多排任意排列的彈性樁屏障對(duì)平面P波或SV波多重散射

孫苗苗， 夏唐代

(1.浙江省水利河口研究院,杭州 310020； 2. 浙江省水利防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 杭州 310020;3.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境巖土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310058；4.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310058)

人工振動(dòng)對(duì)人體、環(huán)境均有不同程度污染。為隔離或減少人工振動(dòng)，使損害降至最低，在被保護(hù)建(構(gòu))筑物與環(huán)境振源之間設(shè)置屏障成為治理環(huán)境振動(dòng)所致污染主要手段之一。目前有兩種隔振屏障形式：①連續(xù)屏障形式，如空溝、填充溝、混凝土墻等，但在地下水位較高、人工波較長(zhǎng)的軟土地區(qū)，連續(xù)屏障的施工或隔振效果均不理想；②非連續(xù)隔振屏障，即排樁、排孔等，能克服連續(xù)屏障的不足。

非連續(xù)屏障對(duì)彈性波散射研究起步較晚。Woods[1]運(yùn)用全息照相技術(shù)對(duì)瑞利波入射下圓孔屏障隔振進(jìn)行研究，提出非連續(xù)屏障的設(shè)計(jì)依據(jù)。Liao等[2]進(jìn)行水中樁列、孔列隔振比例模型試驗(yàn)，認(rèn)為樁土剛度比對(duì)隔振效果影響較大。Massarsch等[3]對(duì)水泥石灰排樁進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究。Avilés等[4-5]采用波函數(shù)展開法對(duì)P波、S波及R波入射下單排實(shí)心樁的散射問題進(jìn)行理論研究。Kattis等[6]據(jù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料近似均質(zhì)化理論，將非連續(xù)屏障等效為連續(xù)屏障，對(duì)非連續(xù)屏障設(shè)計(jì)可參照連續(xù)屏障設(shè)計(jì)法則。Tsai等[7]采用頻域邊界元方法對(duì)三維單排非連續(xù)屏障振動(dòng)隔離進(jìn)行分析，認(rèn)為樁間距對(duì)屏蔽效果影響較大。蔡袁強(qiáng)等[8-9]由Boit飽和波動(dòng)方程出發(fā)，運(yùn)用波函數(shù)展開法研究飽和土中單排樁對(duì)彈性波的隔離問題。

以上研究非連續(xù)屏障對(duì)平面波隔離問題的解析解法中均只考慮單重散射。而單重散射假設(shè)的不足在于忽略散射體即樁列作為整體相互間相干相位關(guān)系，僅在樁間距較大時(shí)才正確。實(shí)際工程中，通常采用的排樁間距較小，排樁體系作為整體屏障起作用，各樁之間相互影響。多個(gè)任意半徑、任意排列的彈性樁屏障對(duì)平面P、SV波散射問題的精確解尚未見報(bào)道。

本文基于全空間各向同性介質(zhì)中任意位置、任意半徑的圓柱形散射體對(duì)彈性波多重散射理論[10-12]，對(duì)柔性樁屏障設(shè)其樁土邊界滿足彈性位移及應(yīng)力邊界條件，求解平面P、SV波入射下散射及透射波場(chǎng)，獲得總波場(chǎng)解。對(duì)單排及多排彈性樁屏障進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與參數(shù)分析，并通過將該解退化至剛性樁的解驗(yàn)證此彈性樁理論體系，對(duì)實(shí)際工程隔振設(shè)計(jì)提出建議。

1 理論模型

1.1 模型

圖1 任意排列、任意半徑圓柱形散射體對(duì)平面波散射分析模型

任意排列、任意半徑的圓柱散射體幾何分析模型見圖1。設(shè)散射體外介質(zhì)為無(wú)限、各向同性的均質(zhì)彈性體，介質(zhì)Lamé常數(shù)為λ，G；質(zhì)量密度ρ。圖中各散射體均分布于該介質(zhì)中。散射體軸線設(shè)為無(wú)限延伸，該問題可簡(jiǎn)化為二維平面應(yīng)變問題。

