基于正態(tài)分布的雙應力交叉步階試驗仿真研究

孟亞峰　賈占強　蔡金燕

摘 要：首先針對高可靠、長壽命電子裝備的可靠性評估問題，提出一種新的試驗方法——雙應力交叉步階試驗。而后在正態(tài)分布下，通過理論模型的建立，運用Monte－Carlo仿真對該試驗的試驗效率問題進行深入研究，分析得出形狀參數(shù)σ、壽命特征參數(shù)μ與加速效率指標之間的基本關系。結果表明在實際試驗條件下，雙應力交叉步降試驗與雙應力交叉步加試驗相比，其試驗效率是十分明顯的。

關鍵詞：加速壽命試驗；雙應力交叉步階；蒙特卡洛仿真；正態(tài)分布

中圖分類號：TB114.3文獻標識碼：A

文章編號：1004 373X(2009)02 071 05

Simulation of Double Crossed Step－stress Testing Based on Normal Distribution

MENG Yafeng,JIA Zhanqiang,CAI Jinyan

(Ordnance Engineering College,Shijiazhuang,050003,China)

Abstract：This paper presents a method to solve reliability evaluation problem of electronic equipments with high reliability and long life using double crossed step－stress testing in Normal distribution.Testing efficiency is studied deeply by building theoretic model and Monte－Carlo simulation.And the same time,the relationship between the parameters(σ and μ) of normal distribution and accelerated efficiency is researched deeply.The results show that double crossed step－down－stress has more advantages than double crossed step－up－stress in the same conditions.

Keywords：accelerated life testing;double crossed step－stress;Monte－Carlo simulation;normal distribution

0 引 言

在文獻［1］中提出了一種新的雙應力加速壽命試驗方法——雙應力交叉步階試驗，在指數(shù)分布形式下對該試驗方法的核心思想進行了詳細闡述，之后對其統(tǒng)計分析方法進行了研究。但現(xiàn)代電子裝備的失效壽命很多情況下服從正態(tài)分布，因此，在此分布形式下研究雙應力交叉步階試驗具有重要的現(xiàn)實意義。

1 問題描述

這里將雙應力交叉步降加速壽命試驗（Double－Crossed Step－down－Stress Accelerated Life Testing，DCSDS－ALT）［1］與雙應力交叉步進加速壽命試驗（Double－Crossed Step－up－Stress Accelerated Life Testing，DCSUS－ALT）［2］統(tǒng)稱為雙應力交叉步階加速壽命試驗（Double－Crossed Step－Stress Accelerated Life Testing，DCSS－ALT）。從定義可以看出，雙應力交叉步階試驗同樣包含兩種截尾方式，即定數(shù)截尾雙應力交叉步階試驗與定時截尾雙應力交階步降試驗。

文獻［2］已經(jīng)對雙應力交叉步加試驗進行了詳細研究，這里就不再贅述，相關知識和結論均可在文獻［2］中進行查詢。雙應力交叉步降試驗作為一種新的試驗方法，其理論體系還有許多有待完善的地方。在此，首先對雙應力交叉步降試驗的相關內容進行簡單介紹。

2 雙應力交叉步降試驗方法

2.1 雙應力交叉步降試驗的實施步驟

（1） 首先確定兩個加速應力（分別記為S1，S2）及每個應力所取的應力水平：

S10＜S11＜…＜S1璴， S20＜S21＜…＜S2璳（1）

式中，l和k分別是兩個加速應力的水平數(shù)；(S10,S20)為產(chǎn)品的正常應力水平，這樣第一應力的第i個水平與第二個應力的第j個水平的搭配(S1璱,S2璲)稱為應力水平組合，簡稱為水平組合(i,j)（i=1,2,…,l；j=1,2,…,k） 。

