導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)“四步曲”

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，作為應(yīng)用性知識單元，導(dǎo)數(shù)主要用來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.從考查形式來看，高考中常會以填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的基本概念、運算和簡單應(yīng)用，以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用.

09年江蘇高考對導(dǎo)數(shù)的要求是近幾年中較低的一年，以兩個填空題對導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間進行了考查.其中第3題“函數(shù)f(x)=x³－15x²－33x+6的單調(diào)減區(qū)間為 .”；第9題“在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在曲線C:y=x³－10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)為 .”這兩題與同學(xué)們的知識水平相比都是容易題.盡管如此，對于本屆高三而言，在復(fù)習(xí)迎考過程中絕不可掉以輕心，高考命題一般會采用“回避”與“循環(huán)”原則，即在命題形式和重點上盡可能回避前兩年的熱點，而且往往3年為一個循環(huán).因此，在2010年的高考中出現(xiàn)以導(dǎo)數(shù)為載體的綜合性解答題的可能性很大.建議同學(xué)們在高三第一輪復(fù)習(xí)過程中就做好近幾年高考試題的比較與分析，以求提高復(fù)習(xí)的針對性和有效性.對于導(dǎo)數(shù)部分的復(fù)習(xí)筆者建議同學(xué)們按照以下四個步驟.

1.立足基礎(chǔ)、回歸本質(zhì)

對數(shù)學(xué)本質(zhì)的忽略是造成同學(xué)們解題障礙的重要原因之一.許多同學(xué)對導(dǎo)數(shù)的物理背景與幾何本質(zhì)的理解不夠深入，當(dāng)遇到由定義引發(fā)的基礎(chǔ)題時反而會束手無策.如導(dǎo)數(shù)的切線定義是解題過程中（特別是采用“數(shù)形結(jié)合“思想時）較為常用的方法，同學(xué)們要深入理解其運動變化與極限思想，即“直線與曲線有兩個交點（割線）→兩交點無限接近→交點合一（切點）→切線”.從數(shù)學(xué)定義或是數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，同學(xué)們就不難知道“直線與曲線只有一個公共點是直線與曲線相切的既不充分也不必要條件”（請同學(xué)們借助圖形予以說明）.

2.簡單應(yīng)用、規(guī)范表述

導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用對同學(xué)們來說是較為熟練的.在應(yīng)用過程中，同學(xué)們必須遵循合理的思維路徑：“對于函數(shù)f(x)，f′(x)的正負→單調(diào)區(qū)間→極值（增減區(qū)間的交匯處）→最值（給定區(qū)間）”，規(guī)范合理的思維邏輯既可以幫助同學(xué)們在解題時不會因表述不規(guī)范而失分，同時，可以避免一些常見的錯誤.例如，極值的產(chǎn)生源自單調(diào)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，若跳過單調(diào)區(qū)間的判斷，直接由f′(x0)=0得出結(jié)論“x0，f(x0)為極值點”就會出現(xiàn)錯誤.再如，函數(shù)在某一區(qū)間上遞增，其導(dǎo)數(shù)可能在一些離散的點上等于零（如區(qū)間的端點），如果忽略這一點，就有可能會漏解.請同學(xué)們完成下面兩題，

(1)函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極小值10，則a+b= .

（答案：-7）

(2)函數(shù)f(x)=x²+ax(x≠0，a∈R)在2，+∞上是增函數(shù)，則a的取值范圍為 .

（答案：(-∞，16\\〗）

3.積極反思、查漏補缺

學(xué)習(xí)反思和查漏補缺往往被認為是高三二輪復(fù)習(xí)之后的事情，這種想法是錯誤的.查漏補缺必須與一輪復(fù)習(xí)同步進行，同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中要注意積累與整理，否則很難實現(xiàn)高三復(fù)習(xí)階段數(shù)學(xué)能力的提升.在導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)過程中，要反思的就是前文所講的基礎(chǔ)知識與基本應(yīng)用，要查補的就是平時學(xué)習(xí)中的易錯點和盲點.限于篇幅，下面給出6個問題，供同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中對照、思考：

（1）導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義你知道嗎？

（2）導(dǎo)數(shù)公式及運算法則都掌握了嗎？

（3）求導(dǎo)之后你注意到原函數(shù)的定義域了嗎？

（4）求解極值或最值時，你關(guān)注解題規(guī)范了嗎？

（5）你在解題時會重視圖形分析的重要意義嗎？

（6）導(dǎo)數(shù)證明的兩個重要不等關(guān)系你了解嗎？

ln x≤x－1對x>0恒成立；ex≥x+1對x∈R恒成立.

