集合與簡易邏輯面面觀

一、考點解讀與預(yù)測

集合是近代數(shù)學(xué)中的重要概念之一，可以滲透到數(shù)學(xué)的各個分支，許多本質(zhì)上屬于代數(shù)、幾何的問題都可以與集合進(jìn)行整合.高考命題中有關(guān)集合的考查重點是集合與集合之間的關(guān)系，突出對集合的計算及化簡能力的考查，命題中涉及的集合問題逐步向無限集發(fā)展，目的在于考查考生的抽象思維能力.考生要理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并能用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運用集合的觀點去研究和解決數(shù)學(xué)問題.在備考時，注意以下知識點：

1．理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數(shù)集及其記法．

2．了解“屬于”關(guān)系的意義，理解集合中元素的性質(zhì)，通過觀察集合的代表元素，區(qū)分不同的元素形式，如數(shù)集、點集、圖形集．

3．掌握集合的三種表示法（列舉法、描述法、韋恩圖法），能把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言（集合語言）．一個集合若能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，再處理相關(guān)問題.

4．掌握集合知識的中心內(nèi)容:集合的“子、交、并、補”，注意區(qū)別{0}、和{}及0與這三者之間的關(guān)系，準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容和各個集合之間的關(guān)系.

5．掌握集合中的常用結(jié)論：

（1）集合A={a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.

（2）A∩B=AA∪B=BAB.

（3）CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB).

6.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法.解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決.

簡易邏輯是高中數(shù)學(xué)新課程改革后新增的內(nèi)容之一，意在進(jìn)一步培養(yǎng)考生的邏輯推理和論證能力.高考命題中，有關(guān)簡易邏輯的考查重點是對命題真假、充要條件的判斷與證明，考查考生對數(shù)學(xué)命題的理解，明確題目對充分性與必要性的要求，如立幾題中，“是否存在…，使…？”，應(yīng)該先得到結(jié)論，再給出證明等．在備考時，注意以下知識點：

1．可以判斷真假的語句叫命題．一個語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祈使句、疑問句、感嘆句都不是命題．

2．掌握四種命題及其關(guān)系．原命題與其逆否命題是等價命題，逆命題與其否命題是等價命題，當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假．

3．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，掌握判斷充要條件的方法和步驟．

判斷命題充要條件的兩種方法：（1）定義法；（2）等價法：即利用等價關(guān)系“ABBA”判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法．

4．理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，了解含“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的構(gòu)成，能熟練判斷一些復(fù)合命題的真假性（利用真值表）．

5．理解全稱量詞與存在量詞的含義，掌握全稱命題與存在性命題的否定形式．

二、典型考題解析

【例1】（2009年江蘇卷）

已知集合A={x|log2 x≤2}，B=(－∞，a)，若AB則實數(shù)a的取值范圍是(c，+∞)，其中c= ．

【答案】4

【解析】本題考查集合的化簡、集合之間的包含關(guān)系以及子集有關(guān)知識，根據(jù)已知條件得到A=(0，4\\〗，又AB，所以a>4，從而得到c的值．

【例2】（2009年江蘇卷）

設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn=an+1（n=1，2，…），若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23，19，37，82}中，則6q= ．

【答案】-9

【解析】本題以集合知識為載體，與數(shù)列相整合，組成了一道創(chuàng)新題考查考生的閱讀理解能力與邏輯推理能力，涉及了集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系、等比數(shù)列等知識點．由條件知數(shù)列{an}中連續(xù)四項在集合{－54，－24，18，36，81}中，由|q|>1，所以{an}中連續(xù)四項可能為（1）－24，36，－54，81，q=－32，6q=－9；（2）18，－24，36，－54，不合；其它情形都不符合．當(dāng)然還有其他解法，本題的難點在于考生不會逆向思維去找出{an}中的項，有些考生用方程思想的思路，既耽誤了解題時間又影響了解題的正確性.

【例3】(2009年四川卷)

已知a，b，c，d為實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的條件.

【答案】必要不充分條件

【解析】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的知識，解決的關(guān)鍵是依據(jù)它們的定義.

【例4】（2009年天津卷）

命題“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是.

【答案】對任意的x∈R，2x0>0.

【解析】本題考查存在性命題的否定形式．

【例5】（2009年江蘇卷）

設(shè)α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：

（1）若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；

（2）若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；

（3）設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；

（4）直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直.

上面命題中，真命題的序號（寫出所有真命題的序號）.

【答案】（1）（2）

【解析】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系的命題的判斷，空間中命題真假的判斷是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，而且用不定項選擇題的形式出題，加大了學(xué)生正確解出此題的難度.由線面平行的判定定理知，（2）正確；相應(yīng)地（1）可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)有兩相交直線分別平行于另一個平面，所以這兩個平面平行．