二次問題的解題策略

在江蘇省高考考試說明中，已經(jīng)將一元二次不等式內(nèi)容列為C級(jí)要求，而在高中數(shù)學(xué)中，一元二次不等式、一元二次函數(shù)與一元二次方程被統(tǒng)稱為二次問題.本文就以近年的高考試題為例，談?wù)劷鉀Q二次問題的一般方法.

1.基本方法——直接求解，化歸為求解方程法

例1 （2006年高考全國卷（Ⅱ）文科第21題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ax2－2x－2a，若f(x)>0的解集為A，B={x|1

解：由f（x）為二次函數(shù)知a≠0，令f（x）＝0解得其兩根為x1=1a－2+1a2，x2=1a+2+1a2，由此可知x1<0，x2>0.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，A={x|xx2}A∩B≠的充要條件是x2<3，

即1a+2+1a2<3解得a>67.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，A={x|x11，

即1a+2+1a2>1解得a<－2.

綜上，使A∩B≠成立的a的取值范圍為(－∞，－2)∪(67，+∞).

點(diǎn)評(píng)：這條題目的要求與常見到的恒成立的問題并不相同，它是一個(gè)不等式能成立的問題.即只要集合A、B的交集不是空集就可以了.

2.常用方法——變量分離，化歸為函數(shù)最值法

例2 (2005年高考山東卷理科第19題)已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3－3(m+1)x2+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m，n∈R，m<0，當(dāng)x∈－1，1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

解：由已知f′(1)=0，得n=3m+6，f′(x)>3m，即mx2－2(m+1)x+2>0恒成立.

又m<0所以x2－2m(m+1)x+2m<0，x∈－1，1①

設(shè)g(x)=x2－2(1+1m)x+2m，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，

所以g(－1)<0g(1)<01+2+2m+2m<0－1<0解之得－43

即m的取值范圍為－43，0.

點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題，要看開口方向，對(duì)稱軸在該區(qū)間的相對(duì)位置，即對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、右側(cè)、區(qū)間內(nèi)，故而引起分類討論.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值和最小值，它們分別在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，這類問題可以融分類討論、參數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法于一題之中，有利于考查綜合運(yùn)用知識(shí)的化歸能力，它是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

例3 (2002年高考江蘇卷第22題)已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2．

（1）當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2b；

（2）當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2b；

證明：因?yàn)閒(0)=0，所以以下可假設(shè)x≠0.

（1）由f（x）≤1恒成立，即bx2－ax+1≥0對(duì)任意x∈R恒成立.

∴Δ=a2-4b≤0.

又∵a＞0，b＞0，

所以a≤2b.

（2）|f(x)|≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax－bx2≤1，對(duì)任意x∈［0，1］恒成立.

－1≤ax－bx2≤1－1x≤a－bx≤1x－1x+bx≤a≤1x+bx，

則(－1x+bx)max≤a≤(1x+bx)min在x∈(0，1］上恒成立.

當(dāng)b＞1時(shí)，由于函數(shù)y=bx－1x在區(qū)間x∈(0，1］上單調(diào)遞增，

所以(－1x+bx)max=b－1，則b－1≤a成立.

∵1x+bx≥2b，當(dāng)且僅當(dāng)x=1b時(shí)不等式取等號(hào)，

因?yàn)閎>1，所以0<1b<1，即函數(shù)y=1x+bx在區(qū)間x∈(0，1］上的最小值是2b.

則a≤2b成立.

綜上：得其充要條件為b－1≤a≤2b.

點(diǎn)評(píng)：有些涉及幾個(gè)元素范圍討論的綜合題，由于幾個(gè)變量都在變化，從而相互影響，相互制約.若盲目試驗(yàn)，常導(dǎo)致結(jié)果越來越多，思路越來越亂，使問題難以討論清楚.若把多元相關(guān)的式子進(jìn)行變量的分離，等價(jià)化歸為簡單的，特征明顯的問題來解決，將會(huì)柳暗花明.