為研究振動(dòng)隔離問題，選圓柱散射體后一遠(yuǎn)場(chǎng)P點(diǎn)作為研究對(duì)象。定義圓柱形散射體形心s=0為x-y坐標(biāo)軸(笛卡爾直角坐標(biāo)系)原點(diǎn)，或r-θ坐標(biāo)系(極坐標(biāo)系)原點(diǎn)，圓柱散射體s半徑為as(s′半徑為as′等)，則遠(yuǎn)場(chǎng)P點(diǎn)相對(duì)第s個(gè)散射體坐標(biāo)相應(yīng)為rs，θs；對(duì)第s′個(gè)散射體，P點(diǎn)坐標(biāo)為rs′，θs′；對(duì)第s″個(gè)散射體坐標(biāo)為rs″，θs″；以此類推第s′個(gè)散射體相對(duì)第s個(gè)坐標(biāo)為rss′，θss′。設(shè)在不同入射波下 (P波或S波，波數(shù)分別為α，β)，入射角為θ0，而平面應(yīng)變與z軸無(wú)關(guān)，因此無(wú)需考慮剪切波χ。

圓柱體對(duì)平面波入射后多重散射的物理過程可表述為：① 任意選擇一散射體s為研究對(duì)象，該散射體對(duì)入射波響應(yīng)可視為第一重散射；② 第二重散射激發(fā)由各散射體第一重散射產(chǎn)生，即第一重散射波可作為次生波源引起第二重乃至更多重散射?？紤]散射體s第二重散射計(jì)算，所有介質(zhì)中其它散射體第一重散射可作為第二重散射的次生波源。對(duì)所有散射體均遵循此過程，從而獲得前一重與后一重散射波函數(shù)迭代關(guān)系，總散射波場(chǎng)即為所有散射體各重散射的疊加。

1.2 P波或SV波入射

入射P波波場(chǎng)勢(shì)函數(shù)展開成圓柱坐標(biāo)下Fourier-Bessel級(jí)數(shù)形式為：

(1)

其中：上標(biāo)inc表示入射波； Jn(·)為n階Bessel函數(shù)；α，β為P波波數(shù)；下標(biāo)s表示土體；φs=θs+θ0+π/2；為計(jì)算方便已消去exp(-iωt) ，φ0。

對(duì)彈性樁而言，P波或SV波入射均產(chǎn)生耦合散射，散射波同時(shí)存在P波、SV波部分。散射體s位移勢(shì)函數(shù)展開式為：

(2)

透射波勢(shì)函數(shù)參考展開式可表示為：

(3)

涉及P或SV波入射邊界條件的應(yīng)力分量為徑向應(yīng)力與切向應(yīng)力[13]：

(4)

其中：各變量下標(biāo)均表示s樁。

第一重散射應(yīng)滿足樁土邊界位移與應(yīng)力連續(xù)：

其中：

(6)

(7)

式中：剪切模量G的下標(biāo)意義同波數(shù)。

(8)

其中：上標(biāo)N’為除樁s外的散射體個(gè)數(shù)。

第m重散射徑向、切向應(yīng)力表達(dá)式為：

(9)

(m-1)重散射應(yīng)力表達(dá)式只需將上式中帶m的上下標(biāo)替換為 (m-1) 即可。透射波第m重透射的徑向、切向應(yīng)力表達(dá)式為：

(10)

式中：各符號(hào)意義同前，花體符號(hào)見附錄。

為應(yīng)用第m重散射邊界條件，需對(duì)m重散射位移應(yīng)力波函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換，用Graf加法定理轉(zhuǎn)換至與研究對(duì)象散射體第s根樁的參考坐標(biāo)系：

(11)

