“傳送帶類問題”的歸納和解析

王占國(guó)　孫偉玉

筆者在高三第一輪復(fù)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)“傳送帶類問題”的規(guī)律性非常強(qiáng)，用到的知識(shí)點(diǎn)特別多，若對(duì)其進(jìn)行歸納，在解題中就能用到很多的解題技巧。下面是筆者在課堂教學(xué)中歸納的“傳送帶類問題”，供廣大讀者賞析。

1 命題趨向與考綱分析

“傳送帶類問題”是以真實(shí)物理現(xiàn)象為依據(jù)的問題，它既能訓(xùn)練學(xué)生的科學(xué)思維，又能聯(lián)系科學(xué)、生產(chǎn)和生活實(shí)際，因而這種類型題具有生命力，當(dāng)然也是高考命題專家所關(guān)注的問題。由于“傳送帶類問題”在高考考綱范圍內(nèi)屬于涉及力、運(yùn)動(dòng)、能量等比較綜合的一種常見的模型，所以是歷年來高考試題考查的熱點(diǎn)（如2003年全國(guó)理綜34題，2005年江蘇理綜35題，2006年全國(guó)理綜卷I的24題等）。學(xué)生對(duì)這類問題做答的得分率低。

2 知識(shí)概要與方法歸納

“傳送帶類問題”分水平、傾斜兩種；按轉(zhuǎn)向分順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)兩種。

2.1 受力和運(yùn)動(dòng)分析

受力分析中的摩擦力突變（大小、方向）——發(fā)生在v物與v帶相同的時(shí)刻； 運(yùn)動(dòng)分析中的速度變化——相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向和對(duì)地速度變化。

分析關(guān)鍵是：（1）v物、v帶的大小與方向；(2)mgsinθ與f摩的大小與方向。

2.2 傳送帶問題中的功能分析

（1）功能關(guān)系：W璅=ΔE璌+ΔE璓+Q

（2）對(duì)W璅、Q的正確理解

j傳送帶所做的功：W璅=F?S帶 ，功率P=F?v帶（F由傳送帶受力平衡求得）。

k產(chǎn)生的內(nèi)能：Q=f摩?S┫嘍元

l如物體無(wú)初速，放在水平傳送帶上，則在整個(gè)加速過程中物體獲得的動(dòng)能E璌，因?yàn)槟Σ炼a(chǎn)生的熱量Q有如下規(guī)律：

E璌=Q=12mv2帶

3 典型例題與規(guī)律總結(jié)

3.1 水平放置運(yùn)行的傳送帶

處理水平放置的傳送帶問題，首先應(yīng)對(duì)放在傳送帶上的物體進(jìn)行受力分析，分清物體所受摩擦力是阻力還是動(dòng)力；然后對(duì)物體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析，即對(duì)靜態(tài)→動(dòng)態(tài)→終態(tài)進(jìn)行分析和判斷，對(duì)其全過程作出合理分析、推論，進(jìn)而采用有關(guān)物理規(guī)律求解。這類問題可分為：①運(yùn)動(dòng)學(xué)型；②動(dòng)力學(xué)型；③動(dòng)量守恒型；④圖象型。

例1 質(zhì)量為m的物體從離傳送帶高為H

z處沿光滑圓弧軌道下滑,水平進(jìn)入長(zhǎng)為L(zhǎng)的靜止的傳送帶，之后落在水平地面的Q點(diǎn),已知物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,則當(dāng)傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物體仍以上述方式滑下,將落在Q點(diǎn)的左邊還是右邊?