4.知識融合、提升能力

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用主要是與函數(shù)、不等式的整合，此類題目重在檢測同學(xué)們分析問題的能力，但其立足點與出發(fā)點仍是導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)與應(yīng)用，無非是切線問題、單調(diào)性和最值問題.在復(fù)習(xí)過程中同學(xué)們要循序漸進，對平時所遇到的各類綜合題做好回顧、總結(jié)與反思，特別是要關(guān)注導(dǎo)數(shù)與“不等式恒成立問題”的結(jié)合，以及“數(shù)形結(jié)合思想”、“分類討論思想”的應(yīng)用.提供下面兩個題目，以期同學(xué)們有所感悟！

例1 已知f(x)=xln x，g(x)=－x²+ax－3.

(1)求函數(shù)f(x)在［t，t+2］(t>0)上的最小值；

(2)對一切x∈(0，+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明對一切x∈(0，+∞)，都有ln x>1ex－2ex成立.

【解析】(1)f′(x)=ln x+1，當(dāng)x∈(0，1e)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1e，+∞)，f(x)單調(diào)遞增.

①0

②0

③1e≤t

所以f(x)min=－1e，0

(2)2xln x≥－x²+ax－3，則a≤2ln x+x+3x，

設(shè)h(x)=2ln x+x+3x(x>0)，則h′(x)=(x+3)(x－1)x²，

x∈(0，1)，h(x)單調(diào)遞增；x∈(1，+∞)，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)min=h(1)=4，

因為對一切x∈(0，+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min=4.

(3)問題等價于證明xln x>xex－2e(x∈(0，+∞))，

由⑴可知f(x)=xln x(x∈(0，+∞))的最小值是－1e，當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時取到，

設(shè)m(x)=xex－2e(x∈(0，+∞))，則m′(x)=1－xex，

易得m(x)max=m(1)=－1e，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到，

從而對一切x∈(0，+∞)，都有ln x>1ex－2ex成立.

例2 （蘇州市2009屆高三調(diào)研測試）已知函數(shù)fx=aln x－bx²圖象上一點P2，f(2)處的切線方程為y=－3x+2ln 2+2．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若方程fx+m=0在［1e，e］內(nèi)有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底，e≈2.7）；

【分析】本題給出的已知條件清晰易懂，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)很容易解決第（Ⅰ）問．第（Ⅱ）問雖然含有參數(shù)，但稍加分析便知，借助函數(shù)圖形，通過函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的研究，即可獲解（除了解答中給出的解法，同學(xué)們也可嘗試采用“變量分離”的方法）．

【解答】（Ⅰ）f′x=ax－2bx，f′2=a2－4b，f2=aln 2－4b．

∴a2－4b=－3，且aln 2－4b=－6+2ln 2+2，解得a＝2，b＝1．

（Ⅱ）fx=2ln x－x²，令hx=f(x)+m=2ln x－x²+m，

則h′x=2x－2x=2(1－x²)x，令h′x=0，得x＝1（x＝－1舍去）．

當(dāng)x∈［1e，1)時，h′x>0，h(x)是單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，e］時，h′x<0，h(x)是單調(diào)遞減．

故方程hx=0在［1e，e］內(nèi)有兩個不等實根的充要條件為h(1e)≤0，h(1)>0，h(e)≤0.解得12．

（Ⅲ）gx=2ln x－x²－nx，g′x=2x－2x－n．

假設(shè)結(jié)論成立，則有2ln x1－x1－nx1=0，①2ln x2－x2－nx2=0，②x1+x2=2x0，③2x0－2x0－n=0.④

①－②得2ln x1x2－(x²1－x²2)－n(x1－x2)=0，故n=2ln x1x2x1－x2－2x0．

而由④可得n=2x0－2x0，所以ln x1x2x1－x2=1x0=2x1+x2，即有ln x1x2=2x1x2－2x1x2+1．⑤

令t=x1x2，u(t)=ln t－2t－2t+1（0＜t＜1)，則u′(t)=(t－1)²t(t+1)²＞0．∴u(t)在0＜t＜1上增函數(shù)．

u(t)在(0，1］上連續(xù)，u(t)

數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)是有規(guī)律可循的，以上導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)“四步曲”供同學(xué)們參考，也希望對其他知識單元的復(fù)習(xí)有一定的借鑒作用.在復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們要努力形成自己對解題策略和數(shù)學(xué)思想的理解與感悟，不斷提升分析問題與解決問題的能力，成為一名有數(shù)學(xué)思想的學(xué)生！