其中：Hn′n=Hn-n′(·)e-i(n-n′)θss′

將式(1)～式(3)、式(9)～式(11)代入式(8)，得m重散射迭代關(guān)系式(見附錄式(B))。用Cramer法則將Q矩陣分別代入P矩陣第1～4列得P1，P2，P3，P4矩陣，則m重散(透)射復(fù)系數(shù)的解為：

(12)

以上迭代關(guān)系仍可用假設(shè)樁身材料相對(duì)土體為剛性進(jìn)行退化，即Gs/Gp→0，無(wú)窮線性方程組式(B)(見附錄)可簡(jiǎn)化成：

(13)

對(duì)入射SV波而言，與剛性邊界條件推導(dǎo)相同，只需將附錄式(A) 等式右邊矩陣中入射波項(xiàng)用SV波替代即可，也可令Gs/Gp→0，退化后即為剛性邊界條件下的解；而第m重散射與透射系數(shù)的求解因其散射波同樣含P波、SV波的耦合散射與透射，系數(shù)與P波入射所得迭代關(guān)系相同，見附錄式(B)。

2 算例與分析

相互平行等間距列于介質(zhì)中截面為圓形樁列見圖2(a)。設(shè)樁身無(wú)限長(zhǎng)，樁數(shù)N，樁間距sp，屏障總寬度L=(N-1)sp，排間距h。遠(yuǎn)場(chǎng)穩(wěn)態(tài)平面波垂直傳播至該樁列，入射角θ0=π/2。為簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算結(jié)果以便分析，Bessel函數(shù)展開項(xiàng)截?cái)嘀羘=8。用本文方法計(jì)算多排樁隔離效果，采用梅花型布置(圖2(b))、排間距為h的雙排樁列計(jì)算分析。圖2(a) 可視為圖2(b)排間距h=0的特殊情況，用于驗(yàn)證本文方法的正確性。

數(shù)值計(jì)算采用樁土剪切模量之比Gr，土體與樁身材料密度比ρr，樁身材料泊松比νp及土體泊松比νs等參數(shù)表示波由土體至樁的傳播過程一系列特性改變。對(duì)所有入射P，S波在土體、樁體頻率無(wú)量綱化：

(14)

其中：頻率η與波長(zhǎng)λ右下角標(biāo)第一個(gè)字母代表P或S波入射；第二個(gè)字母或波數(shù)α，β下角標(biāo)s或p分別代表土體或樁。

計(jì)算用無(wú)量綱化位移振幅|u/u0|，|v/v0|，|w/w0|表示總位移振幅與入射波位移振幅比值，且各幾何參數(shù)均對(duì)樁半徑無(wú)量綱化。各待定系數(shù)因波函數(shù)展開式級(jí)數(shù)收斂，數(shù)值計(jì)算截?cái)嘀羘=8即認(rèn)為精度滿足計(jì)算要求。

圖2 排樁對(duì)平面波散射參考系及分析模型(n=8)

2.1 散射重?cái)?shù)影響

圖3為單排隔振屏障后中線無(wú)量綱位移振幅隨散射重?cái)?shù)變化曲線，圖中：入射P波，sp=3.0as,h=0, 1≤m≤4,N=8)。由圖3(a)看出，P波入射、樁土剪切模量比Gr= 1000時(shí)，屏障后無(wú)量綱位移曲線隨散射重?cái)?shù)的增加與剛性樁屏障在相同條件下計(jì)算結(jié)果[10]幾乎無(wú)異。說明樁土剪切模量比在Gr=1 000左右，屏障可視為剛性，退化結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。當(dāng)散射重?cái)?shù)m≥3時(shí)，位移振幅增量呈越來(lái)越小趨勢(shì)；散射重?cái)?shù)取三重及以上時(shí)，三重相對(duì)二重、或四重相對(duì)三重散射增量絕對(duì)值已微乎其微，可認(rèn)為計(jì)算結(jié)果收斂，即可將m=4作為散射重?cái)?shù)的截?cái)囗?xiàng)。

