新課標下如何進行函數(shù)復(fù)習(xí)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一．函數(shù)方程思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)，是思考和解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，對分析和解決各種數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用問題具有重要的作用．是歷屆高考的重中之重．

高三函數(shù)的復(fù)習(xí)不是簡單知識重復(fù)，而是再認識，再提高的過程．復(fù)習(xí)中的最大矛盾是時間短，內(nèi)容多，要求高．這就要求在復(fù)習(xí)時既要做到突出重點，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，使其在掌握規(guī)律中理解、記憶、熟練、提高．為了搞好函數(shù)復(fù)習(xí)，筆者提以下幾點看法：

一、精讀《考試說明》，明確高考方向

《考試說明》中關(guān)于函數(shù)部分的要求：了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單的函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法，列表法，解析法）表示函數(shù)；了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單的應(yīng)用；理解函數(shù)的單調(diào)性，最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)的奇偶性的含義；會應(yīng)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用等《考試說明》中也都有明確要求（詳見《考試說明》）．

二、理清知識系統(tǒng)，掌握知識間的內(nèi)在聯(lián)系

一般地應(yīng)從三個大部分來認識高中數(shù)學(xué)有關(guān)函數(shù)知識的立體結(jié)構(gòu)．

橫向：要掌握好分析函數(shù)性質(zhì)的六個方面，即函數(shù)的定義域；值域；單調(diào)性；奇偶性；周期性（一般在三角函數(shù)中提出這個問題）；函數(shù)的特殊值（例如指數(shù)函數(shù)都有x=0時y=1)．

對每個方面都要建立常規(guī)解法，例如求值域，就有畫圖象、利用單調(diào)性、或借助于以y表示x的“反表達式”、或換元或用求導(dǎo)數(shù)等基本方法，有時要兩種甚至數(shù)種方法并用．

例1 設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4 840 cm2，畫面的寬與高的比為λ(λ<1)，畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最?。咳绻恕?3，34，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最?。开?/p>

分析 證明S(λ)在區(qū)間23，34上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解 設(shè)畫面高為x cm，寬為λx cm，則λx2=4 840 cm2，設(shè)紙張面積為S cm2，

則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160，將x=2210λ代入上式得S=5 000+4410(8λ+5λ)，

當(dāng)8λ=5λ，即λ=58(58<1)時S取得最小值

此時高x=4840λ=88 cm，寬λx=58×88=55 cm

如果λ∈23，34，可設(shè)23≤λ1<λ2≤34，

則由S的表達式得S(λ1)－S(λ2)=4410(λ1－λ2)(8－5λ1λ2)

又λ1λ2≥23>58，故8－5λ1λ2>0．∴S(λ1)－S(λ2)<0，∴S(λ)在區(qū)間23，34內(nèi)單調(diào)遞增.從而對于λ∈23，34，當(dāng)λ=23時，S(λ)取得最小值．

答：畫面高為88 cm，寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈23，34，當(dāng)λ=23時，所用紙張面積最小.

縱向：高中所要掌握的函數(shù)分類：一是基本初等函數(shù)即冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、六種三角函數(shù)；二是簡單函數(shù)即由基本初等函數(shù)與常數(shù)的和、差、積（冪）、商構(gòu)成的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)，一次、二次有理函數(shù)等；三是由上述兩類函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)；四是由上述三類函數(shù)組成的分段函數(shù)．

立向：要掌握好函數(shù)圖象的畫法與變換，學(xué)好圖象知識也是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵之一，除了描點連線基本畫圖象的方法外，還有利用解析幾何知識、以及平移、對稱、伸縮等變換規(guī)律；要求熟悉基本初等函數(shù)的圖象，并用圖象來記憶一些需要記的基本初等函數(shù)的性質(zhì)；提高一步還可利用圖象來解決一些問題（數(shù)形結(jié)合）．

例2 對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(a－x)，

(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；(2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2－x)，且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和.

分析 把證明圖象對稱問題轉(zhuǎn)化到點的對稱問題.

(1)證明設(shè)(x0，y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點，則y0=f(x0)，

∵(2a－x0)+x02=a，∴點(x0，y0)與(2a－x0，y0)關(guān)于直線x=a對稱，

又f(x+a)=f(a－x)，∴f(2a－x0)=fa+(a－x0)=fa－(a－x0)=f(x0)=y0，

∴(2a－x0，y0)也在函數(shù)的圖象上，

故y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

(2)解由f(x+2)=f(2－x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

若x0是f(x)=0的根，則4－x0也是f(x)=0的根，

若x1是f(x)=0的根，則4－x1也是f(x)=0的根，∴x0+(4－x0)+x1+(4－x1)=8．

即f(x)=0的四根之和為8.

