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    從一堂習(xí)題課片段談數(shù)學(xué)建模

    2009-06-05 03:59:50陳淑彬
    新媒體研究 2009年9期

    陳淑彬

    [摘要]建模能力的培養(yǎng),不只是通過實(shí)際問題的解決才能得到提高,更主要的是要培養(yǎng)一種建模意識,解題模型的構(gòu)造也是一條培養(yǎng)建模方法的很好的途徑。

    [關(guān)鍵詞]建模地位 建模實(shí)踐 建模意識

    中圖分類號:G42文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1671-7597(2009)0510149-01

    一、建模地位

    數(shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界模式和秩序的科學(xué),數(shù)、形、關(guān)系、可能性、最大值、最小值和數(shù)據(jù)處理等等,是人類對客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)把握的最基本反映。數(shù)學(xué)方法越來越多地被用于環(huán)境科學(xué)、自然資源模擬、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué),甚至還有心理學(xué)和認(rèn)知科學(xué),其中建模方法尤為突出。數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí),存在于現(xiàn)實(shí),并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí),數(shù)學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程?!薄缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動,教師要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境,要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和已有的知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。”

    因此,不管從社會發(fā)展要求還是從新課標(biāo)要求來看,培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識和建模方法成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要內(nèi)容之一。在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下,同時(shí)結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐,我認(rèn)為:培養(yǎng)建模能力,不能簡單地說是培養(yǎng)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力,課堂教學(xué)中更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的建模意識。以下我就從一堂習(xí)題課的片段加以說明我的觀點(diǎn)及認(rèn)識。

    二、建模實(shí)踐

    片段、用模型構(gòu)造法解計(jì)數(shù)問題(計(jì)數(shù)原理習(xí)題課)。

    計(jì)數(shù)問題情景多樣,一般無特定的模式和規(guī)律可循,對思維能力和分析能力要求較高,如能抓住問題的條件和結(jié)構(gòu),利用適當(dāng)?shù)哪P蛯栴}轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題進(jìn)行求解,則能使之更方便地獲得解決,從而也能培養(yǎng)學(xué)生建模意識。

    例1:從集合{1,2,3,…,20}中任選取3個(gè)不同的數(shù),使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)?

    解:設(shè)a,b,c∈N,且a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b,即a+c是偶數(shù),因此從1到20這20個(gè)數(shù)字中任選出3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則第1個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù),而1到20這20個(gè)數(shù)字中有10個(gè)偶數(shù),10個(gè)奇數(shù)。當(dāng)?shù)?和第3個(gè)數(shù)選定后,中間數(shù)被唯一確定,因此,選法只有兩類:

    (1)第1和第3個(gè)數(shù)都是偶數(shù),有幾種選法;(2)第1和第3個(gè)數(shù)都是奇數(shù),有幾種選法;于是,選出3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為:2=180個(gè)。

    解后反思:此題直接求解困難較大,通過模型之間轉(zhuǎn)換,將原來求等差數(shù)列個(gè)數(shù)的問題,轉(zhuǎn)化為從10個(gè)偶數(shù)和10個(gè)奇數(shù)每次取出兩個(gè)數(shù)且同為偶數(shù)或同為奇數(shù)的排列數(shù)的模型,使問題迎刃而解。

    例2:在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種不同的作物,每種作物種植一壟,為了有利于作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有幾種(用數(shù)字作答)。

    解法1:以A,B兩種作物間隔的壟數(shù)分類,一共可以分成3類:

    (1)若A,B之間隔6壟,選壟辦法有3種;(2)若A,B之間隔7壟,選壟辦法有2種;(3)若A,B之間隔8壟,選壟辦法有種;故共有不同的選壟方法3+2+=12種。

    解法2:只需在A,B兩種作物之間插入“捆綁”成一個(gè)整體的6壟田地,就可以滿足題意。因此,原問題可以轉(zhuǎn)化為:在一塊并排4壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物有 種,故共有不同的選壟方法=12種。

    解后反思:解法1根據(jù)A,B兩種作物間隔的壟數(shù)進(jìn)行分類,簡單明了,但注意要不重不漏。解法2把6壟田地“捆綁”起來,將原有模型進(jìn)行重組,使有限制條件的問題變?yōu)闊o限制條件的問題,極大地方便了解題。