圖3 單排隔振屏障后中線無(wú)量綱位移振幅隨散射重?cái)?shù)變化曲線

圖4 單排樁后無(wú)量綱位移振幅隨樁間距sp變化三維網(wǎng)格圖

2.2 樁間距影響

彈性樁列樁間距為影響屏障隔離效果的重要因素。單排彈性樁(Gr=10)在P波入射下屏障后不同樁間距(sp=3.0as，4.0as)無(wú)量綱位移三維網(wǎng)格見圖4，圖中：h=0,Gr=10,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,m=4,N=8。圖4(a)為P波入射時(shí)樁間距在3倍樁徑下屏障后無(wú)量綱位移振幅的最小值出現(xiàn)在屏障后兩側(cè)區(qū)域，約0.5左右，圖4(b)雖可見靠近屏障處有較小的|u/u0|值，但屏障后其它區(qū)域均處在較大|u/u0|范圍內(nèi)，說明隨樁間距的增大，類似于連續(xù)屏障的排樁體系形成分離個(gè)體而不再成為整體對(duì)入射波屏蔽。

2.3 排間距影響

多排彈性實(shí)心樁排間距亦為影響屏障隔離效果的因素之一?？疾镻波入射時(shí)不同排間距情況屏障后無(wú)量綱位移變化見圖5，圖中：sp=3.0as,ηps=0.45,ηss=0.8,νp= 0.20,νs=0.25,Gr=100,m=4,N=8。由圖5(a)、(b)看出，P波入射時(shí)排樁后無(wú)量綱位移等高線隨排間距的變化較敏感，增加一倍樁徑間距，使排樁后|u/u0|最小值由0.1升至0.65，且亦能發(fā)現(xiàn)屏障后距離較近處振幅放大范圍由整塊區(qū)域逐漸轉(zhuǎn)化為獨(dú)立于每根樁前的放大區(qū)域。說明排樁排間距的加大，即隨屏障厚度增加，多排樁逐漸表現(xiàn)出離散、獨(dú)立的樁列屏障，而不能作為整隔離體對(duì)入射波進(jìn)行屏蔽，只有在保證一定排間距情況下(通常為h/as=3.0)，才能使多排彈性實(shí)心樁屏障發(fā)揮同連續(xù)屏障的隔離效果。

2.4 樁土剪切模量比影響

樁土剪切模量比Gr為彈性樁區(qū)別于剛性樁屏障的主要參數(shù)之一。在不同樁土剪切模量比情況下屏障后位移振幅等高線見圖6，圖中：入射P波，sp=3.0as,h=0,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,m=4,N=8。由圖6看出，P波入射時(shí)在雙排樁屏障后中心區(qū)域振幅放大現(xiàn)象明顯，最佳隔離區(qū)域并非緊靠排樁處，為距排樁一定距離對(duì)稱分布于樁列兩側(cè)位置，彈性樁屏障兩側(cè)位移振幅減小量約40%～50%，中心處為30%～40%，直至趨于穩(wěn)定，而剛性樁位移振幅減小量在兩側(cè)能達(dá)80%以上，中心亦能屏蔽約70%的入射波。由此看出，隨樁土剪切模量比逐漸加大，即樁體逐漸趨于剛性時(shí)，排樁屏蔽效果逐漸變好，此與文獻(xiàn)[10]等結(jié)論一致。而等高線圖在Gr=1 000或Gr=+∞時(shí)幾乎完全相同，說明該彈性樁散射理論退化至剛性假設(shè)的合理性及Gr= 1 000時(shí)，彈性解可作為剛性解計(jì)算，此與剛性邊界條件解一致，再次驗(yàn)證本文理論的正確性。

