一道習(xí)題的錯(cuò)解分析

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不清，知識(shí)缺陷，考慮不周、計(jì)算出錯(cuò)或語言表述不規(guī)范等等，難免會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即解數(shù)學(xué)題時(shí)，不能保證一次性正確和完善.所以解題后，必須對解題過程進(jìn)行回顧和評價(jià)，對結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.從而培養(yǎng)思維的批判性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

有這樣一條流行甚廣的習(xí)題：

例 已知y=f(x)=－x3+ax2+b(a，b∈R)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于1，求a的取值范圍.

錯(cuò)解 利用方程思想，采用雙判別式的方法得到如下解題過程：

設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點(diǎn)

則kAB=f(x2)－f(x1)x2－x1=(－x32+ax2+b)－(－x31+ax21+b)x2－x1=(x1－x2)(x21+x22+x1x2－ax1－ax2)x2－x1=－x21－x22－x1x2+ax1+ax2<1這樣，原題可化歸為：

a(x1+x2)－(x1+x2)2+x1x2<1（*）對任意的x1，x2∈R，求a的取值范圍.

由于x21+(x2－a)x1+x22－ax2+1>0對任意的x1∈R恒成立，

則Δ1=(x2－a)2－4(x22－ax2+1)<0，

即3x22－2ax2－a2+4>0對任意的x2∈R恒成立，

則Δ2=(－2a)2－4#8226;3#8226;(－a2+4)<0，

求得－3

值得注意的是，許多復(fù)習(xí)資料上的參考答案也是這樣的，乍一看來，以上解法似乎無懈可擊啊！

錯(cuò)解分析：如果我們?nèi)绻《它c(diǎn)值a=3，代入進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)3（x1+x2）-(x1+x2)2+x1x2-1=-\\33)2+(x2-33)2+(x1-33)(x2-33)\\〗=-\\33)+12(x2-33)\\〗2+34(x2-33)2≤0當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=33時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)a=3時(shí)，（*）式成立.是符合題意的，顯然原解法縮小了范圍，是錯(cuò)誤的.發(fā)現(xiàn)了問題就要認(rèn)真尋找錯(cuò)誤原因，及時(shí)修正進(jìn)行自我完善，提高理性認(rèn)識(shí).那么錯(cuò)在哪里呢？不妨先換一種解題思路試試看，含參數(shù)的恒成立問題一般可以進(jìn)行變量分離.

正解1：（1）當(dāng)x1+x2=0時(shí)，0<1－x1x2，即0<1+x21恒成立.

（2）當(dāng)x1+x2>0時(shí)，變形得a<1+(x1+x2)2－x1x2x1+x2恒成立.

f(x1，x2)=1+(x1+x2)2－x1x2x1+x2>1+(x1+x2)2－(x1+x22)2x1+x2=1+34(x1+x2)2x1+x2

=1x1+x2+34#8226;(x1+x2)≥3.

所以a≤3.

（3）當(dāng)x1+x2<0時(shí)，變形得a>1+(x1+x2)2－x1x2x1+x2恒成立.

f(x1，x2)=1+(x1+x2)2－x1x2x1+x2<1+(x1+x2)2－(x1+x22)2x1+x2=1+34(x1+x2)2x1+x2

=1x1+x2+34#8226;(x1+x2)≤－3，

所以a≥－3.

綜上所述：－3≤a≤3.

在變量分離的正解1中，由于利用了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化是等價(jià)的，結(jié)論是可靠的.而錯(cuò)解中進(jìn)行式子變形時(shí)，約去了因式x1－x2，所以（*）式應(yīng)是x21+(x2－a)x1+x22－ax2+1>0應(yīng)該是對所有x1∈R，且x1≠x2，恒成立.

由圖可知：要分兩種情況進(jìn)行討論

正解2：（1）Δ1=(x2－a)2－4(x22－ax2+1)<0，

（2）Δ1=0且－x2－a2=x1=x2，則a=±3

綜上－3≤a≤3.

做完一道題，不僅要驗(yàn)證解題過程的正確性，還要重新審視題目的條件和結(jié)論，盡可能去尋找到一題多解的途徑.

正解3：在錯(cuò)解中，把不等式看成是求二元函數(shù)g(x1，x2)=a(x1+x2)－(x1+x2)2+x1x2的范圍，利用不等式得到如下解法：

即a(x1+x2)－(x1+x2)2+x1x2≤a(x1+x2)－34(x1+x2)2（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取等號(hào)）

而a(x1+x2)－34(x1+x2)2=－34［(x1+x2)－2a3］2+a23≤a23（當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=2a3時(shí)取等號(hào)）

因?yàn)閤1≠x2，所以g(x1，x2)

即－3≤a≤3.

正解4：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與數(shù)形結(jié)合思想得到如下簡捷的解法：因?yàn)閳D像上任意不同兩點(diǎn)的連線經(jīng)過平移可得到三次函數(shù)的一條切線，而以函數(shù)圖像的對稱中心(a3，f(a3))為切點(diǎn)的切線無論如何平移都只能與圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以則可對三次函數(shù)f(x)=－x3+ax2+b求導(dǎo).

得f′(x)=－3x2+2ax<1，則3x2－2ax+1>0對所有x≠a3的實(shí)數(shù)恒成立，（1）Δ=4a2－12<0，即－3<a<3，

（2）Δ=0且對稱軸x=a3，則a=±3.

綜上：－3≤a≤3.

這樣，通過一題多解，不僅使題目得到完美的解決，而且，使知識(shí)的聯(lián)系更加密切，達(dá)到了靈活運(yùn)用、融會(huì)貫通的目的.進(jìn)而培養(yǎng)思維的靈活性與發(fā)散性.