（2） 從一批產(chǎn)品中隨機抽取n個樣品，首先放在最高應力水平組合(l,k)下進行定數(shù)截尾壽命試驗，等到r璴k個樣品失效時，將其中一個應力（如第一應力）水平降低1級，而另一應力（如第二應力）仍固定在原水平上，對剩余的n－r璴k個樣品在水平組合(l－1,k)下再進行定數(shù)截尾壽命試驗，待到r(l－1)k個樣品失效時，再將應力水平組合調至(l－1,k－1)，然后對剩下的n－r璴k－r(l－1)k個樣品在水平組合(l－1,k－1)下繼續(xù)進行定數(shù)截尾壽命試驗。如此重復下去，直到在最低應力水平組合(1,1)下有r11個失效為止。

2.2 雙應力交叉步降試驗的特點

（1） 每步只降低一個應力水平，兩個應力水平交叉降低，其水平組合變動的軌跡如圖1所示。

圖1 DCSDS－ALT水平組合變動軌跡

（2） 假如兩個應力的水平數(shù)分別為l和k，顯然有|l－k|≤1，于是DCSDS－ALT由h=l+k－1步組成，其h個水平組合全體記為D，即：

D={(l,k),(l－1,k),(l－1,k－1),…,(1,2),(1,1)}（2）

（3） DCSDS－ALT的總失效數(shù)為：

r=r璴k+r(l－1)k+r(l－1)(k－1)+…+r12+r11≤n（3）

其中每一步失效數(shù)r璱j都要事先給定。

（4） 在DCSDS－ALT中，n個樣品經(jīng)過h步應力水平轉換，可得到一批失效數(shù)據(jù)。譬如，在水平組合(i,j)下的失效數(shù)據(jù)記為：

t璱j1≤t璱j2≤…≤t璱jr璱j， (i,j)∈D（4）

這些失效時間都是從水平組合(l,k)開始算起到水平組合(i,j)為止。

（5） DCSDS－ALT較恒加試驗所需的試驗樣品數(shù)大大減少，前者最少需要12個，而后者一般至少需要20個［2］。另外，在試驗效率上DCSDS－ALT較雙應力交叉步加試驗也具有較大優(yōu)勢，下面將通過具體的仿真實例給予驗證。

2.3 具體實施方案

假設DCSDS－ALT按照(S1璴,S2璳)＞(S1璴－1,S2璳)＞…＞(S11,S21)的應力順序進行試驗，樣本抽樣數(shù)為n，試驗截尾數(shù)為r璱j，即在(S1璱,S2璲)組合應力作用下達到r璱j個失效時將應力降到(S1璱－1,S2璲)，且失效總數(shù)r=r璴k+r(l－1)k+r(l－1)(k－1)+…+r12+r11≤n，失效時間以(S1璱,S2璲)開始時刻為計算起點，即：

(S1璴,S2璳):t璴k,1,t璴k,2,…,t璴k,r璴k

(S1璴－1,S2璳):t(l－1)k,1,t(l－1)k,2,…,t(l－1)k,r(l－1)k

…

(S11,S21):t11,1,t11,2,…,t11,r11

3 DCSS－ALT的基本假定及加速因子的定義

3.1 基本假定

假定1 各應力水平組合下，樣本的壽命數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其分布函數(shù)為：

F璱j(t)=Φ(t－μ璱j)σ璱j，i=1,2,…,l；j=1,2,…,k

式中，σ璱j＞0為形狀參數(shù);μ璱j＞0為特征壽命。該假定表明，應力水平組合改變是不會改變壽命分布類型的。

假定2 各應力水平組合下產(chǎn)品的失效機理不變。正態(tài)分布的分布參數(shù)約束條件為：

μ璱j/σ璴k=μ(l－1)k/σ(l－1)k=…=μ12/σ12=

μ11/σ11=μ00/σ00=ρ

假定3所有應力水平組合下的失效機理與正常使用條件下的失效機理保持一致，不同應力水平下的壽命特征μ璱j與應力水平(S1璱,S2璲)滿足加速模型：

ln μ璱j=β0+β1φ1(S1璱)+β2φ2(S2璲)+

β3φ3(S1璱,S2璲)（5）

式中，β0，β1，β2，β3為待估參數(shù)；函數(shù)φ1，φ2，φ3為已知函數(shù)；最后一項表示兩個應力之間的交互作用，假如能確定兩應力之間在試驗中無相互影響，則式（5）最后一項可以去掉。