2.5 樁數(shù)與排數(shù)影響

本文方法與以往計(jì)算單排樁屏障區(qū)別在于可對(duì)任意排列、任意半徑的多排樁進(jìn)行分析。SV波入射下8根雙排彈性樁與12根三排彈性樁屏障后無(wú)量綱位移振幅等高線對(duì)比見圖7，圖中：sp=3.0as,h=2.5as,ηps=0.45,ηss=0.8,νp=0.20,νs=0.25,Gr=10,m=4。SV波入射時(shí)，8根雙排彈性樁阻隔后入射波位移振幅靠近中心處減小，可見屏障后兩側(cè)存在|v/v0|最小值約為0.2。增加一排樁后，屏障后位移振幅放大現(xiàn)象明顯，等高線趨于平均，原在雙排樁中心50≤y/as≤100才能獲得的|v/v0|=0.4區(qū)域在三排樁后大部分范圍均能降至該值；最多可隔離90%的入射SV波。說明增加排樁排數(shù)可使屏障呈近似連續(xù)屏障效果且能獲得更理想的減振預(yù)期。

圖5 隔振屏障后隨排間距h變化無(wú)量綱位移等高線圖

圖7 多排樁后無(wú)量綱位移振幅等高線圖

3 結(jié) 論

本文對(duì)任意半徑、任意布置的圓柱形彈性實(shí)心樁隔振屏障對(duì)平面彈性波多重散射進(jìn)行求解。通過施加樁土界面彈性邊界條件，構(gòu)造透射波場(chǎng)函數(shù)，采用Graf加法定理對(duì)各研究對(duì)象進(jìn)行坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換并求得第一重散射及透射復(fù)系數(shù)，通過前一重散射系數(shù)可迭代求出后一重散射及透射系數(shù)，進(jìn)而確定最終總散射波場(chǎng)與透射波場(chǎng)。在理論推導(dǎo)基礎(chǔ)上數(shù)值分析計(jì)算討論影響單排及多排彈性實(shí)心樁對(duì)平面波隔離效果參數(shù)，結(jié)論如下：

(1) 平面波入射彈性實(shí)心樁屏障后，靠近樁側(cè)會(huì)產(chǎn)生位移振幅放大現(xiàn)象，距屏障一定范圍(通常y/as≥ 100)位移振幅迅速減小?；诙嘀厣⑸涞膹椥云琳嫌?jì)算因考慮樁間互相干涉現(xiàn)象使散射計(jì)算更接近實(shí)際，并可令非連續(xù)屏障得以充分利用。隨散射重?cái)?shù)的增加位移逐漸收斂，工程上可取4重散射為實(shí)際設(shè)計(jì)截?cái)囗?xiàng)。

(2) 彈性實(shí)心樁列樁間距及多排樁排間距均對(duì)入射平面波散射有較大影響。樁間距與排間距的增加使非連續(xù)屏障成為散體，無(wú)法保證理想屏蔽作用。通過對(duì)屏障后平均無(wú)量綱位移振幅等高線分布研究，樁間距與排間距在3.0倍樁半徑范圍內(nèi)可獲得最優(yōu)減振效果，并可作為隔振屏障的設(shè)計(jì)參考指標(biāo)。

(3) 單排或多排樁身材料與周圍介質(zhì)的剪切模量比為彈性樁區(qū)別于剛性樁的重要參數(shù)。無(wú)論何種平面波入射，隨樁土剪切模量比的增加，即樁趨于剛性，屏障后最佳隔離區(qū)域逐漸擴(kuò)大，排樁隔離效果變好。實(shí)際工程中多可采用剛性樁為屏障材料。

(4) 增加彈性屏障樁數(shù)、排數(shù)可明顯增強(qiáng)排樁的隔振效果，振幅放大與衰減效應(yīng)與連續(xù)屏障類似。

附錄

(A)

其中sθα=ein(θ0+π/2)eiαscos(θ0s+θ0)r0s

(B)

令：

其中：

其中:下標(biāo)α或β可為s或p。

參 考 文 獻(xiàn)

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