“轉(zhuǎn)化”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

中國歷史上有個(gè)很有名的故事——“曹沖稱象”。年僅六歲的曹沖用許多石頭代替大象，讓石頭的重量和大象等重，通過一次次稱石頭的重量，從而解決了困擾當(dāng)時(shí)很多有學(xué)問的成年人的難題。他的聰明在于將“大”轉(zhuǎn)化成“小”，將無法稱的“大象”轉(zhuǎn)化成可以稱的“石頭”。由此可見，轉(zhuǎn)化的思想就蘊(yùn)藏于我們的實(shí)際生活中。

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出:“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時(shí)地發(fā)生作用，使他們受益終身?！笨梢?，教師在教給學(xué)生知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想與方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想有很多，其中“轉(zhuǎn)化”的思想貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，所以顯得尤為重要。

“轉(zhuǎn)化”作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，雖然沒有被單獨(dú)、明顯地提出來，但在小學(xué)各個(gè)年級(jí)都或多或少地有所涉及。那么在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何去挖掘并適時(shí)地加以滲透呢?筆者根據(jù)自身的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)見解。

一、在推導(dǎo)計(jì)算公式時(shí)滲透“轉(zhuǎn)化”的思想

平面圖形的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。如三角形、平行四邊形的面積計(jì)算公式都是在長方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上教學(xué)的。比如在教學(xué)《平行四邊形面積計(jì)算》時(shí)，筆者是這樣設(shè)計(jì)的。

在導(dǎo)入新課時(shí)，筆者首先出示一個(gè)長方形，要求學(xué)生說出其面積計(jì)算的方法:長×寬(a×b)。接著，筆者在圖旁出示一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生思考這個(gè)平行四邊形的面積怎樣算。學(xué)生有兩種回答:一是用數(shù)小方格的方法來算面積;二是兩邊相乘(a×b)。顯然，第二種想法是錯(cuò)誤的。筆者不去評(píng)判對(duì)錯(cuò)，而是肯定這位學(xué)生運(yùn)用了“類推”的數(shù)學(xué)思想方法。然后，筆者從這位學(xué)生的錯(cuò)誤想法引導(dǎo)開去，師生共同探討，得出結(jié)論。這時(shí)將平行四邊形左移至長方形圖上，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較:兩個(gè)圖形的面積一樣大嗎?(不一樣大。)哪個(gè)大?大多少?經(jīng)過仔細(xì)觀察比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)右圖中的陰影部分就是長方形面積比平行四邊形面積大的部分。既然兩個(gè)圖形的面積不一樣大，這位同學(xué)的a×b能算出平行四邊形的面積嗎?(不能。)學(xué)生懂得了這個(gè)想法是錯(cuò)誤的。那么，這個(gè)平行四邊形的面積到底怎樣計(jì)算呢?今天我們就來學(xué)習(xí)《平行四邊形面積的計(jì)算》(板書課題)。

新知識(shí)教學(xué)過程中，學(xué)生限于自己的知識(shí)水平，在思考的過程中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤想法是正常的。教師應(yīng)在備課時(shí)“下水”思考，超前估計(jì)，順勢進(jìn)行引導(dǎo)點(diǎn)撥，引出正確想法，為下面求平行四邊形面積時(shí)需要用到它的高而不是斜邊埋下伏筆。

在面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生討論:上圖中平行四邊形的面積應(yīng)該怎樣計(jì)算?有的學(xué)生將長方形外的小直角三角形平移進(jìn)來，原來的平行四邊形就變成了一個(gè)長方形。這個(gè)長方形的面積要用平行四邊形的底乘以平行四邊形的高來計(jì)算。筆者充分肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，然后要求學(xué)生操作驗(yàn)證:上面的平行四邊形經(jīng)過平移之后，剛巧變成了一個(gè)長方形，我們能不能把任何一個(gè)平行四邊形都轉(zhuǎn)化成長方形呢?試試看。這一問題拋給學(xué)生后，筆者組織學(xué)生動(dòng)手操作，通過割補(bǔ)的方法將平行四邊形變成和它面積相等的長方形，讓學(xué)生從中感受到轉(zhuǎn)化的思想(如圖1)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形與長方形兩者之間的關(guān)系，類推出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

在學(xué)生操作時(shí)，筆者進(jìn)一步追問:是不是每個(gè)平行四邊形都可以剪拼成長方形?平行四邊形剪拼成長方形后，它的面積大小有沒有改變?

學(xué)生通過多次驗(yàn)證，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，筆者提問:我們已經(jīng)會(huì)求長方形的面積，那么怎樣求平行四邊形的面積呢?我們看，平行四邊形的底和高分別相當(dāng)于拼成的長方形的什么?板書:長方形的面積=長×寬，平行四邊形的面積=底×高。

在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)行了小結(jié):各種平面圖形是有一定聯(lián)系的，也是可以互相轉(zhuǎn)化的。我們將平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的長方形，從而找到了計(jì)算平行四邊形面積的方法。這種方法，我們以后還會(huì)用到。

學(xué)生通過轉(zhuǎn)化推導(dǎo)不僅可以經(jīng)歷從難到易，從未知到已知的過程，而且可體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用。轉(zhuǎn)化指導(dǎo)也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)梯形的面積計(jì)算提供了策略和方法。

二、計(jì)算教學(xué)中滲透“轉(zhuǎn)化”思想

數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“當(dāng)原有問題看來不可解時(shí)，你不要忘記人類的文明之處，就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于像出某個(gè)設(shè)當(dāng)?shù)妮o助問題?！边@兒所指的“繞過不能直接克服的障礙”實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”。例如口算125×56時(shí)，我們可將它轉(zhuǎn)化成125×8×7，將56這個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成8×7這一條算式，從而避免繁瑣的筆算過程。轉(zhuǎn)化思想還表現(xiàn)為“把求解的過程轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題”。比如小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算教學(xué)中，就是將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計(jì)算。例如計(jì)算3.6×0.18，先將它轉(zhuǎn)化成36×18，再根據(jù)積的變化規(guī)律，最終得出積。

三、解決實(shí)際問題中滲透“轉(zhuǎn)化”思想

如果數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，那么轉(zhuǎn)化思想就是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓，是數(shù)學(xué)思想的靈魂?！胺Q象”的問題在今天看來已經(jīng)不是一個(gè)難題了。類似于這樣的問題有很多，如在計(jì)算不規(guī)則圖形的面積(周長)時(shí)，將不規(guī)則的圖形“轉(zhuǎn)化”成學(xué)過的平面圖形，從而可以運(yùn)用面積(周長)公式輕松解決。例如圖(2)，如果用常規(guī)的思維很難解答，但如果轉(zhuǎn)化思維，通過割補(bǔ)的方法，將其轉(zhuǎn)化成長方形，難題便迎刃而解了。再如圖(3)，如果想求出左邊圖形的周長，需要了解各條邊的數(shù)據(jù)，事實(shí)并非如此，我們只需稍作移動(dòng)，并能將其轉(zhuǎn)化成右邊的長方形?？磥斫鉀Q類似問題的關(guān)鍵還是“轉(zhuǎn)化”。通過轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將繁瑣轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體?？梢哉f解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，“轉(zhuǎn)化”思想幾乎無處不在。

轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題;或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力?！缎W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:課程內(nèi)容，不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)論，而且包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法?？梢姅?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。教師應(yīng)充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生了解、學(xué)習(xí)并掌握這些思想方法，以便更好地、有效地開展自主學(xué)習(xí)。