挖掘習(xí)題價(jià)值，提高教學(xué)效率

羅清清

摘要：新課程改革已在省內(nèi)全面展開，本文試通過對(duì)一道向量習(xí)題的展開，結(jié)合課本中的大量例題、習(xí)題，來簡要闡述向量中的一些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系及一些有用結(jié)論的運(yùn)用，借此來談自己的一些粗淺的教學(xué)體會(huì)。

捷克教育家夸美紐斯在《大教學(xué)論》中寫道：“課堂是有生命的物質(zhì)空間，是學(xué)生充滿生機(jī)的思維領(lǐng)域，學(xué)校的課堂教學(xué)，主要目的在于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！毙碌恼n程改革也要求教師能提升學(xué)生的思維，讓學(xué)生遠(yuǎn)離題海，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。為此，在教學(xué)實(shí)踐中，我們有必要關(guān)注訓(xùn)練的習(xí)題，充分挖掘習(xí)題的價(jià)值，努力提高教學(xué)效率。下面我就對(duì)向量中的一道習(xí)題，談一談我個(gè)人的一點(diǎn)教學(xué)體驗(yàn)之愚見。

習(xí)題1：蘇教版必修4，P70/練習(xí)3；原題如下：

已知：ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，用向量〢B,〢C表示向量〢D.

教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生較易從“形”的角度，以〢B,〢C為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，由平行四邊形法則推知：〢D=12(〢B+〢C)；┆另外，聯(lián)想加法的定義，由〢D=〢B+〣D;〢D=〢C+〤D;兩等式左右相加，可得〢D=12(〢B+〢C)。

反思1：回味解答過程，積累解題經(jīng)驗(yàn)

上述解答過程中，雖然從圖形入手比較直觀而且簡潔，但第二種處理過程中，我們根據(jù)ABD和ACD兩個(gè)三角形回路，依據(jù)向量加法構(gòu)造兩個(gè)回路等式，解決了問題，回路思想的運(yùn)用，同樣給我們的解題過程帶來了清新的感覺，讓我們感嘆了數(shù)學(xué)之美！

反思2：圖形發(fā)散變換，整合習(xí)題資源

將上述習(xí)題圖形略經(jīng)變換，可思考下列一系列的類似習(xí)題：┆

1）將三角形變?yōu)樗倪呅?，一邊中點(diǎn)變?yōu)槿蓪?duì)邊中點(diǎn)，即得課本P66/7：

在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，求證：〦F=12(〢B+〥C)

2）可思考取任意四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，構(gòu)成什么圖形？

3）取任意四邊形ABCD兩對(duì)角線的中點(diǎn)即得：課本P70/練習(xí)4：

設(shè)P，Q分別為四邊形對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，〣C=゛,〥A=゜,并且゛,゜不是共線向量，試用基底゛,゜表示向量㏄Q.

上述一連竄習(xí)題，串聯(lián)成鏈，作為一個(gè)習(xí)題組進(jìn)行練習(xí)，由于均可采用類似方法處理，在一定程度上有利于學(xué)生解題能力的提高。

反思3：特殊轉(zhuǎn)為一般，拓展思維空間

習(xí)題1中，將中點(diǎn)D的特殊位置變?yōu)橐话闱樾危吹谜n本P64/練習(xí)4：

已知：㎡A和㎡B是不共線向量，〢P=t〢B,(t∈R)，試用㎡A,㎡B表示㎡P.

運(yùn)用加法回路的方法解答如下：

㎡P=㎡A+〢P=㎡A+t〢B=㎡A+t(㎡B-㎡A)

∴㎡P=(1-t)㎡A+t㎡B;（*）

課本P65/例4;P72/例4也都分別從式和坐標(biāo)兩方面敘述了這個(gè)問題,由這些習(xí)題稍加抽象,結(jié)合課本P75/探究拓展11,我們即可得到如下重要命題:

命題1：已知㎡A,㎡B不共線，P點(diǎn)在AB上，則有㎡P=λ㎡A+μ㎡B,且λ+μ=1；

（*）式從另一方面也可以這樣理解：起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)C的向量㎡C可以用不共線向量㎡A,㎡B來表示，結(jié)合向量共線定理，我們不難得到平面向量基本定理，從該定理可知：

命題2：如果四個(gè)向量之間有等式゛+゜=ヽ+ヾ,并且゛,ヽ共線，゜,ヾ共線，但゛,゜不共線，立刻推得゛=ヽ,゜=ヾ

上述兩個(gè)命題在我們解題時(shí)，若能靈活運(yùn)用，有時(shí)可收到事半功倍的效果，使煩瑣的解題過程得到優(yōu)化，列舉兩例比較如下：

例1：設(shè)G是ΔOAB的重心，過G的直線與OA，OB分別相交于點(diǎn)P，Q，已知㎡P=h㎡A,㎡Q=k㎡B,試問：1h+1k的值是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

解法1：常規(guī)設(shè)置未知數(shù)列方程求解

解：㏄Q=㎡Q-㎡P=k㎡B-h㎡A；

又㏄G=㎡G-㎡P=13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

且P,G,Q三點(diǎn)共線，由共線定理得：

㏄Q=λ㏄G，∴k㎡B-h㎡A=λ13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

即：(hλ-13-h)㎡A+(k-13λ)㎡B=0；

∵㎡A,㎡B不共線，∴hλ-13-h=0

k-13λ=0；∴1h+1k=3

解法2：利用命題1，優(yōu)化解題過程

解：由㎡G=13(㎡A+㎡B)=13h㎡P+13k㎡Q；

又∵P,G,Q三點(diǎn)共線，∴13h+13k=1,即1h+1k=3，兩種解法，繁簡判然。

例2：課本習(xí)題P67/思考運(yùn)用11：

平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于M，用向量方法證明：M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)。

解法1：運(yùn)用共線定理，設(shè)未知數(shù)列方程求解

解：設(shè)〢B=゛,〢D=゜

〥M=〥E+〦M=12゛+λ〦A=12゛+λ(-゜-12゛)

=12(1-λ)゛-λ゜

又〥M=μ〥B=μ(゛-゜)；

∴12(1-λ)゛-λ゜=μ(゛-゜)；∵゛,゜不共線，∴12(1-λ)=μ

-λ=-μ；

解之得：λ=μ=13;∴M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)。

解法2：構(gòu)建回路等式，巧妙解決問題

解：由〢B=〢M+㎝B;〥E=〥M+㎝E;

又〥E=12〢B,∴〥M+㎝E=12〢M+12㎝B；

〥M與㎝B共線,㎝E與〢M共線,〥M與㎝E不共線

∴〥M=12㎝B;㎝E=12〢M，即M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)。

通過上面一系列的思考，我們從一道習(xí)題可依次得出向量中一系列的知識(shí)、解題方法，如何做到真正意義上的學(xué)生減負(fù)，我認(rèn)為關(guān)鍵在于課堂，必須要提高課堂的教學(xué)效率，有效綜合各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，尋找它們之間的聯(lián)系，做到由一點(diǎn)牽一面，由一題思一片，這樣學(xué)生就能避免盲目做題，擺脫題海，從而達(dá)到減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提升學(xué)生能力的目的。

參考文獻(xiàn)：

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［2］：張景中、彭翕成，論向量法解幾何問題的基本思路.數(shù)學(xué)通報(bào),2008.2

［3］：劉宏，淺談教學(xué)后的反思.高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2005.11