創(chuàng)新題應(yīng)用的案例研究

沈永平

[摘要] 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,要落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“注重指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自行獲取知識(shí)”的教學(xué)要求,促使學(xué)生積極主動(dòng)地獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。筆者從四個(gè)領(lǐng)域:數(shù)與式、方程(組)、不等式(組)、函數(shù),對(duì)創(chuàng)新題應(yīng)用的案例進(jìn)行研究。

[關(guān)鍵詞] 課堂 思維 案例 方法

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,要落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“注重指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自行獲取知識(shí)”的教學(xué)要求,促使學(xué)生積極主動(dòng)地獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。本文,筆者針對(duì)怎樣培養(yǎng)學(xué)生解決創(chuàng)新題的能力進(jìn)行論述。

一、在數(shù)與式中的應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生的求知欲望

案例1:據(jù)國(guó)家稅務(wù)總局通知,從2007年1月1日起,個(gè)人年所得12萬(wàn)元(含12萬(wàn)元)以上的個(gè)人需辦理自行納稅申報(bào)。李海和王亮分別經(jīng)營(yíng)海產(chǎn)品,李海2006年經(jīng)營(yíng)海產(chǎn)品3次,分別獲得收益7萬(wàn)元、3.5萬(wàn)元、-6萬(wàn)元;王亮2006年經(jīng)營(yíng)海產(chǎn)品5次,分別獲得收益-3萬(wàn)元、2.5萬(wàn)元、-5萬(wàn)元、0.5萬(wàn)元、4萬(wàn)元。另外,李海和王亮分別在一家海產(chǎn)品公司技術(shù)員,李海2006年所得工資9萬(wàn)元,王亮2006年所得工資8萬(wàn)元?，F(xiàn)請(qǐng)你判斷:李海、王亮在2006年的個(gè)人年所得是否需要向有關(guān)稅務(wù)部門(mén)辦理自行納稅申報(bào)并說(shuō)明理由。

分析:分別算出李海和王亮兩人的個(gè)人年所得是解答本案例的關(guān)鍵。根據(jù)所提供的公式很容易求解,但要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性。

解:李海需辦理自行納稅申報(bào),王亮不需辦理自行納稅申報(bào)。理由如下:設(shè)李海海產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)總收益為x萬(wàn)元,王亮海產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)總收益為y萬(wàn)元,李海個(gè)人年所得為w1萬(wàn)元,王亮個(gè)人年所得為w2萬(wàn)元。

則x=7+3.5-6=4.5,y=-3+2.5-5+0.5+4=-1<0。

∴w1=9+4.5=13.5(萬(wàn)元)

w2=8+0=8(萬(wàn)元)

∵w1=13.5萬(wàn)元>12萬(wàn)元,w2=8萬(wàn)元<12萬(wàn)元

∴根據(jù)規(guī)定李海需辦理自行納稅申報(bào),王亮不需辦理自行納稅申報(bào)。

評(píng)注:學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用,與有理數(shù)、實(shí)數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題在中考中占有的地位越來(lái)越重,這類(lèi)題目密切聯(lián)系實(shí)際,不需要高深的數(shù)學(xué)知識(shí),但對(duì)同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提出了較高要求。

二、在方程(組)中的應(yīng)用,培養(yǎng)實(shí)際應(yīng)用能力

案例2:某農(nóng)場(chǎng)在夏季計(jì)劃要收割7200畝小麥,后來(lái)由于接到氣象部門(mén)雨情通知,場(chǎng)長(zhǎng)決定收割總量比原計(jì)劃增加20%,且必須提前4天完成收割任務(wù),該廠迅速加派人員組織收割,實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多收割720畝,請(qǐng)問(wèn)該廠實(shí)際每天收割多少畝?

分析:本案例以農(nóng)場(chǎng)夏季收割小麥為背景,設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

解:設(shè)實(shí)際需要x天完成生產(chǎn)任務(wù),根據(jù)題意得:7200(1+20℅)/x-7200/(x+4)=7200

化簡(jiǎn)得:12/x-10/(x+4)=1,

12(x+4)-10x=x(x+4)

整理得x2+2x-48=0

解之得:x1=6,x2=-8(不合題意,舍去)

7200(1+20℅)/6=1440(頂)

故該廠實(shí)際每天生產(chǎn)帳篷1440頂。

評(píng)注:本案例是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,首先要求學(xué)生分清題意,設(shè)定合適的未知數(shù),找出相等關(guān)系,建立方程模型,特別注意在檢驗(yàn)時(shí)不但要檢驗(yàn)結(jié)果是否是方程的解,而且還要驗(yàn)證結(jié)果是否符合問(wèn)題的實(shí)際情況。

三、在不等式(組)中的應(yīng)用,增強(qiáng)信息整合能力

案例3:A縣和B縣分別有某種家電下鄉(xiāng)庫(kù)存產(chǎn)品12臺(tái)和6臺(tái),現(xiàn)決定運(yùn)往C鄉(xiāng)10臺(tái)、D鄉(xiāng)8臺(tái)。已知從A縣調(diào)運(yùn)一臺(tái)產(chǎn)品到C鄉(xiāng)和D鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)分別是40元和80元,從B縣調(diào)運(yùn)一臺(tái)產(chǎn)品到C鄉(xiāng)和D鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)分別是30元和50元。

(1)設(shè)B縣運(yùn)往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品x臺(tái),求總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

(2)若要總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)900元,共有幾種方案?

