導數(shù)——數(shù)學解題的“銳利武器”

導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內容，是解決函數(shù)問題的重要工具，而不等式、方程、三角和數(shù)列等與函數(shù)又有著千絲萬縷的聯(lián)系，在處理與它們有關的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質，因此，很多時侯可以利用導數(shù)作為工具來研究函數(shù)性質，從而解決與之有關的問題.因此導數(shù)在解決這些問題時具有很強的優(yōu)越性，同時也是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具.運用導數(shù)的有關知識先研究相關函數(shù)的性質（如單調性、極值和最值等），從而為其他數(shù)學問題的解決提供了一個“銳利”的武器.

下面具體討論導數(shù)在解決這些相關的問題時的作用.

一、直接利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的問題

（1）利用導數(shù)求曲線上某點處的切線問題

例1 設函數(shù)f(x)=ax－bx，曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12=0.（Ⅰ）求y=f(x)的解析式；（Ⅱ）證明：曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

析：利用導數(shù)的幾何意義是某點處切線的斜率及切點在曲線上易求得a，b的值；然后設出切點，求出切線，計算圍成的圖形面積與切點無關即可.

解：（Ⅰ）f′(x)=a+bx2，當x=2時，y=12．

于是2a－b2=12，a+b4=74，解得a=1，b=3.故f(x)=x－3x．

（Ⅱ）設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′=1+3x2知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為

y－y0=1+3x20(x－x0)，即y－x0－3x0=1+3x20(x－x0)．

令x=0得y=－6x0，從而得切線與直線x=0的交點坐標為0，－6x0．

令y=x得y=x=2x0，從而得切線與直線y=x的交點坐標為(2x0，2x0)．

所以點P(x0，y0)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

12－6x02x0=6．故定值為6．

練習：曲線y=1x和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是 .（答案：34）

（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，極值、最值等問題

例2 已知函數(shù)f(x)=－x3+3x2+9x+a.

（Ⅰ）求f(x)的單調減區(qū)間；

（Ⅱ）若f(x)在區(qū)間［－2，2］上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

析：求單調減區(qū)間只要求出導函數(shù)小于0的解集即可；根據(jù)（1）可畫出f(x)的示意圖，從而可判斷最大值必在f(2)或f－2取得，比較可知，從而求得a的值，然后進一步可求最小值.

解：（Ⅰ）f′(x)=－3x2+6x+9.令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，

所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，+∞).

（Ⅱ）因為f(－2)=8+12－18+a=2+a，

f(2)=－8+12+18+a=22+a，所以f(2)>f(－2).

數(shù)形結合可得22+a=20，解得a=－2.

故f(x)=－x3+3x2+9x－2.因此f(－1)=1+3－9－2=－7.

即函數(shù)f(x)在區(qū)間［－2，2］上的最小值為－7.

點評：以上兩例都是僅局限于利用導數(shù)解決函數(shù)內部的有關問題，這也是導數(shù)最基本、最簡單的應用.高考對于數(shù)學本質的東西也是很關注的，在試題不斷追求創(chuàng)新的今天，回歸數(shù)學本色也是數(shù)學命題的一個趨勢.

練習：f(x)=x3－3x2+2在區(qū)間－1，1上的最大值是 .（答案：2）

二、利用導數(shù)解決與之相關的三角、數(shù)列、不等式、向量等問題

（1）導數(shù)與三角函數(shù)的結合考查

例3 設f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2009(x)＝ .

析：由題意欲求f2009(x)，要么求出fn(x)的解析式，要么值呈現(xiàn)一定的周期性，而前者是不可能的，故只要依次求導數(shù)，找出其周期即可.

解：f0(x)=sin x，f1(x)=f′0(x)=cos x，f2(x)=f′1(x)=－sin x

f3(x)=f′2(x)=－cos x，f4(x)=f′3(x)=sin x，…….

由此繼續(xù)求導下去，四個一循環(huán)，又2009÷4=502…余1，所以f2009(x)=f′1(x)=cos x.

點評：本題主要考查正余弦的導數(shù)問題，以及相關函數(shù)同期性變化及求值問題.求出周期為4是解決問題的關鍵.

練習：函數(shù)f(x)=1－xsin x在x=x0處取得極值，則(1+x20)1+cos 2x0= .(答案：2)

（2）導數(shù)與不等式結合考查

例4 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=12x2+2ax，g(x)=3a2ln x+b，其中a>0．設兩曲線y=f(x)，y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同．

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求證：f(x)≥g(x)（x>0）．

析：由兩個函數(shù)在公共點處的切線相同可知兩函數(shù)該點處的導數(shù)的值相同，可求a，b的關系式；對于（2）只要證明h(x)=f(x)－g(x)的最小值大于0即可.

解：（Ⅰ）設y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(x0，y0)處的切線相同．

∵f′(x)=x+2a，g′(x)=3a2x，由題意f(x0)=g(x0)，f′(x0)=g′(x0)．

即12x20+2ax0=3a2ln x0+b，x0+2a=3a2x0，由x0+2a=3a2x0得：x0=a，或x0=－3a（舍去）．

即有b=12a2+2a2－3a2ln a=52a2－3a2ln a．

令h(t)=52t2－3t2ln t(t>0)，則h′(t)=2t(1－3ln t)．于是

故h(t)在0，e13為增函數(shù)，在e13，+∞為減函數(shù)，

于是h(t)在(0，+∞)的最大值為he13=32e23．

（Ⅱ）設F(x)=f(x)－g(x)=12x2+2ax－3a2ln x－b(x>0)，

則F′(x)=x+2a－3a2x=(x－a)(x+3a)x(x>0)．

故F(x)在(0，a)為減函數(shù)，在(a，+∞)為增函數(shù).