如果能從以上三維角度來理解函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，就能把紛繁龐雜的函數(shù)知識梳理得脈絡(luò)清楚，把握起來就更容易一些了．

三、函數(shù)復(fù)習(xí)要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法

函數(shù)這一部分重要的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程思想，分類討論思想，等價轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想．?dāng)?shù)學(xué)方法有：配方法，換元法，待定系數(shù)法，比較法等．

數(shù)學(xué)思想是以具體的知識為依托的，在復(fù)習(xí)過程中，要重視知識的形成過程，著重研究解題的思維過程，有意識的滲透思想方法，使我們從更高層次去領(lǐng)悟，去把握，去反思數(shù)學(xué)知識，增強數(shù)學(xué)意識，提高數(shù)學(xué)能力．

例3 已知函數(shù)f(x)=logmx－3x+3

(1)若f(x)的定義域為α，β，(β>α>0)，判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；(2)當(dāng)0α>0)是否存在？請說明理由.

分析 第(1)問中考生易忽視“α>3”這一關(guān)鍵隱性條件；第(2)問中轉(zhuǎn)化出的方程，不能認清其根的實質(zhì)特點，為兩個大于3的根.

解 （1）x－3x+3>0x<－3或x>3．∵f(x)定義域為α，β，∴α>3

設(shè)β≥x1>x2≥α，有x1－3x1+3－x2－3x2+3=6(x1－x2)(x1+3)(x2+3)>0．

當(dāng)01時，f(x)為增函數(shù)

（2）若f(x)在α，β上的值域為logmm(β－1)，logmm(α－1)

∵0

mβ2+(2m－1)β－3(m－1)=0mα2+(2m－1)α－3(m－1)=0，又β>α>3

即α，β為方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0的大于3的兩個根

∴00－2m－12m>3mf(3)>0∴0

故當(dāng)0

四、函數(shù)復(fù)習(xí)要重視幾類特殊函數(shù)（抽象函數(shù)，分段函數(shù)）

由于抽象函數(shù)沒有給出具體的解析式，所以理解研究起來比較困難，但是這類問題對培養(yǎng)觀察能力，有十分重要的作用，近幾年來高考無論是客觀題還是主觀題中都有涉及．在解決抽象函數(shù)問題時，聯(lián)想這個抽象函數(shù)與我們學(xué)過的什么函數(shù)近似？如fab=fa+fb(a>0，b>0)，可看作是fx=logax．再如fa+b=fa#8226;fb可看作fx=ax．這樣就把抽象問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題．特別是解填空題時，運算過程大為簡潔，準確性大大提高．

再則研究抽象函數(shù)性質(zhì)時（如證明周期函數(shù)時）一般采用“整體代換”的方法；判定奇偶性時，一般采用“賦值法”，求抽象函數(shù)值時，也可采用賦值法．

如：（2005廣東卷）設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上滿足f(2－x)=f(2+x)，f(7－x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0．（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

分段函數(shù)作為一種特殊函數(shù)，在高考中對其所具有的性質(zhì)的考查是目前的熱點之一.

如：（2005年浙江卷）對a，b∈R，記maxa，b=a a≥bb a

五、復(fù)習(xí)中還應(yīng)特別關(guān)注函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯一般有：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值問題的交匯；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性問題的交匯；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象切線問題的交匯；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)不等式證明問題的交匯；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)建模問題的交匯等．

例4 （通州市2009屆高三第二次調(diào)研測試）已知函數(shù)y=f(x)=ln xx.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的圖像在x=1e處的切線方程；（Ⅱ）求y=f(x)的最大值；

(Ⅲ)設(shè)實數(shù)a>0，求函數(shù)F(x)=af(x)在a，2a上的最小值.

分析:這是一道典型導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值問題的交匯問題．設(shè)y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f(x)在某點取得極值的充要條件是該點的導(dǎo)數(shù)為零或不存在且該點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號；定義在閉區(qū)間上的初等函數(shù)必存在最值，它只能在區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的極值點取得．高考常結(jié)合求函數(shù)極值(最值)、參數(shù)取值范圍、解決數(shù)學(xué)應(yīng)用等問題考查導(dǎo)數(shù)最值性質(zhì)在函數(shù)問題中的應(yīng)用．

解：（Ⅰ）∵f(x)定義域為0，+∞，∴f′(x)=1-ln xx2．∵f(1e)=－e，

又∵k=f′(1e)=2e2，∴函數(shù)y=f(x)的在x=1e處的切線方程為：y+e=2e2(x－1e)，即y=2e2x－3e．

（Ⅱ）令f′(x)=0得x=e．∵當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上為增函數(shù)；當(dāng)x∈(e，+∞)時，f′(x)<0，在(e，+∞)上為減函數(shù)．∴fmax(x)=f(e)=1e．

（Ⅲ）∵a>0，由（Ⅱ）知：F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減．∴F(x)在a，2a上的最小值fmin(x)=min{F(a)，F(xiàn)(2a)}．∵F(a)－F(2a)=12ln a2．∴①當(dāng)00，fmin(x)=F(2a)=12ln 2a．

函數(shù)復(fù)習(xí)關(guān)鍵在悟，復(fù)習(xí)中要跟緊老師節(jié)奏，體會老師思路，與老師的復(fù)習(xí)思想產(chǎn)生共鳴.