解析 物體從P點(diǎn)落下,設(shè)水平進(jìn)入傳送帶的速度為v_O,則由機(jī)械能守恒定律得

mgH=12mv20

（1）當(dāng)傳送帶靜止時(shí),分析物體在傳送帶上的受力，可知物體做勻減速運(yùn)動(dòng),a=μmg/m=μg。物體離開傳送帶時(shí)的速度為v_t=v20-2μgL，隨后做平拋運(yùn)動(dòng)而落在Q點(diǎn)。

（2）當(dāng)傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),物體的受力情況與傳送帶靜止時(shí)相同,因而物體離開傳送帶時(shí)的速度仍為v_t＝v20-2μgL，隨后做平拋運(yùn)動(dòng)而仍落在Q點(diǎn)。 (當(dāng)v_O2＜2μgL時(shí),物體將不能滑出傳送帶而被傳送帶送回,顯然不符合題意,舍去。)

（3）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),可能出現(xiàn)五種情況：

a、當(dāng)傳送帶的速度v帶較大時(shí),

v帶≥v20+2μgL，

則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體一直做勻加速運(yùn)動(dòng),離開傳送帶時(shí)的速度為

v＝v20+2μgL＞v_t＝v20-2μgL，

因而將落在Q點(diǎn)的右邊。

b、當(dāng)傳送帶的速度v帶較小時(shí)，

v帶＜v20-2μgL,

則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng),離開傳送帶時(shí)的速度為

v_t＝v20-2μgL，

因而仍將落在Q點(diǎn)。

c、當(dāng)傳送帶的速度

2gH＜v帶＜v20+2μgL，則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體將在傳送帶上先做勻加速運(yùn)動(dòng),后做勻速運(yùn)動(dòng),離開傳送帶時(shí)的速度v_t＞v20-2μgL，因而將落在Q點(diǎn)右邊 。

d、當(dāng)傳送帶的速度

2gH＞v帶＞v20-2μgL時(shí), 則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體將在傳送帶上先做勻減運(yùn)動(dòng),后做勻速運(yùn)動(dòng),離開傳送帶時(shí)的速度v_t＞v20-2μgL，因而將落在Q點(diǎn)右邊。

e、當(dāng)傳送帶的速度v帶＝2gH時(shí)，則物體在傳送帶上不受摩擦力的作用而做勻速運(yùn)動(dòng),故將落在Q點(diǎn)的右邊。

綜上所述：當(dāng)傳送帶的速度v帶≤v20-2μgL時(shí),物體仍將落在Q點(diǎn); 當(dāng)傳送帶的速度v帶≥v20-2μgL時(shí),物體將落在Q點(diǎn)的右邊。

3.2 傾斜放置運(yùn)行的傳送帶

這種傳送帶是指兩皮帶輪等大，軸心共面但不在同一水平線上（不等高），傳送帶將物體在斜面上傳送的裝置。處理這類問題，同樣是先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，再判斷摩擦力的方向是解題關(guān)鍵，正確理解題意和挖掘題中隱含條件是解決這類問題的突破口。這類問題通常分為：運(yùn)動(dòng)學(xué)型；動(dòng)力學(xué)型；能量守恒型。

例2 如圖2所示，傳送帶與水平面夾角為37° ，并以v=10m/s運(yùn)行，在傳送帶的A端輕輕放一個(gè)小物體，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5， AB長(zhǎng)16米，求以下兩種情況下物體從A到B所用的時(shí)間。（1）傳送帶順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

解析 （1）傳送帶順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受力如圖示：mgsinθ-μmgcosθ=ma

a=gsinθ-μgcosθ=2m/s2

s=12at2

t=2sa=2×162=4s。

（2）傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，物體受力如圖：

開始摩擦力方向向下,向下勻加速運(yùn)動(dòng)

a=gsin37°+μgcos37°=10m/s2

t1=v/a=1s

s1=12×at2=5m

s2=11m

1秒后，速度達(dá)到10m/s，摩擦力方向變?yōu)橄蛏稀Ｎ矬w以初速度v=10m/s向下做勻加速運(yùn)動(dòng)

