避免分類(lèi)討論的策略

杭圣平

分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，在求解函數(shù)、方程、不等式、排列組合，幾何等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。含有分類(lèi)因素的題目是不是拿到手就分類(lèi)討論呢?不然，有時(shí)候分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的必須，但它并非都是解決問(wèn)題的上策或良策，要注意克服動(dòng)輒加以討論的思維定勢(shì)，應(yīng)結(jié)合題目認(rèn)真而細(xì)致地分析，充分挖掘題目中所給的條件，避免不必要的分類(lèi)討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明快，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

1. 分離參數(shù) 在含參數(shù)的方程或不等式中，若能通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，使方程或不等式的一端只含有參?shù)的解析式，另一端是無(wú)參數(shù)的主變?cè)瘮?shù)，從而分離參數(shù)，反客為主，往往可以避免繁瑣的討論。

例1. 設(shè)函數(shù)y = log2(mx²-2x+2)的定義域?yàn)锳，集合B =[12，2](1)若A = R，求m的取值范圍。(2)若 A∩B≠眨求m的取值范圍。(3)若log2(mx²-2x+2) > 2在B上恒成立，求m的取值范圍。

分析：(2)由于mx²-2x+2>0中m的符號(hào)不確定，用一元二次方程的根的分布去討論明顯比較繁瑣，若將m分離出來(lái)，轉(zhuǎn)變成求函數(shù)最值，問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了。(3)去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后其做法同(2)，轉(zhuǎn)變成求函數(shù)最值問(wèn)題。

解：(1)略。(2)mx²-2x+2>0在集合B =[12，2]上有解，等價(jià)于-m2<1x²-1x在集合B = [12，2]上有解，于是-m2<[1x²-1x]﹎ax，即m > - 4。(3)mx²-2x-2>0在集合B = [12，2]上恒成立，等價(jià)于m2>1x²+1x在集合B =(12，2)上恒成立，于是m2>1x²+1x﹎ax，即m>12。

2. 消除參數(shù) 有些問(wèn)題表面上看起來(lái)含有參數(shù)，但是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，可以將參?shù)消除，這樣就回避了對(duì)參數(shù)的討論。

例2.設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足(a-1)(b-1)<0<(a-1)(c-1)且log璬a+log璬b=log璬c，則|log璬a|與|log璬b|的大小關(guān)系為

分析：一般比較兩個(gè)數(shù)的大小可采用兩種方法：(1)作差，(2)作商。若作差，去絕對(duì)值符號(hào)必定要討論d的取值，而作商，利用換底公式就可以巧妙地避免對(duì)參數(shù)的討論解：由log璬a+log璬b=log璬c可得c=ab，因|log璬alog璬b|=|log璪a|，于是|log璬alog璬b|=|log璪cb|=|log璪c-1|又log璪c <0 |log璪c-1|>1，所以|log璬a|>|log璬b|

3. 數(shù)形結(jié)合 一些問(wèn)題中涉及到的函數(shù)圖象比較熟悉，可以作出它們的圖象，研究數(shù)形之間的關(guān)系，挖掘隱含條件，從而避免討論，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的作用。

例3.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-(a+1)²2|≤(a+1)²2與x²-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a∈R)的解集依次為A與B，求使A罛的a的取值范圍。

分析：集合A易求，而集合B中的兩個(gè)根的大小無(wú)法判定，需要分類(lèi)討論，但畢竟幾種情況比較麻煩，數(shù)形結(jié)合就能回避這些問(wèn)題。

解：由題意可知A =[2a ，a²+1]，集合B滿(mǎn)足：(x-2)[x-(3a+1)]≤0，令f(x)=(x-2)[x-(3a+1)]∵A罛∴A中的元素全屬于f(x)≤0的解集，由二次函數(shù)的圖象得：f(2a)≤0

f(a²+1)≤0 ，即2(a-1)(-a-1)≤0

(a²-1)(a²-3a)≤0 解集為{a|1

4. 巧用解析式 在求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，缺乏定位的條件，可采用方程的變化形式來(lái)表示焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的圓錐曲線，利用待定系數(shù)法，就得出了要求的結(jié)論，從而避免了討論。

例4.求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)P(-7，62)和Q(27，-3)兩點(diǎn)的雙曲線方程。

分析：若設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²a²-y²b²=1來(lái)解，雖可得到正確答案，但解題過(guò)程少了焦點(diǎn)在y軸上的情況，一般圓錐曲線過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：ax²-by²=1 (a，b同號(hào))可避免討論。

解：設(shè)雙曲線的方程為ax²-by²=1 (a，b同號(hào))有：

由已知雙曲線經(jīng)過(guò)P(-7，62)和Q(27，-3)，代入49a-72b=1

28a-9b=1解得a=1/25

b=1/75所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²25- y²75=1

5. 不正則反 有些問(wèn)題，分類(lèi)討論比較麻煩，若考慮問(wèn)題的對(duì)立面，即從結(jié)論的反面去思考和探索，得出反面結(jié)論，再結(jié)合集合性質(zhì)，可將題目化難為易，避免討論。

例5、如果二次函數(shù)y = mx² + (m - 3)x +1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍。

分析：若從正面求解，必須要對(duì)“兩交點(diǎn)均在原點(diǎn)右側(cè)”、“一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)另一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)”等情況進(jìn)行分類(lèi)討論，比較繁瑣；若從反面考慮問(wèn)題，即先考慮兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)左側(cè)(包含原點(diǎn))時(shí)m的取值范圍，再用補(bǔ)集來(lái)求解問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單。

解：若方程mx² + (m - 3)x +1=0有兩個(gè)負(fù)根，則：

△=(m-3)² - 4m≥0

3-mm <0

1m≥0 解之得 m≥9或m≤1

m<0或m>3

m>0

即：m≥9

取其補(bǔ)集得m < 9，且必須滿(mǎn)足△≥0與m≠0，故m的取值范圍為m≤1且m≠0。

總之，法無(wú)定法，貴在得法，只要選取的角度適當(dāng)，就能找到更好的解題途徑。

收稿日期：2009-03-02

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