假定4 Nelson累積失效模型（CEM）：樣品的殘余壽命僅依賴于當時已累積失效部分和當時應力水平，而與累積方式無關。

3.2 加速因子的定義

加速因子反映加速壽命試驗中得到的壽命信息與實際使用條件得到的壽命信息之間得折算規(guī)律，同時加速因子也是該加速效率仿真實現(xiàn)失效壽命數(shù)據(jù)折算的關鍵所在。有關文獻［3－7］中加速壽命試驗的加速因子定義為：

定義1 （加速因子）若產(chǎn)品再加速應力水平（組合）S璱與正常應力水平（組合）S0下的可靠性壽命分別為ξ璕i和ξ璕0，則稱：

k璱0=ξ璕0/ξ璕i（6）

定義1是目前廣泛認同的加速因子定義。它將加速因子定義為可靠壽命之比，揭示了加速因子的本質。從定義1還可以看出，加速因子反映了在兩種應力水平（組合）作用下失效過程的相對快慢程度，根據(jù)Nelson的累積失效模型，還可以將加速因子對應的應力拓展到任意應力水平（組合）之間。

定義2 （加速因子）若產(chǎn)品在應力水平（組合）S璱與S璲分別作用t璱與t璲的累積失效概率相同，即F璱(t璱)=F璲(t璲)，則稱應力水平（組合）S璱相對于S璲的加速因子為：

k璱j=t璲/t璱（7）

根據(jù)累積退化模型與累積失效模型，定義2實際上是將加速因子定義為不同應力水平（組合）下產(chǎn)品達到相同壽命退化累積量的期望時間之比。該定義實際上包含一個試驗數(shù)據(jù)中壽命退化累積等量折算的基本原理，其物理意義比定義1更明確。由于R(t)=1－F(t)，所以定義2與定義1在本質上是一致的。式（7）可以變形為：

t璲=k璱jt璱（8）

由此可以看出，如果產(chǎn)品在應力水平（組合）S璱作用下試驗了時間t璱，則在應力水平（組合）S璲作用下達到相同退化累積的等效試驗時間t璲由式（8）確定，因此式（8）也成為應力水平（組合）試驗時間的折算公式。

定義3 根據(jù)第3.1節(jié)中的假定2，以及由正態(tài)分布參數(shù)得到的約束條件，仿照定義1和定義2還可以將加速因子定義為：

k璱0=σ0/σ璱（9）

和：

k璱j=σ璲/σ璱（10）

式中，σ0為正常應力水平（組合）下失效數(shù)據(jù)的方差；σ璱為加速應力水平（組合）下失效數(shù)據(jù)的方差。式（9）反映了任意應力水平（組合）相對于正常應力水平（組合）的加速因子；式（10）則反映了應力水平（組合）S璱相對于S璲的加速因子。

