“拼圖與勾股定理”探究活動實錄與反思

學生在小學已經借助拼圖直觀地學習了圖形的面積，到了初中，學生在學習平面直角坐標系和一次函數(shù)的時候，已經知道了代數(shù)與幾何之間可以互相轉化，并完美地結合在一起，知道可以用幾何知識來研究代數(shù)，代數(shù)與幾何之間具有內在的聯(lián)系?；凇白寣W生在做中感受和體驗，在做中學習數(shù)學知識，在做中培養(yǎng)創(chuàng)新精神”的理念，在學生學習了“勾股定理”后開展“拼圖與勾股定理”的探究活動，對于幫助學生增強數(shù)學的數(shù)形結合意識，提高學習數(shù)學的能力和興趣具有重要的意義。

下面是筆者組織的探究活動實錄及反思，供大家參考。

一、教學目標

1.知識與技能。

(1)理解并掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法;

(2)學會用拼圖的方法驗證勾股定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力。

2.過程與方法。

(1)通過豐富有趣的拼圖，經歷觀察、比較、拼圖、推理、交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考與表達的能力，獲得一些研究問題和合作交流的方法與經驗;

(2)經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題的方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值;通過驗證過程中數(shù)與形的結合，體會數(shù)形結合的思想，以及數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系。

3.情感、態(tài)度與價值觀。

(1)通過拼圖活動，體驗數(shù)學思維的嚴謹性，發(fā)展形象思維;

(2)通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數(shù)學學習的信心，在探究活動中，體會解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學生合作交流的意識和探索精神;

(3)利用拼圖方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學家的一大貢獻，借助此過程，對學生進行愛國主義教育。

二、教學重點

經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。

三、教學難點

經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理。

四、教學過程

1.活動一。

師:每個小組都有四個全等的直角三角形和一個正方形(如圖1)，其中直角三角形的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c;正方形的邊長為b-a。你能用它們拼成一個正方形嗎?你能用它們拼成兩個正方形嗎?你能說出每個正方形的邊長嗎?

小組合作完成后，讓學生到黑板上演示并解說。

第4小組:我們首先拼成這樣一個正方形(如圖2)，它的邊長為c，然后拼成兩個正方形(如圖3)。(由兩人合作完成)

學生:我在資料上看到，劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補略有不同。劉徽的證明原來也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字:“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。”后人根據(jù)這段文字補了一張圖(圖13)。

3.活動三。

師:其實，在國外也有很多很好的用拼圖證明勾股定理的方法。(如圖14)直角三角形ABC的直角邊分別為a和b，斜邊為c，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的邊長分別為a、b、c，我們一起試一試:首先用一條水平直線和一條豎直的直線將正方形Ⅱ分成四部分，再將它們與正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。

小組合作完成后，讓學生到黑板上演示并解說。

第6小組:我們按照這種方法，也將正方形Ⅱ這樣(演示)分成四塊(圖15)，但發(fā)現(xiàn)拼不成。

第4小組:他們的豎直線畫得和我們不同(圖16)，我們認為要用一條水平直線和一條豎直直線將正方形Ⅱ分成四個四邊形，再將四個四邊形有公共頂點的四個直角與正方形Ⅲ的四個直角相對應，最后將正方形Ⅰ放在中間，正好拼成正方形Ⅲ。

第5小組:我們發(fā)現(xiàn)無論橫線還是豎線在正方形Ⅱ內部的長度都必須等于直角三角形的斜邊長c。

學生:想不到這么高深的數(shù)學問題我也能解決!

學生:現(xiàn)在我知道了動手做也可以研究數(shù)學問題。我不再感覺數(shù)學是枯燥的了，數(shù)學其實很有趣。

學生:我知道了原來我們中國古代數(shù)學家曾經取得非常高的成就，我要向他們學習，學好數(shù)學，成為像他們那樣的數(shù)學家。

五、教學反思

通過“拼圖與勾股定理”探究活動的教學，筆者有以下幾點體會。

1.探究活動的起點不宜過高。

探究活動重在引導學生主動參與、樂于探索、善于實踐，把握知識的全過程，明曉數(shù)學的來龍去脈。在“拼圖與勾股定理”的探究活動中，筆者以中國古代和外國已有的證明勾股定理的方法為基礎，精心設計了三個拼圖活動，使學生在教師引導下，通過動手操作和思考，發(fā)現(xiàn)用拼圖可以驗證勾股定理，并明白其中蘊涵的數(shù)學原理和思想方法。所有的問題，學生通過觀察、比較、拼圖、推理、交流等都能得到解決，既不淺顯，又不是高不可攀，使學生能做、樂做，同時又享受到做中的樂趣。

2.探究活動中學生的參與度很重要。

在“拼圖與勾股定理”的探究活動中，90%以上的時間是學生在思考、交流、操作、發(fā)言和演示。每一個小組都有展示，每一個學生都在做、想、說，雖然其中有困惑、有障礙、有失敗，但每個學生樂此而不疲，做的專心致志，想的眉頭緊鎖，聽的津津有味，說的深入淺出，而且總會冒出一些出乎意料的問題和方法。這些得益于各小組的明確分工，使得每個學生都有動手操作的機會和發(fā)言的空間，也得益于教師對失敗和錯誤的包容、對成功和精彩發(fā)言的表揚鼓勵。整個過程中學生的意見得到發(fā)表，創(chuàng)造得到肯定，每個學生都有收獲。

3.探究活動中學生有創(chuàng)造。

學生以前知道的勾股定理證明方法很有限，對于本活動中的許多證明方法，學生以前并不了解。對于學生來說，這些方法都是新的，而且是他們創(chuàng)造的。在數(shù)學學習活動中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，就是使學生在學習過程中，獨立地發(fā)現(xiàn)新知識，獨立解決自己未曾解決過的問題或把所學的知識應用到新的情境中去的能力。

總之，“拼圖與勾股定理”的探究活動，應著重于學生親身體驗，操作實驗。對于初中學生而言，容易使拼圖活動停留在表面，缺乏深入的思考。因此，教師應及時加以啟發(fā)、引導。同時，不同的拼圖方法既有共性，又有各自的精華，需要學生在操作中體會、反思、領悟，教學過程不能急躁冒進，教師要留給學生一定的獨立自主的操作、思考的時間，要創(chuàng)造一個良好的課堂學習氛圍，讓學生能以一個創(chuàng)造者或發(fā)明者的身份去探究知識。教師應給學生提供一個充分的交流和小組合作的時間和機會，鼓勵他們積極思考解決問題的方法。