淺談微積分發(fā)展史

摘要本文從對“數(shù)學”這一概念的定義出發(fā)，向大家闡述了微積分發(fā)展的歷史:我們可以知道客觀的社會需求和科學研究的需要，促使了微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，并不斷的深入和擴展。

關鍵詞正流數(shù)學反流數(shù)學流量流數(shù)

中圖分類號:O172文獻標識碼:A

1 微積分的創(chuàng)立

牛頓是一位偉大的科學家，在數(shù)學、力學、物理學、天文學、化學和自然哲學方面都有突出貢獻。有關他的傳記和成果的介紹不勝枚舉，任何一本數(shù)學通史專著都必然提到牛頓，他的影響是劃時代的，僅就數(shù)學而言，他創(chuàng)立的微積分就已成為現(xiàn)代數(shù)學的主干。

據(jù)牛頓自述，他于1665年11月發(fā)明正流數(shù)學(微分法)。1666年5月建立反流數(shù)學(積分法)。1666年10月寫成一篇總結(jié)性論文，在朋友和同事中傳閱，現(xiàn)以《1666年10月流數(shù)簡論》著稱。這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。

牛頓提出流數(shù)的基本問題是:(a)設有二個或更多物體A， B， C……在同一時刻描畫線段x，y，z……。己知表示這些線段關系的方程，求它的速度p，q，r……的關系。(b)己知表示線段x和運動速度p，q之比p/q的關系方程式，求另一線段y。對于問題a，首先將所有的項移到方程的一邊，成為多項式，使其和等于0，例如牛頓給出的解釋相當于。為了證明這一結(jié)果，牛頓采用時間的無窮小瞬的概念，指出若在某一瞬己描畫的是和，則到下一瞬他們將變成和，以和代換方程中的和。例如方程。代換后展開得消去和為零的項，并以除余下的項得。此時牛頓指出“其中含的那些項為無限小”略之得即為解。

牛頓后來引入了被普遍使用的流數(shù)記號，即用帶點的字母表示其流數(shù)。例如上例中用表示，表示，則上式結(jié)果可記為--2d相當于分別對和求導。

牛頓將正反微分運算應用于16類問題，展示了牛頓算法的普遍性與系統(tǒng)性。

1669年牛頓完成《運用無窮多項式方程的分析學》，重申“微積分基本定理”，廣泛地利用無窮級數(shù)做工具，給出求曲線下面積的一般方法，并發(fā)現(xiàn)若干函數(shù)的無窮級數(shù)展開式。

1671年，牛頓完成專著《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，首次使用“流數(shù)”這一術語。其中稱連續(xù)變動的量為“流量”，稱這些流量的變化率(導數(shù))為“流數(shù)”，于是這一新學科就被稱為“流數(shù)術”或“流數(shù)法”。

1687年，牛頓的名著《自然哲學之數(shù)學原理》出版，首次公開表述了他的微積分方法。此時距他創(chuàng)造微積分己過去22年。全書沒有明顯的分析形式的微積分運算，而是以綜合語言寫成。牛頓推崇說:“幾何學的榮耀在于，它從別處借用很少的原理，就能產(chǎn)生如此眾多的成就?！彼紫冉⒘恕笆啄┍确椒ā?，即借助幾何解釋把流數(shù)理解為增量消失時獲得的最終比，相當于求函數(shù)自變量與應變量變化之比的極限，這是極限方法的先導。由此引導出微積分方法，并用于引力，流體阻力，聲，光，潮汐，慧星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學工具的威力，為微積分的應用開辟了廣闊前景。

萊布尼茨與牛頓有許多相似之處:都是名垂青史的哲學家，都是對多種學科有重大貢獻的學者，都是當時各自國家科學界的領袖人物，都是一生未婚，都很愛國，逝后都被塑像供后人瞻仰。其中最相似的貢獻就是幾乎同時各自獨立地發(fā)明了微積分。

1666年萊布尼茨寫成《論組合術》，討論平方數(shù)列的性質(zhì)。例如其一階差為奇數(shù)列，二階差恒為2，三階差就“消失”。他用x表示序列中項的次序，用y表示這一項的值，接著討論了多種組合性質(zhì)。這是萊布尼茨寫的第一篇數(shù)學論文，其優(yōu)良的符號用法，函數(shù)對應思想以及求差分的思想為以后微積分創(chuàng)作奠定了基礎。

1684年萊布尼茨在《學藝》雜志上第一次發(fā)表了他的微分學論文，時間上比牛頓的《原理》早了3年，這使該文成為世界上最早公開出版的微積分文獻。全文僅6頁名字卻很長，一般簡譯為《一種求極大極小和切線的新方法》，其中含有現(xiàn)本微分法則，給出極值的條件及拐點的條件等結(jié)果。1686年萊布尼茨又在同一雜志上第一次發(fā)表他的積分學論文《深奧的幾何與不可分量和無限的分析》，其中指出如果則。他還用積分舉出超曲線的例子，如正矢曲線，或旋轉(zhuǎn)輪線，并以能用一個議程表示超曲線而滿意。