a2=gsin37°-μgcos37°=2m/s2

s2= vt2+12×a2t22

11=10t2+12×2×t22

t2=1s

因此t=t1+t2=2s

例3（1998上海高考） 某商場(chǎng)安裝了一臺(tái)傾角為θ＝30°的自動(dòng)扶梯，該扶梯在電壓為U＝380V的電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下以v＝0.4m/s的恒定速率向斜上方移動(dòng)，電動(dòng)機(jī)的最大輸出功率P=4.9kW。不載人時(shí)測(cè)得電動(dòng)機(jī)中的電流為I=5A，若載人時(shí)扶梯的移動(dòng)速率和不載人時(shí)相同，則這臺(tái)自動(dòng)扶梯可同時(shí)乘載的最多人數(shù)為多少？（設(shè)人的平均質(zhì)量m=60kg，g=10m/s2）

解析 這臺(tái)自動(dòng)扶梯可同時(shí)載最多人數(shù)的前提條件是電梯仍能以v=0.4m/s的恒定速率運(yùn)動(dòng)。

按題意，電動(dòng)機(jī)是以最大輸出功率工作，且電動(dòng)機(jī)做功有兩方面作用：一是電梯不載人時(shí)自動(dòng)上升；二是對(duì)人做功。由能量轉(zhuǎn)化守恒應(yīng)有：P總＝P人＋P梯，

設(shè)乘載人數(shù)最多為n，則有

P總＝IU＋nmgsinθ?v，

代入得n＝25人

3.3 平斜交接放置運(yùn)行的傳送帶

這類題一般可分為兩種：一是傳送帶上僅有一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)，二是傳送帶上有多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)。解題思路與前面兩種相仿，都是從力的觀點(diǎn)和能量轉(zhuǎn)化守恒角度去思考，挖掘題中隱含的條件和關(guān)鍵語(yǔ)句，從而找到解題突破口。

例4(2003全國(guó)) 圖5為一傳送帶裝置示意圖,其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時(shí)是水平的,經(jīng)過BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板形成,未畫出),經(jīng)過CD區(qū)域時(shí)是傾斜的,AB和CD都與BC相切.現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上,放置時(shí)初速度為零,經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處,D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變,CD段上各箱等距排列,相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)。每個(gè)箱子在A處投放后,在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止,且以后也不再滑動(dòng)(忽略經(jīng)BC段的微小滑動(dòng))。已知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi),共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目為N。這裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng),傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),不計(jì)摩擦。求電動(dòng)機(jī)的平均功率P。

解析 以地面為參考系（下同），設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v_O，在水平段運(yùn)輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)這段路程為s，所用時(shí)間為t，加速度為a，則對(duì)小箱有

s=12at2(1)

v_O=at(2)

在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為

s0=v_Ot(3)

由以上可得s0=2s(4)

用f表示小箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小箱做功為

A=fs=12mv_O2(5)

傳送帶克服小箱對(duì)它的摩擦力做功

A0=fs0=2×12mv_O2(6)

兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量

Q=12mv_O2(7)

可見，在小箱加速運(yùn)動(dòng)過程中，小箱獲得的動(dòng)能與熱量相等。

T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為

W=T(8)

此功用于增加小箱的動(dòng)能、勢(shì)能以及克服摩擦力發(fā)熱，即

W=12Nmv_O2+Nmgh+NQ(9)

已知相鄰兩小箱的距離為L(zhǎng)，所以

v_OT=NL(10)

聯(lián)立(7)(8)(9)(10),得

=NmT(N2L2T2+gh)

綜上所述，傳送帶問題包含力、運(yùn)動(dòng)、能量等知識(shí)點(diǎn)，而且其中的摩擦力的方向、大小可能要發(fā)生變化，但只要掌握了上述三種基本類型，傳送帶問題就可迎刃而解，以上就是筆者對(duì)傳送帶題型的幾點(diǎn)總結(jié)。當(dāng)然,“傳送帶類問題”題型還不止這些。但不管怎樣,只要我們了解其物理情景,物理模型,會(huì)進(jìn)行受力分析,再靈活配合牛頓第二定律和能量知識(shí)就一定能正確解答。

(欄目編輯陳 潔)