4 DCSS－ALT加速效率的數(shù)值仿真研究

4.1 加速效率仿真的問題描述

為進一步闡述正態(tài)分布下DCSS－ALT的效率問題，在此將利用Monte－Carlo仿真試驗進行對比分析。

設產(chǎn)品的壽命T服從正態(tài)分布，即：

F璱j(T)=Φ，T＞0（11）

式中，μ是特征壽命參數(shù)。特征壽命與應力水平之間滿足加速模型：

μ=φ(S1,S2)（12）

產(chǎn)品的正常應力水平與h=l+k－1個加速應力水平組合分別為(0,0)和(l,k)，(l－1,k)，(l－1,k－1)，…，(1,2)，(1,1)。則與加速模型式（12）相對應的平均壽命分別為μ0，μ環(huán)，μ環(huán)－1，…，μ1。為便于比較加速效率，在相同條件下對雙應力交叉步降試驗與雙應力交叉步加試驗進行了Monte－Carlo仿真，仿真結果如圖2、圖3所示。試驗的樣本量為n，雙應力交叉步降試驗的r個截尾數(shù)分別為r璴k，r(l－1)k，…，r12，r11，而雙應力交叉步加試驗則為r11，r12，…，r(l－1)k，r璴k。仿真試驗對該試驗設計進行100次Monte－Carlo模擬，結果通過平均效率指標表示。平均效率指標為相同試驗設計下雙應力交叉步加試驗與雙應力交叉步降試驗的總試驗時間之比，指標大于1，則說明雙應力交叉步降試驗試驗效率高；指標小于1，則說明雙應力交叉步加試驗的效率高。

4.2 基于Monte－Carlo方法的仿真

Monte－Carlo方法［8，9］是將研究對象當作隨機過程，并隨機生成研究所需數(shù)據(jù)，通過數(shù)值計算達到研究目的的一種模擬方法。Monte－Carlo方法廣泛應用于采用傳統(tǒng)的數(shù)學方法或物理方法難以解決的復雜問題。由于該文的效率對比研究是一個典型的隨機問題。通過大量實際試驗進行對比研究顯然很不現(xiàn)實，而Monte－Carlo方法利用計算機隨機生成符合要求的抽樣樣本，依據(jù)抽樣樣本的模擬試驗對試驗效率進行對比分析，并通過這種模擬過程的大量重復對比揭示該問題中的統(tǒng)計規(guī)律。

4.2.1 正態(tài)分布隨機抽樣截尾樣本的仿真

實際進行加速壽命試驗時需要對樣本進行隨機抽樣，這種抽樣方式的本質是總體中每一個體的抽樣中幾率均等。所以在此采用以下方法進行正態(tài)分布隨機抽樣截尾樣本的仿真：

（1） 隨機抽樣模擬過程：計算機生成n個［0，1］內均勻分布的隨機數(shù)p1，p2，…，p璶作為被抽樣個體失效時間對應的可靠度；

（2） 利用反函數(shù)法生成隨機抽樣樣本：對于正態(tài)分布的樣本總體，其可靠壽命為：

t璸=μ+σΦ－1(p)（13）

（3） 截尾樣本的產(chǎn)生：對于（2）中所產(chǎn)生的n個樣本進行從小到大排序，取前r個（r=r1+r2+…+r璳）失效時間作為試驗的失效樣本，即后面n－r個為樣本為截尾樣本。

4.2.2 DCSS－ALT的仿真過程

（1） 雙應力交叉步降試驗

①利用加速模型式（13）求出其在應力組合(l,k)下的特征壽命μ環(huán)，而后利用第4.2.1節(jié)的方法模擬產(chǎn)生參數(shù)為t~Φ(μ環(huán),σ)正態(tài)分布的n個截尾樣本t1,t2,…,t璶，取前r璴k個數(shù)據(jù)作為(l,k)應力水平組合下的失效數(shù)據(jù)；

②將數(shù)據(jù)t璵減去累積試驗時間t璻璴k并分別乘以應力組合(l,k)相對于(l－1,k)的加速因子，即得到(l－1,k)應力水平下的失效數(shù)據(jù)；

③將數(shù)據(jù)t璵減去累積試驗時間t璻(l－1)k,并分別乘以應力(l,k)相對于(l－1,k－1)的加速因子，即得到(l－1,k－1)應力水平下的失效數(shù)據(jù)；