1693年萊布尼茨在發(fā)表的文章中更清楚地闡述了微分與積分的關系，表明他已純熟地掌握了微積分的原理，他還給出了求一族曲線包絡的普遍方法，研究了無窮級數(shù)和微分方程，對微積分的應用做出了貢獻。

經(jīng)過牛頓和萊布尼茨之手，微分方法不再是古希臘幾何學的附庸和延展，而成為一門獨立的科學，可以處理更廣泛的問題。

18世紀的主要工作是微分的應用，即分析學的發(fā)展。但人們在應用微積分之前首先要擴展微積分本身，由直觀和物理見解指引的形式有了很大的發(fā)展。數(shù)學家對微積分及隨后產(chǎn)生的分支作了技巧高超的處理。18世紀解決了許多問題，微積分理論基礎問題是由于微積分先天不足帶來的，其促進了微積分的健康發(fā)展。

歐洲大陸的學者很快接受了萊布尼茨的優(yōu)越符號，在伯奴家族、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快獲得豐碩的研究成果，引導了近代數(shù)學的發(fā)展。

18世紀的幾乎每一位數(shù)學家都對微積分的邏輯基礎作了一些努力，或者至少是講了一些這方面的話，但是所有努力均無最后結(jié)果，直到19世紀這一狀況才開始改變。

2 分析基礎的確立

分析嚴密化最終是通過算術途徑達到的，最先對分析算術做出貢獻的是捷克數(shù)學家、哲學家、邏輯學家波爾查諾。

1817年波爾查諾的名著《純粹分析的證明》出版。其中證明了下面的原理:如果對于兩個連續(xù)函數(shù)和€%?，有＜€%停襽%?，韵撔x介于。和刀之間，使<€%汀8枚ㄒ宓諞淮吻宄乇礱髁愿拍畹幕〈嬖謨詡薷拍鈧小U飧齠ㄒ逵肟攣骱罄錘齙牧遠ㄒ宀⑽奘抵是稹2ǘ榕抵っ髁碩嘞釷膠橇?，还梳j嘉徑ɡ碭鲆桓齟克閌醯鬧っ鰲?

1834年波爾查諾寫作《函數(shù)論》，第一個把的導數(shù)定義為自變量的增量趨向于0時，增量比值無限接近的趨向的量，進一步對極限概念的性質(zhì)作了深入探討，強調(diào)不是與比值，也不是兩個零的商，還不是兩個消失了的量的比，而是前面提出的比趨近一個數(shù)，相當于描述函數(shù)的記號。他說明有幾何或物理直觀造成的印象并不可靠，連續(xù)函數(shù)未必都有導數(shù)。現(xiàn)在這己成為分析學中的常識。

柯西在其始代表論著《分析教程第一編·代數(shù)分析》中給出從變量開始直到函數(shù)連續(xù)較為嚴格的定義。在其《無限小計算教程概論》中用與波爾查諾同類的辦法定義了連續(xù)函數(shù)的導數(shù)，給出了對定積分最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，對連續(xù)函數(shù)給出定積分作為和的極限的確切定義:如果區(qū)間[]為x的值LL所分割，假設在[]上連續(xù)，分割后最大子區(qū)間的長度趨于零，則在區(qū)間[]上的積分是|)。他接著定義函數(shù)，并且證明了在上連續(xù)，令，并且用微分中值定理，證明了，得到微積分基本定理。

阿貝爾是19世紀分析嚴格化的倡導者和推動者。在1826年克雷爾的《純粹與應用數(shù)學雜志》阿貝爾發(fā)表文章中的一篇中改正了柯西關于“連續(xù)函數(shù)的一個收斂級數(shù)的和一定是連續(xù)函數(shù)的錯誤結(jié)論，并用一直收斂的思想正確的證明了:連續(xù)函數(shù)的一個一致連續(xù)收斂的和在收斂區(qū)域內(nèi)部是連續(xù)的。他還得到一些無窮級數(shù)的收斂判別準則以及關于冪級數(shù)求和的定理。

19世紀在分析學嚴密性的論證中，這些著名的數(shù)學家的工作迫使許多數(shù)學家改寫原來的著作，將微積分從幾何概念、運動和直覺中解放出來。但這并不意味著分析基礎研究的終結(jié)。因為嚴密性所倚賴的實系數(shù)尚未嚴格定義，連續(xù)函數(shù)不可導與不連續(xù)函數(shù)可積分的例子尚無完滿解釋，某些嚴格分析排除的發(fā)散級數(shù)也有物理意義。然而這一切正是分析學繼續(xù)發(fā)展的動力，導致現(xiàn)代分析學的突進。

3 總結(jié)與展望

縱觀微積分發(fā)展史，我們可以了解到，實驗科學的興起促進了數(shù)學的發(fā)展，原有的數(shù)學知識無法滿足現(xiàn)實的科學研究是微積分產(chǎn)生和不斷發(fā)展的源動力，如今進入21世紀，隨著人類在太空領域，微電子領域生物等等領域研究的不斷深入，將促使人們不斷地繼續(xù)拓展和深入微積分知識，微積分知識將在越來越多的領域得到更為深入和廣泛的應用。