善待“錯(cuò)誤”　妙用資源

湯衛(wèi)紅

蘇教版課標(biāo)本教材“分?jǐn)?shù)除法”單元整理與練習(xí)中有這樣一道習(xí)題：“蘋果每千克5元，西瓜每千克3元，香蕉每千克2元，香梨每千克2.5元，葡萄每千克6元。小明、小華和小軍分別用4元各買一種水果。小明所買的水果重4/5千克，是小華所買水果的2/5，是小軍所買水果的3/5，他們各買了什么水果?”

教材的意圖是先分別求出小華、小軍所買水果的千克數(shù)，再求各人所買水果的單價(jià)。這樣一來，求小華、小軍買的是什么水果就是兩步計(jì)算的分?jǐn)?shù)除法問題了，對(duì)于此前基本上是與典型的一步計(jì)算分?jǐn)?shù)除法問題打交道的學(xué)生來說的確不太適應(yīng)，他們總期望一步解決問題。于是，不少學(xué)生出現(xiàn)了這樣的做法：4÷4/5=5(元)……蘋果；5×2/5=2(元)……香蕉；5×3/5=3(元)……西瓜。盡管我心里明白：限于學(xué)生目前的知識(shí)水平，還不能作出令人信服的解釋，甚至本來就是“瞎貓碰了只死老鼠”，但我并沒有簡(jiǎn)單否定這種做法，而是想讓同學(xué)們撞擊出思維的火花。很快，同學(xué)們分成兩派爭(zhēng)論起來。

贊成派：我們這樣也算出了正確的結(jié)果，有什么不可以?!

反對(duì)派：有什么道理!我看是巧合。

贊成派：才不是呢!比如，小英買香梨，4元錢能買8/5千克，小明所買的水果重量是小英的1/2，用5×1/2同樣能算出小英所買水果的單價(jià)。

反對(duì)派：答案是一樣，可這道理又怎么解釋?題中的2/5、3/5都說的是重量之間的關(guān)系，怎么可以直接用來求單價(jià)呢?

贊成派：小華和小軍所買水果的單價(jià)應(yīng)該分別是小明的2/5、3/5。

反對(duì)派：為什么?

贊成派：道理我也說不清楚，但感覺這種做法一定是對(duì)的!

我覺得該我“出手”了：同學(xué)們，我們似乎都感覺到這種方法的簡(jiǎn)潔與合理，卻不知道如何作出解釋。但可貴的是同學(xué)們有了這種刨根問底的精神，正如愛因斯坦所說“我沒有什么特別的才能，不過喜歡刨根問底罷了”，有了這種精神，還怕學(xué)不好數(shù)學(xué)嗎?咱們相約六年級(jí)下學(xué)期，那時(shí)，讓我們?cè)賮硌芯拷裉斓慕夥ā?/p>

在學(xué)習(xí)了“正比例和反比例”后，我再次呈現(xiàn)上述解法請(qǐng)同學(xué)們思考其中的道理。同學(xué)們恍然大悟，紛紛作出解釋。

謝天：小明和小華用同樣多的錢所買水果重量的比是2:5，那單價(jià)之比就是它的反比5:2，也就是小華所買水果的單價(jià)是小明所買水果的2/5。所以，可以用5×2/5來算。

孫辰：總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例，小明所買水果的重量是小華所買水果的2/5，所以小華所買水果的單價(jià)是小明所買水果的2/5。

張瑤：我們還可以用比例解，設(shè)小華買的水果每千克x元，列出比例式x:5=2:5，x=5×2/5。這也說明了5×2/5是有道理的。

反思：

在“分?jǐn)?shù)除法”單元二次集體備課時(shí)，不少老師都談到在教學(xué)時(shí)否定了學(xué)生的這種做法，理由是學(xué)生并沒有理解題意、弄清數(shù)量關(guān)系，而是“誤打誤撞”出一個(gè)客觀上正確但主觀上卻無法解釋的方法。但我覺得既然誤入“真理”大門，為何不“將錯(cuò)就錯(cuò)”讓學(xué)生嘗試著自圓其說呢?作為教師是不是應(yīng)該“高瞻遠(yuǎn)矚”——為學(xué)生的自主探究打開一扇門，“前呼后應(yīng)”——著眼學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展呢?

1.學(xué)生真的一點(diǎn)不理解嗎?