④重復步驟（3），直到應力水平（1，1），即得到全部DCSDS－ALT的失效數(shù)據(jù)。

（2） 雙應力交叉步加試驗

雙應力交叉步加試驗的仿真過程與之基本相似，只是應力施加的先后順序正好相反，這里不再贅述。

4.2.3 DCSS－ALT加速效率的實例仿真

以溫度T（單位：絕對溫度）和電壓V（單位：伏特）作為兩個加速應力安排一次雙應力交叉步降試驗。試驗數(shù)據(jù)通過蒙特卡洛仿真模擬產(chǎn)生，具體過程如下：

（1） 首先取定文獻［2］中的加速方程:

ln η璱j=－20+20 000T－4.5ln V(14)

（2） 確定T和V的正常應力水平和加速應力水平如下：

T0=353，T1=373，T2=388，T3=403，

V0=100，V1=200，V2=300，V3=400，V4=500

DCSDS－ALT與DCSUS－ALT加速應力水平組合(T,V)的變化軌跡分別為：

(3,4)→(3,3)→(2,3)→(2,2)→(1,2)→(1,1)；

(1,1)→(1,2)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(3,4)

這里的應力水平數(shù)l=3,k=4；步數(shù)h=l+k－1=6。把這6個水平組合代入加速方程可得6個平均壽命η34,η33,…,η11。

（3） 確定樣品數(shù)n=100，各步的截尾數(shù)為:

r34=12,r33=11,r23=9,

r22=8,r12=6,r11=5

累計失效數(shù)r=r34+r33+r23+r22+r12+r11=51個。

（4） 按照第4.2.2節(jié)中的步驟進行數(shù)據(jù)仿真，在求得仿真數(shù)據(jù)后，即可求出加速效率指標ratio。

圖2和圖3分別顯示出雙應力交叉步降試驗和雙應力交叉步降試驗條件下正態(tài)分布形狀參數(shù)ρ與加速效率指標的關系圖。圖2和圖3中分別出現(xiàn)了加速效率指標ratio＜0的情況，這表明在實際試驗中不可能出現(xiàn)壽命特征參數(shù)μ小于形狀參數(shù)σ的情況，即失效數(shù)據(jù)的離散程度不可能超過其均值；另外，在ρ=1.5附近加速效率指標ratio開始大于1，這進一步印證了上面的結論；

（5） 隨著分布參數(shù)約束條件ρ（ρ＞1.5）的增大，雙應力交叉步降試驗的試驗效率在急劇增大，而雙應力交叉步加試驗的試驗效率則在急劇減小。這表明在實際試驗條件下，雙應力交叉步降試驗相對于雙應力交叉步加試驗的效率優(yōu)勢是十分明顯的。

4.3 DCSS－ALT失效物理的累積退化模型

在損傷累積型和容差型失效機理中，產(chǎn)品的壽命過程都表現(xiàn)為產(chǎn)品的某個內部狀態(tài)量隨著壽命歷程的退化過程，具有明顯的漸變過程。失效物理對這一類失效常采用退化模型進行描述［10］。所謂退化模型，是指試件完全處于安全工作區(qū)，在t=0時刻沒有損傷，必須經(jīng)過一定時間的累積以后才發(fā)生失效的一種模型。

圖2 雙應力交叉步降試驗ρ與效率指標關系圖（一）

圖3 雙應力交叉步加試驗ρ與效率指標關系（二）

一般，若引入函數(shù)f(D)表示產(chǎn)品壽命過程的退化量，則退化模型中產(chǎn)品隨時間推移而發(fā)生壽命消耗的過程可表述為：

df(D)/dt=K（15）

式中，D表示退化量的特征量；f(D)是與特征值和失效過程基本物質狀態(tài)有關的函數(shù)；K為退化速度。f(D)的形式與產(chǎn)品的失效機理有關；而退化速度K則由失效機理與應力水平來決定。于是可以進一步推導出關系式f(D)=Kt，因此退化模型表明產(chǎn)品壽命過程在時刻t的退化量由Kt來決定。若特征值D退化到某一臨界量M時產(chǎn)品失效，則對應的產(chǎn)品壽命T為：