    三、建模認(rèn)識

    從以上片段可以看到,其實(shí)數(shù)學(xué)建模并不神秘,只要我們老師有建模意識,幾乎每章節(jié)中都有很好模型素材。

    現(xiàn)代心理學(xué)的研究表明,對許多學(xué)生來說,從抽象到具體的轉(zhuǎn)化并不比具體到抽象遇到的困難少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會將問題提煉成數(shù)學(xué)問題,即不會建模。在新課標(biāo)要求下我們怎樣才能有效培養(yǎng)學(xué)生建模意識呢?我認(rèn)為我們不僅要認(rèn)識到新課標(biāo)下建模的地位和要有建模意識,還應(yīng)該要認(rèn)識什么是數(shù)學(xué)建模及它有哪些基本步驟、類型。以下是對數(shù)學(xué)建模的一些粗淺認(rèn)識。

    所謂數(shù)學(xué)建模就是通過建立某個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的方法。數(shù)學(xué)模型可以是某個(gè)圖形,也可以是某個(gè)數(shù)學(xué)公式或方程式、不等式、函數(shù)關(guān)系式等等。從這個(gè)意義上說,以上一堂課就是很好地建模實(shí)例。

    一般的數(shù)學(xué)建模問題可能較復(fù)雜,但其解題思路是大致相同的,歸納起來,數(shù)學(xué)建模的一般解題步驟有:

    1.問題分析:對所給的實(shí)際問題,分析問題中涉及到的對象及其內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)或性態(tài),鄭重分析需要解決的問題是什么,從而明確建模目的。

    2.模型假設(shè):對問題中涉及的對象及其結(jié)構(gòu)、性態(tài)或關(guān)系作必要的簡化假設(shè),簡化假設(shè)的目的是為了用盡可能簡單的數(shù)學(xué)形式建立模型,簡化假設(shè)必須基本符合實(shí)際。

    3.模型建立:根據(jù)問題分析及模型假設(shè),用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式來反映實(shí)際問題中對象的性態(tài)、結(jié)構(gòu)或內(nèi)在聯(lián)系。

    4.模型求解:對建立的數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)方法求出其解。

    5.把模型的數(shù)學(xué)解翻譯成實(shí)際解,根據(jù)問題的實(shí)際情況或各種實(shí)際數(shù)據(jù)對模型及模型解的合理性、適用性、可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。

    從建模方法的角度可以給出高中數(shù)學(xué)建模的幾種重要類型:

    1.函數(shù)方法建模。當(dāng)實(shí)際問題歸納為要確定某兩個(gè)量(或若干個(gè)量)之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),可通過適當(dāng)假設(shè),建立這兩個(gè)量之間的某個(gè)函數(shù)關(guān)系。

    2.?dāng)?shù)列方法建?!,F(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)濟(jì)活動中,諸如增長率、降低率、復(fù)利、分期付款等與年份有關(guān)的實(shí)際問題以及資源利用、環(huán)境保護(hù)等社會生活的熱點(diǎn)問題常常就歸結(jié)為數(shù)列問題。即數(shù)列模型。

    3.枚舉方法建模。許多實(shí)際問題常常涉及到多種可能性,要求最優(yōu)解,我們可以把這些可能性一一羅列出來,按照某些標(biāo)準(zhǔn)選擇較優(yōu)者,稱之為枚舉方法建模,也稱窮舉方法建模(如我們熟悉的線性規(guī)劃問題)。

    4.圖形方法建模。很多實(shí)際問題,如果我們能夠設(shè)法把它“翻譯”成某個(gè)圖形,那么利用圖形“語言”常常能直觀地得到問題的求解方法,我們稱之為圖形方法建模,在數(shù)學(xué)競賽的圖論中經(jīng)常用到。

    從數(shù)學(xué)建模的定義、類型、步驟、概念可知,其實(shí)數(shù)學(xué)建模并不神秘,有時(shí)多題一解也是一種數(shù)學(xué)建模,只有我們認(rèn)識到它的重要性,心中有數(shù)學(xué)建模意識,才能有效地引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)建模意識,從而掌握建模方法。

    在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下,高考命題中應(yīng)用問題的命題力度、廣度,其導(dǎo)向是十分明確的。因?yàn)橥ㄟ^數(shù)學(xué)建模過程的分析、思考過程,可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解;通過對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的分類研究,對學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的心理過程的分析和研究,又將推動數(shù)學(xué)教學(xué)改革向縱深發(fā)展,從而有利于實(shí)施素質(zhì)教育。這些都是我們新課標(biāo)所提倡的。也正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者要重視與努力的。

    參考文獻(xiàn):

    [1]董方博,《高中數(shù)學(xué)和建模方法》,武漢出版社.

    [2]柯友富,《運(yùn)用雙曲線模型解題》,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004(6).

    [3]陸習(xí)曉,《用模型法解計(jì)數(shù)問題》,中學(xué)教研,2006(9).

    [4]湯浩,《回歸生活,讓數(shù)學(xué)課堂“活”起來》,數(shù)學(xué)教育研究,2006(7).

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