標系,致使有些題目的解法不夠簡捷。本文刪繁就簡,用投影法來解決這一類問題,可以收到事半功倍的效果。

關鍵詞物理教學投影法正交分解法

中圖分類號:G633.7文獻標識碼:A

在高中物理的教學要求中,“力的正交分解法”已不作為教學要求,但出于解題需要,教師們仍把正交分解法教給學生,并用此訓練學生解題,正交分解法仍是處理習題的一種重要方法。

事實上,我們在教學中可采用一種不建立直角坐標系,而根據(jù)需要選擇一至兩個投影的方向,把力投影到該方向,用相應的規(guī)律列式解題,以這種方法(以下簡稱“投影法”)訓練學生解題,收到了一定效果,下面結合例題,對“投影法”解題做一簡要的介紹:

用“投影法”解題的主要步驟為:受力分析、運動分析、確定投影方向、根據(jù)牛頓第二定律列式求解。

例1 用繩AC和BC吊起一物體,如圖示,物體重G=100N,兩根繩子和豎直線的夾角分別為30昂?5埃求繩AC、BC對物體的拉力。

解析:物體在重力G,繩AC拉力F1,BC拉力F2作用下平衡,取與BC垂直而指向右下方的方向為投影正方向(圖中x方向)

此時F1沿該方向的投影為—F1cos(45啊?0?

F2沿此方向無投影,G沿該方向投影為G·cos45?

由平衡條件得G·cos45啊狥1cos(45啊?0?=0

∴F1=G=G=73.2N

同理,取與AC垂直而指向左下方的方向為投影正方向,也可求出繩BC的拉力F2。

若用常規(guī)解法,需取水平和豎直方向為坐標軸,用正交分解法求解,需列兩個方程,然后求解二元方程,既增加了列方程的工作量,又增加了解方程的工作量。

例2 如圖示,質量為m的均勻球用線拉住,置于升降機內傾角為的光滑斜面上,線與斜面的夾角為,當升降機以加速度a豎直向上做勻加速直線運動時,線對球拉力T和斜面對球的支持力FN各為多少?

解:取沿斜面向上為投影正方向則

∴再取水平向右的方向,為投影正方向

則∴此題若取斜面和垂直斜面方向為x和y軸方向,用正交分解法則可得

不過對相當一部分學生來說,由于習慣沿斜面和垂直斜面建立直角坐標,對力進行分解,但他們卻不懂還要對加速度的分解,導致錯解。

此題若取水平和豎直方向為x和y軸方向,用正交分解法列出的方程是:

雖然學生極易列出方程,但解出T和N顯然比較麻煩。

從此兩例看出,用“投影法”解題,每列一個方程只需確定一個投影方向(同時把正方向也確定下來),不必建立二維的直角坐標系。且在很多情況下求一個未知量只需列一個方程,如果需要列兩個方程,而選兩個投影方向時,也可根據(jù)題意適當選擇,使列、解方程的過程變得簡單。

選擇適當?shù)耐队胺较蚴呛喕忸}過程的關鍵,關于最佳投影方向的選擇,應因題而異,在一般情況下,投影方向的選擇,應使據(jù)此列出的方程中未知數(shù)的個數(shù)盡量少,因此,投影方向常選在與題中不要求求解或本步驟不擬求解的未知量(大小未知但方向已知)相垂直的方向上,這樣往往可以簡化解方程的過程。

例3 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線沿豎直方向,母線與軸線夾角,一個長的輕繩一端固定在圓錐體的頂點O處,另一端拴著一質量為的小物體(物體可看作質點),物體以速率繞錐體的軸線做水平勻速圓周運動:

(1)當時,求繩對物體的拉力

(2)當時,求繩對物體的拉力

解析:當較小時,物體與錐體表面接觸

當大于某一臨界速率0時,物體離開錐面

當=0時,物體與錐面接觸,但錐面對物體的支持力為零。以此時的物體為對象,取與錐面垂直的方向為投影方向,如圖所示,則重力沿該方向的投影為,

向心加速度沿該方向的投影為

由牛頓第二定律得:

∴

①當時,物體受重力,繩的拉力T和錐體對物體的支持力FN,取繩的拉力方向為投影方向,則重力沿該方向的投影為,加速度沿該方向投影為sin

由牛頓第二定律:T- cos sin

∴若取水平和豎直方向為x、y軸方向,用正交分解法列出的方程是:

需求解方程組才能求得繩的拉力F,很顯然,只要投影方向選擇適當,會使求解過程比正交分解法簡捷得多。

第二問、由于,物體與錐面脫離,繩與豎直方向的夾角未知,可分別取水平和豎直方向為投影方向,可列得方程為:

得T=2mg

從該題中可看出當所取的兩個投影方向互相垂直時,投影法也就變成了正交分解法。

投影法,實際上也是坐標系中的一種,是我們研究問題的數(shù)學手段,“投影法”的指導思想主要是:依據(jù)實際的物理問題來選恰當?shù)淖鴺?結合物理規(guī)律列方程求解,即簡明又方便,教給學生,有助于提高學生靈活解題的能力。