(3)求出運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案,最低運(yùn)費(fèi)是多少元?

分析:本案例實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)與不等式應(yīng)用題,題目中隱含著函數(shù)關(guān)系、不等關(guān)系,需要建立數(shù)學(xué)模型,即設(shè)B縣運(yùn)往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品x臺(tái),則運(yùn)往D鄉(xiāng)為(6-x)臺(tái);A縣運(yùn)往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品(10-x)臺(tái),運(yùn)往D鄉(xiāng)為[8-(6-x)]臺(tái),然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式,從而探索到解題方法。

解:(1)設(shè)B縣運(yùn)往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品x臺(tái),則運(yùn)往D鄉(xiāng)為(6-x)臺(tái);A縣運(yùn)往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品(10-x)臺(tái),運(yùn)往D鄉(xiāng)為[8-(6-x)]臺(tái),根據(jù)題意得:

W=40(10-x)+80[8-(6-x)]+30x+50(6-x)=20x+860

∴ W=20x+860

(2)∵W=20x+860≤900

解之得:x≤2

∴ 這就說(shuō)明此題當(dāng)x=0,1,2時(shí),有三種方案。

(3)當(dāng)x=0時(shí),總運(yùn)費(fèi)最低。

即總費(fèi)用最低的調(diào)運(yùn)方案為:從A縣調(diào)運(yùn)10臺(tái)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品給C鄉(xiāng),2臺(tái)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品給D鄉(xiāng),B縣調(diào)運(yùn)6臺(tái)家電下鄉(xiāng)產(chǎn)品給D鄉(xiāng),最低費(fèi)用為860元。

評(píng)注:本案例屬簡(jiǎn)單的規(guī)劃類(lèi)問(wèn)題,要求學(xué)生遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí),要特別注意生活中的數(shù)量關(guān)系往往受到多方面的條件制約,同時(shí),要依據(jù)題給已知條件建立數(shù)學(xué)模型,難度層次較高,因此聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往題目長(zhǎng)、信息多、數(shù)據(jù)雜,需要仔細(xì)、認(rèn)真地對(duì)所給的數(shù)據(jù)加以分類(lèi)整理。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)、不等式,求得最優(yōu)方案。

四、在函數(shù)中的應(yīng)用,培養(yǎng)解決問(wèn)題能力

案例4:某校勤工儉學(xué)小組從書(shū)店按每本1.2元購(gòu)進(jìn)筆記本,并按每本3元賣(mài)出。(1)求同學(xué)們賣(mài)出筆記本的銷(xiāo)售額y(元)與銷(xiāo)售量x(本)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若從書(shū)店購(gòu)買(mǎi)筆記本的同時(shí),還用去運(yùn)輸和其它費(fèi)用共40元,求勤工儉學(xué)總金額w(元)與銷(xiāo)售量x(本)之間的函數(shù)關(guān)系式;若要勤工儉學(xué)總金額不少于500元的,則至少要賣(mài)出筆記本多少本(勤工儉學(xué)總金額=銷(xiāo)售額-成本)

分析:(1)根據(jù)銷(xiāo)售額=單價(jià)×銷(xiāo)售量的關(guān)系可直接列出函數(shù)關(guān)系式。(2)列關(guān)系式時(shí)要注意成本分兩塊:一塊進(jìn)貨成本每本1.2元,則x本的成本為1.2x元;再有用去運(yùn)輸和其它費(fèi)用共40元。

解:(1)y=3x

(2)w=3x-1.2x-40=1.8x-40。

∴勤工儉學(xué)總金額w(元)與銷(xiāo)售量x(本)之間的函數(shù)關(guān)系式為w=1.8x-40。

解法1:當(dāng)w≥500時(shí),1.8x-40≥500,解得x≥300

∴若要勤工儉學(xué)總金額不少于500元,至少要售出筆記本300本。

解法2:由1.8x-40=500,解之得x=300,∵w=1.8x-40中1.8>0,∴w隨x的增大而增大,∴若要勤工儉學(xué)總金額不少于500元,至少要售出筆記本300本。

評(píng)注:本案例在讀懂題目中,要把握數(shù)量關(guān)系是正確列出函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵,因此,今后學(xué)習(xí)中要特別注意。

總之,在課堂教學(xué)中,教者要激發(fā)學(xué)生靈感,要精心組織探究活動(dòng),悉心引導(dǎo),幫助學(xué)生仔細(xì)分析,親歷探究,尋求解題規(guī)律,創(chuàng)造一個(gè)讓學(xué)生展示才華的平臺(tái),更讓課堂成為發(fā)展學(xué)能力的搖籃。

參考文獻(xiàn):

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[2][美]詹姆斯?杜布森.讓孩子自信過(guò)一生.新華出版社,2003.