T=f(M)/K（16）

因此，產(chǎn)品的壽命隨應力水平的提高，退化速度的加快而縮短，這也是所有加速壽命試驗方法共同的理論依據(jù)。

退化模型描述了產(chǎn)品在一定應力水平下的壽命時效過程，而對于雙應力交叉步降試驗的描述則應當采用累積退化模型。按照第4.2.2節(jié)中的試驗方法安排試驗（其中S1，S2應力的水平數(shù)分別為l和k，對應的試驗階數(shù)為h=l+k－1），則雙應力交叉步降試驗在應力水平(S1璱,S2璲)組合（對應的退化量為K璸）的加載時間長度為t璸，產(chǎn)品經(jīng)過m（m≤h）階步降應力水平加載完成后失效，則此時的退化量為：

f(D)=∑mp=1K璸t璸（17）

將K璸=f(D)/T璸代入式（17），則可得：

∑mp=1(t璸/T璸)=1（18）

而產(chǎn)品在該雙應力交叉步降模式下的失效時間為所有t璸之和，這就是累積退化模型。累積退化模型是Miner準則的推廣，因此亦稱廣義Miner準則。累積退化模型同樣適用于雙應力交叉步階試驗與序進應力試驗的失效物理描述。

累積退化模型的物理意義在于：如果對應于T璵壽命的應力在試樣上加載時間t璵，而后再將對應于T璵－1壽命的應力在試樣上加載時間t璵－1，依此類推，當加載到滿足式（18）時產(chǎn)品的壽命終止，對應的產(chǎn)品失效時間則為所有加載時間t璸之和。

4.4 進一步的討論

根據(jù)累積退化模型，雙應力交叉步降試驗的每一階應力水平加載都會對試樣造成一定的退化量，試樣中的退化量隨著雙應力交叉步降應力的加載進程按照式（17）準則進行累積，當退化累積總量達到臨界值時試樣失效，對應的失效時間由式（17）準則中的所有t璸之和確定。在高可靠、長壽命的評估中，由于耗損型失效的失效率曲線為遞增函數(shù)，耗損失效主要集中于產(chǎn)品壽命末期，所以如何盡快實現(xiàn)產(chǎn)品壽命早期階段的退化累積以壓縮產(chǎn)品進入壽命末期的試驗時間，則已成為整個加速壽命試驗在加速效率上的瓶頸問題。

雙應力交叉步加試驗的應力加載由最低應力水平開始，因此其早期的退化累積主要通過較低應力水平實現(xiàn)，所以這一階段的試驗時間往往比較漫長。文獻［2］中對某產(chǎn)品安排雙應力交叉步加試驗，該試驗中第一個失效出現(xiàn)的時間約為219.3 h，為總試驗時間（1 558.14 h）的15％左右。

而雙應力交叉步降試驗則不同，試驗的應力加載由最高應力水平開始，其早期退化累積則主要通過最高應力水平開始，因而使得相應的早期退化累積時間大大壓縮。在試驗應力步降到較低水平以后，由于試樣中已經(jīng)累積所有較高應力水平所造成的退化累積量，試樣已經(jīng)進入到壽命末期的大量失效階段。所以，雙應力交叉步降試驗的總試驗時間與步進試驗方式相比將大大減少，也就是說其加速效率將得到較大的改善。

5 結 語

以長壽命電子裝備的可靠性評估需求為背景，通過理論模型的建立，對正態(tài)分布下雙應力交叉步階試驗方法及試驗效率問題進行了研究。結果表明，該試驗方法應用于電子裝備的可靠性評估可以極大地減少試驗時間，降低試驗費用，具有重要的現(xiàn)實應用價值。

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作者簡介 孟亞峰 男，1970年出生，河北人，講師，博士。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測與故障診斷的研究工作。

賈占強 男，1982年出生，河北人，博士研究生。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測與故障診斷的研究工作。

蔡金燕 女，1961年出生，天津人，教授，博士生導師。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測與故障診斷的研究工作。