尺規(guī)作圖拾趣

田秀麗

希臘是奧林匹克運(yùn)動的發(fā)源地，奧運(yùn)會上的每一個競賽項目，對運(yùn)動器械都有明確的規(guī)定，不然的話，就不易顯示出誰“更快、更高、更強(qiáng)”了，一些古希臘的學(xué)者認(rèn)為，幾何作圖也應(yīng)像體育競賽一樣，對作圖工具要作一番明確的規(guī)定，不然的話，就不易顯示出誰的邏輯思維能力更強(qiáng)了。

怎樣限制幾何作圖的工具呢?他們認(rèn)為，幾何圖形都是由直線和圓組成的，有了直尺和圓規(guī)，就能作出這兩樣圖形，進(jìn)而能作出全部幾何圖形，于是規(guī)定在幾何作圖時，只準(zhǔn)許使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，并且規(guī)定只準(zhǔn)許使用有限次。

在歷史上最先明確提出尺規(guī)作圖的是伊諾皮迪斯(古希臘哲學(xué)家，大約生于公元前480年，卒年不詳)，在這之前，解作圖題是不限工具的，伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為，一種公約，最后總結(jié)在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前330－前275)的名著《幾何原本》之中。

一些著名的尺規(guī)作圖已經(jīng)知道是不可能的，證明這些作圖的“不可能”，大多是利用了19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論，這個理論是由才華橫溢、年僅20多歲的法國數(shù)學(xué)家伽羅華開創(chuàng)的，盡管如此。仍有很多數(shù)學(xué)愛好者在嘗試這些不可能的題目，這些題目當(dāng)中以“化圓為方”及“三等分任意角”最受注意，因為它們通俗易懂，美國數(shù)學(xué)家杜德利(1937－)，曾把數(shù)百個宣稱解決了這些不可能題目的錯誤作法結(jié)集成書。

由于有了這樣一個規(guī)定，一些普普通通的幾何作圖題，頃刻間身價百倍，受到萬眾矚目，有不少題目甚至讓西方數(shù)學(xué)家苦苦思索了2 000多年。

尺規(guī)作圖特有的魅力，使無數(shù)的人沉湎其中，連法國皇帝拿破侖這樣一位威震歐洲的風(fēng)云人物，在轉(zhuǎn)戰(zhàn)南北的閑暇時光，也常常沉醉于尺規(guī)作圖的樂趣中，有一次，他還編了一道尺規(guī)作圖題，向全法國的數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)呢!

拿破侖出的題目是：只準(zhǔn)許使用圓規(guī)。將一個已知圓心的圓周四等分。

由于圓心是已知的，解出這個題目并不算太難，題目提出后不久就被數(shù)學(xué)家們解決了。

如果再增添一把直尺，將這些四等分點(diǎn)連接起來，就可以得到一個正四邊形，即正方形，由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實(shí)際上是一回事兒。

只使用直尺和圓規(guī)，怎樣作出一個正五邊形和正六邊形呢?

這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。

不過，只使用直尺和圓規(guī)，要作出正七邊形可就不那么容易了，別看由6到7，僅僅只增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規(guī)作圖題就是這樣變幻莫測!

這個看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家束手無策，后來，大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德(約公元前287－前212)發(fā)現(xiàn)了前人之所以失敗的原因：正七邊形是不能由尺規(guī)作出的，阿基米德從理論上證明了這一結(jié)論。

那么，采用尺規(guī)作圖法，究竟有哪些正多邊形作得出來，哪些作不出來呢?

有人猜測：如果正多邊形的邊數(shù)是大于5的質(zhì)數(shù)，這種正多邊形就一定作不出來。

17是一個比5大的質(zhì)數(shù)，按上面這種說法。正十七邊形是一定作不出來的，在2 000多年的時間里，確實(shí)有許多數(shù)學(xué)家試圖作出正十七邊形，但無一不遭到失敗，豈料在1796年，18歲的德國大學(xué)生高斯(1777－1855)居然用尺規(guī)作出了一個正十七邊形，這頓時震動了整個歐洲數(shù)學(xué)界。

這件事也深深震動了高斯，使他充分意識到自己的數(shù)學(xué)能力，從此他決心獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究，后來終于成為一代數(shù)學(xué)大師。

高斯還發(fā)明了一個判別法則。指出什么樣的正多邊形能由尺規(guī)作出，什么樣的正多邊形則不能，圓滿地解決了作正多邊形的問題，高斯的判別法則表明，能夠由尺規(guī)作出的正多邊形是很少的，例如，在邊數(shù)為100以內(nèi)的正多邊形中，能夠由尺規(guī)作出的只有24種。

有趣的是，正七邊形的邊數(shù)雖少，卻不能由尺規(guī)作出；而正257邊形，邊數(shù)多得叫人很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規(guī)作出，1832年，德國數(shù)學(xué)家黎克洛(1808－1875)根據(jù)高斯指出的法則，解決了正257邊形的作圖問題，他的作圖步驟極其煩瑣，寫滿了80頁紙，創(chuàng)造了一項“世界紀(jì)錄”。

沒過多長時間，德國數(shù)學(xué)家赫爾梅斯(1846－1912)又刷新了這個紀(jì)錄，他費(fèi)了10年工夫，解決了正65537邊形的作圖問題，這是世界上最煩瑣的尺規(guī)作圖，據(jù)說，赫爾梅斯的手稿可以裝滿整整一手提箱呢!