3.簡捷方法——數(shù)形結(jié)合，化歸為根的分布法

例4 (2006年高考浙江卷理科第16題)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0，求證：方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

證明：因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0，所以c>0，3a+2b+c>0.

由條件a+b+c=0，消去b，得a>c>0；

由條件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0.故－2

而拋物線f(x)=3ax2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－b3a，3ac－b23a)，

在－2



又因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0，而f(－b3a)=－a2+c2－ac3a<0，

所以方程f(x)=0在區(qū)間(0，－b3a)與(－b3a，1)內(nèi)分別有一實(shí)根.

故方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

點(diǎn)評(píng)：二次方程的實(shí)根分布問題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題.實(shí)根分布的判別方法主要有：①判別式Δ的符號(hào)；②對(duì)稱軸的相對(duì)位置；③特定點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)等.常常是利用與已知的二次方程相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象確定實(shí)根的分布.

4.有效方法——抓住特征，化歸為巧妙賦值法

例5 （2006高考重慶卷文科第21題）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)=x0，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.

解：因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有ff(x)－x2+x=f(x)－x2+x.

又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)=x0，

所以對(duì)任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0.

在上式中令x=x0，所以x0－x20=0，故x0=0或x0=1.

若x0=0，則f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2－x，

但方程x2－x=x有兩不等實(shí)根，與題目設(shè)條件矛盾.

所以x0=1，則f(x)－x2+x=1，即f(x)=x2－x+1.

經(jīng)驗(yàn)證此函數(shù)符合題設(shè)條件.

綜上，所求函數(shù)為f(x)=x2－x+1.

點(diǎn)評(píng)：令x=x0是本題的關(guān)鍵，使得本題的思路豁然開朗.可以看到，通過巧妙賦值，使問題數(shù)值化，簡單化，特殊化，從而能起到事半功倍的功效.

例6 （1996年高考理科第25題）已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，│f(x)│≤1．證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，│g(x)│≤2；

證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(0)，f(1)，f(－1)有意義，則|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1

由f(1)=a+b+c，f(－1)=a－b+c，f(0)=c

可得a=f(1)+f(－1)2－f(0)，b=f(1)－f(－1)2，c=f(0)，則

|g(x)|=|ax+b|=|［f(1)+f(－1)2－f(0)］x+f(1)－f(－1)2|

=|x+12f(1)+x－12f(－1)－xf(0)|

≤|x+12‖f(1)|+|x－12‖f(－1)|+|x‖f(0)|

≤|x+12|+|x－12|+|x|=x+12－x－12+|x|

≤1+1=2

點(diǎn)評(píng)：將二次函數(shù)的系數(shù)a，b，c用閉區(qū)間上的三個(gè)函數(shù)值（一般用區(qū)間端點(diǎn)、中點(diǎn)函數(shù)值）來表示，進(jìn)而構(gòu)造出有關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不等式。這樣就為題設(shè)中有“對(duì)某區(qū)間上一切變量都有某條件成立”的不等式綜合題提供了簡單有效且易操作的方法。

5.特殊方法——轉(zhuǎn)換角色，化歸為一次函數(shù)法

例6 (2006年高考四川卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax－1，g(x)=f′(x)－ax－5，其中f′(x)是的f(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，求實(shí)數(shù)ｘ的取值范圍.

解：由題意gx=3x2－ax+3a－5令φ(a)=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1.

對(duì)－1≤a≤1，恒有g(shù)x<0，即φa<0.

∴φ1<0，φ－1<0，即3x2－x－2<0，3x2+x－8<0.解得－23<x<1.

故x∈－23，1時(shí)，對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)x<0.

點(diǎn)評(píng)：利用主元與參數(shù)的關(guān)系，視參數(shù)為主元，往往能出奇制勝.即利用主元思想轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題.

總之，二次問題是一個(gè)綜合性問題，一般是以二次函數(shù)為中心，借助于二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)把方程與不等式聯(lián)系起來，構(gòu)成知識(shí)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而且這三個(gè)“二次”也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.所以一定要在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，認(rèn)真進(jìn)行解題策略的總結(jié)歸納.