反思在解題中的應(yīng)用

摘要： 數(shù)學(xué)技能的形成與能力培養(yǎng)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題。在教學(xué)過(guò)程中，有效地培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題的能力，除了做好審題、制訂解題方案、解答表達(dá)等工作外，解題后的反思也是一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。解題本身不是學(xué)習(xí)的目的，而只是一種訓(xùn)練手段。進(jìn)行解題后的小結(jié)或反思，會(huì)有益于我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成技能技巧，從而把解題真正變成一種強(qiáng)有力的訓(xùn)練手段。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題 反思 積極意義

迅速提高數(shù)學(xué)解題能力，有諸多條件和因素。長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)表明，不少學(xué)生在完成作業(yè)或進(jìn)行大量解題訓(xùn)練的過(guò)程中，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)：解題后的“反思”。何謂“解題反思”？一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過(guò)一番艱辛、苦思冥想解出答案之后，必須認(rèn)真進(jìn)行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法？眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”。許多學(xué)生完成作業(yè)，因?yàn)閷W(xué)習(xí)態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，或者教師缺少必要的指導(dǎo)和訓(xùn)練，大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié)，未能形成良好的解題習(xí)慣、解題能力和思維品質(zhì)，未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也就只能登堂而未能入室。為了提高學(xué)生的解題能力，應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思。

學(xué)生由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)不求甚解，熱衷于大量做題，不善于解題后對(duì)題目進(jìn)行反思，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，也不善于糾正和找出自己的錯(cuò)誤，缺乏解題后對(duì)解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，掌握知識(shí)的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差。通過(guò)解題后改進(jìn)解題過(guò)程、探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)，學(xué)生的思維可在解題后繼續(xù)飛翔，“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚(yú)翔淺底”，這是解題過(guò)程中更高一級(jí)的思維活動(dòng)。為了讓學(xué)生思維繼續(xù)飛翔，提高解題能力，應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思。

解題反思的積極意義有如下幾個(gè)方面：

1.積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性。

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證。可是一些學(xué)生把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬(wàn)事大吉，頭也不回，揚(yáng)長(zhǎng)而去，由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引起重視，加以克制，引以為戒。如1.結(jié)論荒唐，引為笑柄；2.以特殊代替一般；3.臆造“定理”，判斷無(wú)據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。以上常見(jiàn)的錯(cuò)誤，不勝枚舉。因而，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。

2.積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終都能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法。不能解完題就罷手，如釋重負(fù)，應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解、多題一解的問(wèn)題，開(kāi)拓思路，勾通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次更富有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。每一種解法可能用到不同章節(jié)的知識(shí)，這樣可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，掌握不同解法技巧，同時(shí)每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對(duì)哪一種最簡(jiǎn)捷、最合理？把本題的每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，同時(shí)既可看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會(huì)師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問(wèn)題，便會(huì)迎刃而解，這對(duì)提高解題能力尤其重要。

3.積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進(jìn)過(guò)程，尋找解題方法上的創(chuàng)新。

在問(wèn)題解決之后，要不斷反思：解題過(guò)程是否浪費(fèi)了重要的信息，能否開(kāi)辟新的解題通道？解題過(guò)程多走了哪些思維回路，思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)捷？解題過(guò)程是否拘泥于思維定勢(shì)，照搬了熟悉的解法？通過(guò)這樣的不斷質(zhì)疑、不斷改進(jìn)，解題過(guò)程會(huì)更具有合理性、科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性。例1：求證：正四面體和正八面體相鄰兩側(cè)所成的二面角互補(bǔ)。此題有常規(guī)的解題思路：分別求出兩個(gè)多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書(shū)上的解法。我們探索解題過(guò)程，總感覺(jué)這樣解題很苯拙，不能反映兩個(gè)多面體的巧妙結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，問(wèn)題隱含了“結(jié)構(gòu)”這個(gè)重要信息，那么，就可把“結(jié)構(gòu)”作為切入點(diǎn)去探究問(wèn)題。

4.重視知識(shí)的遷移和應(yīng)用，探究問(wèn)題所含知識(shí)的系統(tǒng)性。

解題之后，要不斷地探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系？要把問(wèn)題所蘊(yùn)含孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過(guò)不斷的拓展、聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性。

5.整合知識(shí)，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)。

要讓學(xué)生明白，問(wèn)題與問(wèn)題之間不是孤立的，許多表面上看似無(wú)關(guān)的問(wèn)題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問(wèn)題與問(wèn)題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問(wèn)題？它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系？能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)。要將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造性地設(shè)問(wèn)。讓學(xué)生在知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來(lái)的樂(lè)趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維是非常有利的。

6.探究規(guī)律，形成小結(jié)。

要對(duì)每個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底，反思能否得到一般性的結(jié)果、有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)；能否形成獨(dú)到的見(jiàn)解、有自己的小發(fā)明。點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。長(zhǎng)期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，增加其知識(shí)的存儲(chǔ)量。

總之，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生解題后不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并作出新的判斷，讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感。長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。