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    解函數(shù)探索題的數(shù)學(xué)思想

    2009-04-29 00:00:00

    數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓,是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.解決函數(shù)探索題問題經(jīng)常用到各種基本數(shù)學(xué)思想,掌握這些數(shù)學(xué)思想有利于提高分析問題和解決問題的能力.下面介紹數(shù)學(xué)思想在解函數(shù)探索題問題中的應(yīng)用,供大家參考.

    一、方程與不等式思想

    就是分析問題中的變量之間的關(guān)系,建立方程或不等式(組),通過解方程或不等式(組),以及運(yùn)用方程或不等式的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題得到解決.

    例1 是否存在實(shí)數(shù)a、b、c,使函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)M(-1,0),且滿足條件:對一切x∈R,都有x≤fx≤12x2+1,并證明你的結(jié)論.

    分析 由條件函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)M(-1,0),可得方程a-b+c=0;又由條件對一切x∈R,都有x≤fx≤12x2+1,可得關(guān)于a、b、c的不等式組.這樣就把問題轉(zhuǎn)化為方程和不等式問題,解方程和不等式就可得到結(jié)果.

    解 將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式得a-b+c=0①又x≤fx≤12x2+1對一切x∈R都成立.令x=0得,0≤c≤12②.令x=1得,1≤a+b+c≤1,即a+b+c=1③.由①和③得b=12,c=12-a④.由于對一切x∈R,都有x≤fx≤12x2+1,所以不等式組fx≥x,fx≤12x2+1.即2ax2-x+1-2a≥0,1-2ax2-x+2a≥0.⑤的解集為R.當(dāng)a=0或a=12時(shí),該不等式組不能對一切x∈R都成立,故a≠0,a≠12.當(dāng)a≠0,a≠12時(shí),不等式組解集為R,a必須滿足條件Δ1=1-8a1-2a≤0,Δ2=1-8a1-2a≤0.⑥即16a2-8a+1≤0,4a-12≤0.所以a=14.由④得c=14.

    由此可知,存在實(shí)數(shù)a=14,b=12,c=14,使函數(shù)fx滿足題設(shè)條件.

    評注 從不等式組⑤到不等式組⑥,如果漏掉等號,就得到相反的結(jié)論.

    二、數(shù)形結(jié)合思想

    在解函數(shù)探索題時(shí),可以根據(jù)“式”的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形,并通過圖形的性質(zhì)解決函數(shù)問題.

    例2 已知函數(shù)fx=log2 x+1x-1+log2 x-1+log2 p-x.

    (1)是否存在實(shí)數(shù)p使函數(shù)fx有意義;

    (2)fx是否存在最大值或最小值,如果存在,把它求出來,若不存在,說明理由.

    分析(1)根據(jù)條件列出不等式組求解.

    (2)因?yàn)楹瘮?shù)fx=log2 -x-p-122+p+124(p>1,1<x<p),設(shè)φx=-x-p-122+p+124(p>1,1<x<p),利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解.

    解(1)要使fx有意義,x、p要滿足x+1x-1>0,x-1>0,p-x>0.即x>0或x<-1,x>1,x

    (2)fx=log2 -x-p-122+p+124(p>1,1<x<p),設(shè)φx=-x-p-122+p+124(p>1,1<x<p),則φx是定義在(1,p)上的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知,只有當(dāng)1<p-12<p,即p>3時(shí),φx有最大值φmaxx=φp-12=p+124,但是,無最小值.當(dāng)p-12≤1或p-12≥p,即1<p≤3時(shí),φx既無最大值,也無最小值.

    因此,當(dāng)p>3時(shí),fx有最大值,且最大值為fmaxx=fp-12=log2 p+124=2[log2 p+1-1],此時(shí)函數(shù)無最小值.當(dāng)1<p≤3時(shí),fx既無最大值,也無最小值.

    評注 如果能把函數(shù)問題以“圖形”的形式描述,揭示出命題的幾何特征,就能變抽象為直觀,使抽象思維和形象思維在解題過程中相互轉(zhuǎn)化,使初看很難或很繁的問題變得容易和簡單.

    三、函數(shù)思想

    就是分析、利用問題中數(shù)量之間的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解,從而使問題獲得解決.

    例3 (1)試判斷命題“一次函數(shù)fx=kx+h(k≠0),若m<n,fm>0,fn>0,則對任意x∈(m,n)都有fx>0”是真命題還是假命題?并說明理由.

    (2)利用(1)的結(jié)論判斷命題“若a、b、c均為實(shí)數(shù),且|a|<1、|b|<1、|c|<1,則ab+bc+ca>-1”是真命題還是假命題?并說明理由.

    分析 (1)一次函數(shù)的圖象是直線,而fx=kx+h[x∈[m,n]]的圖象是線段,一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸上方,則這條線段在x軸上方.

    (2)由ab+bc+ca>-1,得(b+c)a+bc+1>0,令fx=(b+c)x+bc+1,利用一次函數(shù)求解.

    解 (1)當(dāng)k>0時(shí),fx是增函數(shù).因?yàn)閒m>0,所以,當(dāng)x∈(m,n)時(shí),fx>fm>0總成立.

    (2)當(dāng)k<0時(shí),fx是增函數(shù).因?yàn)閒n>0,所以,當(dāng)x∈(m,n)時(shí),fx>fn>0總成立.

    綜上所述,對任意x∈(m,n)都有fx>0是真命題.