于是函數(shù)F(x)在(0，+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)－g(x0)=0．

故當x>0時，有f(x)－g(x)≥0，即當x>0時，f(x)≥g(x)．

點評：本題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識.本題不僅考查用導數(shù)解決函數(shù)的單調性這一基本問題.還有一個亮點是構造函數(shù)利用導數(shù)證明不等式，這種新的題型要引起同學們足夠的重視.

（3）導數(shù)與數(shù)列結合考查

例5 數(shù)列an的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，a2n成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列an的通項公式；

（2）正數(shù)數(shù)列cn中，an+1=cnn+1，(n∈N*)．求數(shù)列cn中的最大項．

析：對于（2）可先通過枚舉猜想數(shù)列cn的特征，然后再證明，證明時先兩邊取對數(shù)得ln cn=ln n+1n+1，然后再證明函數(shù)fx=ln xx的單調性即可.

解：（1）∵對于n∈N*，總有2Sn=an+a2n成立

∴2Sn－1=an－1+a2n－1(n≥2)相減得2an=an+a2n－an－1－a2n－1，

∴an+an－1=an+an－1an－an－1，∵an，an－1均為正數(shù)，∴an－an－1=1(n≥2)

∴數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列.又n=1時，，解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）

（2）由已知a2=c21=2c1=2，

a3=c32=3c2=33，a4=c43=4c3=44=2，a5=c54=5c4=55

易得 c1c3>c4>...猜想n≥2時，cn是遞減數(shù)列．

令fx=ln xx，則f′x=1x#8226;x－ln xx2=1－ln xx2

∵當x≥3時，ln x>1，則1－ln x<0，即f′x<0.∴在3，+∞內fx為單調遞減函數(shù)．

由an+1=cn+1n知ln cn=ln n+1n+1．∴n≥2時，ln cn是遞減數(shù)列．即cn是遞減數(shù)列．

又c1

點評：本題的第二小問巧妙地利用兩邊取對數(shù)這樣的技巧將求數(shù)列的最大項問題轉化為求函數(shù)的單調性問題，這種解題技巧在解題時要注意體會.

練習：對正整數(shù)n，設曲線y=xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列{ann+1}的前n項和的公式是 .（答案：2n+1－2）

三、解決生活中的實際問題

例6 （2008江蘇卷17）．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B及CD的中點P處，已知AB=20 km，CB=10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為y km．

（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關系式：

①設∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關系式；

②設OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù)關系式．

（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

析：因為設問已經(jīng)將思路設定好，一個是設輔助角，一個是設長度，所以只要細心審題，按題意處理即可，對于（2）是求最值問題，可聯(lián)想導數(shù)進行解決.

解：（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，則OA=AQcos θ=10cos θ，故

OB=10cos θ，又OP＝10－10tan θ，

所以y=OA+OB+OP=10cos θ+10cos θ+10－10tan θ，

所求函數(shù)關系式為

y=20－10sin θcos θ+100<θ<π4

②若OP=x (km)，則OQ＝10－x，所以OA=OB=10－x2+102=x2－20x+200

所求函數(shù)關系式為y=x+2x2－20x+2000

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，y′=－10cos θ#8226;cos θ－20－10sin θ－sin θcos2 θ=102sin θ－1cos2 θ

令y′=0得sin θ=12，因為0<θ<π4，所以θ=π6，

當θ∈0，π6時，y′<0，y是θ的減函數(shù)；當θ∈π6，π4時，y′>0，y是θ的增函數(shù)，所以當θ=π6時，ymin=10+103.這時點P位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊1033km處.

點評：建立函數(shù)模型，用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題是歷年高考的一大熱點，對數(shù)學應用意識的考查是高考數(shù)學命題的一個重要方面，要求學生能夠運用所學的數(shù)學知識、思想和方法，構造數(shù)學模型，將實際問題轉化成數(shù)學問題，以及轉化以后如何綜合運用學科內知識解決數(shù)學問題.

練習：如圖所示的等腰梯形是一個簡易水槽的橫斷面，已知水槽的最大流量與橫斷面的面積成正比，比例系數(shù)為k(k>0).

（Ⅰ）試將水槽的最大流量表示成關于θ的函數(shù)f(θ)；

（Ⅱ）求當θ多大時，水槽的最大流量最大.

答案：（1）f(θ)=ka2(1+cos θ)sin θ，其中0<θ<90.

（2）當θ=60時水槽的流量最大.

導數(shù)以其豐富的思想內涵和廣泛的應用性，已成為高中數(shù)學的重要的內容，而它強大的知識交匯功能也會引發(fā)許多新穎的數(shù)學問題，與高考注重創(chuàng)新、開放、探究性的命題意圖不謀而合.同時也為一些數(shù)學問題（特別是綜合問題）拓寬了解題思路，優(yōu)化了解題方法，在高考復習中，我們要牢牢把握、領悟導數(shù)的思想內涵，突出導數(shù)在解題過程中的“武器”作用.