調(diào)查表明：的確有一些學(xué)生并沒有理清數(shù)量關(guān)系，“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)”使其簡(jiǎn)單機(jī)械地“張冠李戴”。但不能否認(rèn)，有相當(dāng)一部分同學(xué)憑著已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)直覺到方法可能正確，而且還能通過列舉其他的情形對(duì)方法的合理性進(jìn)行驗(yàn)證，而計(jì)算結(jié)果的一致性促進(jìn)了包括意識(shí)到“錯(cuò)誤”的學(xué)生在內(nèi)的學(xué)習(xí)共同體的深入思考。事實(shí)上，隨著乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，學(xué)生已經(jīng)積累了相當(dāng)豐富的關(guān)于“單價(jià)”與“數(shù)量”關(guān)系的具體經(jīng)驗(yàn)，對(duì)其變化方向也有了一定的認(rèn)識(shí)：總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)越高數(shù)量就越少。學(xué)生正處于由“乘除法概念”向“比例概念”過渡階段，單價(jià)與數(shù)量的變化關(guān)系由定性描述逐步向定量刻畫過渡。所以，學(xué)生不用除法而用乘法求小華、小軍所買水果的單價(jià)則顯示出學(xué)生對(duì)單價(jià)與數(shù)量關(guān)系的良好直覺，因?yàn)樗麄冸[約意識(shí)到：小華所買水果的單價(jià)是小明所買水果的2/5，只不過缺少“反比例”這一概念作為思維的工具表達(dá)自己的思想。

2.給學(xué)生創(chuàng)造怎樣的機(jī)會(huì)?

盡管寫出非“常規(guī)”方法的同學(xué)中不乏“不知者”，但“不知者無罪”。重要的是教師不能從主觀上漠視“不知者”，而應(yīng)當(dāng)用長(zhǎng)遠(yuǎn)的眼光由客觀上的正確承認(rèn)其方法的合理性，讓“錯(cuò)誤”成為寶貴的教學(xué)資源，生成一段精彩的對(duì)話。我真的很慶幸自己沒有輕易否定學(xué)生的想法，否則就扼殺了學(xué)生對(duì)問題的直覺思維，喪失了一次很好的對(duì)問題深入思考和交流的機(jī)會(huì)。實(shí)踐表明：雖然雙方的爭(zhēng)論似乎沒有達(dá)成什么一致意見，但卻促進(jìn)了雙方對(duì)解法的進(jìn)一步思考。贊成派由最初的“歪打正著”開始冷靜思考解法的普適性，反對(duì)派從開始的簡(jiǎn)單否定注意到解法的合理性并將問題聚焦于如何由重量的關(guān)系推演出單價(jià)之關(guān)系這一方法內(nèi)核。這何嘗不是學(xué)生對(duì)教師所給機(jī)會(huì)的“饋贈(zèng)”呢?坦率地講，我以前也曾經(jīng)浪費(fèi)不少這樣的機(jī)會(huì)?？磥恚覀兊恼n堂并不缺少深層次對(duì)話的內(nèi)容與契機(jī)，而是我們漠視甚至親手葬送了許多看似偏執(zhí)、離奇甚至荒謬的珍貴思想方法。因此，保持一顆善待學(xué)生思想的心，秉持一種開放與接納的態(tài)度，練就冷靜思考、巧點(diǎn)妙撥的教學(xué)機(jī)智，我們的學(xué)生將會(huì)幸福地獲得一次又一次展現(xiàn)自我的機(jī)會(huì)，難忘那充滿生命活力的數(shù)學(xué)課堂。

3.深化認(rèn)知結(jié)構(gòu)何以可能?

保護(hù)學(xué)生的直覺思維和探究精神固然可貴，如何讓學(xué)生由此邁向?qū)φJ(rèn)知結(jié)構(gòu)的深層次建構(gòu)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)質(zhì)的飛躍的關(guān)鍵。因此，教師必須具有統(tǒng)帥全局的戰(zhàn)略眼光和把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的戰(zhàn)術(shù)本領(lǐng)。從橫向來看，加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系可促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)整合性較好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，其中可逆性(互補(bǔ)性和相互性)是思維訓(xùn)練的關(guān)鍵。從縱向來看，教師根據(jù)兒童各階段的思維特點(diǎn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律展開教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷深化。上述案例中，教師正是前瞻性地看到了學(xué)生方法中的“反比例”認(rèn)知雛形，才珍視并珍藏這一方法并用其彌久的芳香吸引著學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上持續(xù)探究，直至正式學(xué)習(xí)比例知識(shí)。教師按照約定再現(xiàn)之前的方法就像打開窖藏的陳釀，怎能不散發(fā)出誘人的濃香?期待已久的學(xué)生用探究的熱情引爆智慧的火花，通過關(guān)系運(yùn)算(比例)形成新的數(shù)學(xué)表征，作出合理的解釋。分?jǐn)?shù)—分率—比例在學(xué)生形式化的思維中順利過渡，串成了“珍珠”，抽象成了可以自由轉(zhuǎn)換的概念系統(tǒng)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被整合在具有包容性和開放性的新認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中。

(責(zé)編鐘園嫻)