    (2)令fx=(b+c)x+bc+1(|b|<1、|c|<1),又因?yàn)閍∈(-1,1),且fa=(b+c)a+bc+1=ab+bc+ca+1.

    當(dāng)b+c=0時(shí),fa=-c2+1>0,所以ab+bc+ca+1>0,即ab+bc+ca>-1.

    當(dāng)b+c≠0時(shí),因?yàn)閨b|<1、|c|<1,所以f1=(b+c)+bc+1=(1+b)(1+c)>0;f-1=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0.

    根據(jù)(1)題結(jié)論,當(dāng)a∈(-1,1)時(shí),fx>0成立.因?yàn)閍|<1,所以fa=ab+bc+ca+1>0即ab+bc+ca>-1.

    所以,此命題是真命題.

    評注 把要解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,結(jié)合具體的函數(shù)性質(zhì)求解,這樣可以使問題化難為易,化繁為簡,是一個(gè)重要的解題策略.如果函數(shù)解析式中含有參數(shù),一般要根據(jù)定義域和參數(shù)的特點(diǎn)分類討論.

    四、分類討論思想

    它是根據(jù)問題的特征,確定劃分標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行分類,然后對每一類分別進(jìn)行求解,最后綜合給出答案.

    例4 設(shè)P(x+a,y1)、Q(x,y2)、R(2+a,y3)是函數(shù)fx=log2 x-a圖象上不同的三點(diǎn),若使y1+y3=2y2成立的實(shí)數(shù)x有且僅有一個(gè),試問實(shí)數(shù)a需滿足什么條件?

    分析:有P、Q、R在fx的圖象上和y1+y3=2y2的條件,列出含x方程.因?yàn)榉匠讨泻袇?shù)a,因此求解時(shí),要對a進(jìn)行分類討論.

    解:由P、Q、R是fx的圖象上不同的三點(diǎn),所以,y1=log2 x,y2=log2 x-a,y3=1.因?yàn)閥1+y3=2y2,所以1+log2 x=2log2 x-a①,且方程①有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,由此得x>0,x-a>0,2x=x-a2.即x>0,x>a,x2-2a+1x+a2=0.②其中方程②亦有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

    (1)當(dāng)方程①中Δ=0,即Δ=4a+12-4a2=0,也就是a=-12時(shí),方程②有兩個(gè)等根為x=12,且滿足x>0,x>a=-12.所以,當(dāng)a=-12時(shí)能使結(jié)論成立.

    (2)當(dāng)方程①中Δ>0,即Δ=4a+12-4a2>0,也就是a>-12時(shí),方程②有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為x=1+a±2a+1.而根據(jù)題意方程②有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,又因?yàn)?+a+2a+1>a,且a>-12時(shí),1+a+2a+1>0,所以必須1+a-2a+1≤a且1+a-2a+1≤0,即2a+1≥1且1+a≤2a+1,所以a≥0.

    由(1)(2)知,要使結(jié)論成立,a滿足的條件是a≥0或a=-12.

    評注 此題是因?yàn)閰?shù)引起的分類討論,而解題過程把它轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論,使解題過程更有層次性.

    五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

    轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.它的原則就是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的易解的或已經(jīng)解決的問題;將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.

    例5 關(guān)于x的函數(shù)fx=logax-3-logax+2-logax-1的圖象與函數(shù)y=1的圖象是否有公共點(diǎn),試給予判斷,并說明理由.

    分析 函數(shù)fx的圖象與函數(shù)y=1的圖象是否有公共點(diǎn),可以轉(zhuǎn)化為方程logax-3-logax+2-logax-1=1是否有實(shí)數(shù)根的問題.它又可以轉(zhuǎn)化為討論方程1ax-3=x+2x-1是否存在大于3的實(shí)數(shù)根.進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為討論拋物線y=x+2x-1-1ax-3是否在x=3的右側(cè)與x軸有交點(diǎn)的問題,于是有如下解法.

    解 令k=1a,因?yàn)閍>0,a≠1,所以k>0,k≠1.根據(jù)題意,所求解的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程kx-3=x+2x-1是否存在大于3的實(shí)數(shù)根的問題,即為x2+(1-k)x+3k-2=0是否有大于3的實(shí)數(shù)根.

    令φx=x2+(1-k)x+3k-2,則上述問題可轉(zhuǎn)化為討論拋物線φx是否在x=3的右側(cè)與x軸有交點(diǎn)的問題.而此拋物線開口向上,且對稱軸方程為x=k-12,又φ3=9+3(1-k)+3k-2=10>0,所以若拋物線φx在x=3的右側(cè)與x軸有交點(diǎn),其圖象只能如圖3所示,根據(jù)圖象,k必須滿足不等式組Δ=1-k2-43k-2≥0,x=-1-k2>3.解得k≥7+210或07.所以k≥7+210時(shí),此時(shí)拋物線在x=3的右側(cè)與x軸有交點(diǎn),又0<a=1k≤17+210=7-2109,所以,當(dāng)0<a≤7-2109時(shí),函數(shù)fx的圖象與函數(shù)y=1的圖象有公共點(diǎn).

    評注 數(shù)學(xué)大師波利亞強(qiáng)調(diào):“不斷地變換你的問題”.解題過程就是合理地“轉(zhuǎn)化”問題的過程.

    數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,因此,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí),對培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)能力和優(yōu)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有幫助.

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