猜想在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用

摘 要： 猜想以舊的知識作為基礎(chǔ)，根據(jù)題設(shè)和結(jié)論的特點，對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理，然后在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想新的結(jié)果，最后檢驗猜想。猜想常見的有通過類比猜想、歸納猜想、取“極限”猜想等。猜想是學習中學數(shù)學的一條捷徑，在中學數(shù)學中有極其重要的作用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學猜想 結(jié)合教材 培養(yǎng)

大科學家牛頓曾經(jīng)說過：“沒有大膽的猜想，就作不出大膽的發(fā)現(xiàn)?！笨v觀數(shù)學發(fā)展史，可以說，沒有猜想就沒有數(shù)學，更沒有數(shù)學的發(fā)展。因此我們在數(shù)學教學中應(yīng)結(jié)合教材，重視培養(yǎng)學生數(shù)學猜想的能力，使學生學習方式的轉(zhuǎn)變得到落實。那么如何結(jié)合教材進行數(shù)學猜想呢？下面筆者就結(jié)合教學實踐來談一談在這方面的認識。

一、介紹數(shù)學猜想，培養(yǎng)學生的學習興趣

猜想以舊的知識作基礎(chǔ)，推測猜想新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。在中學數(shù)學中，如通過空間與平面、向量與數(shù)、無限與有限、不等與相等的類比，可以從熟悉的知識（平面、數(shù)、有限、相等）中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以研究的問題及研究方法。猜想思維過程一般為：具體問題→推理→聯(lián)想→形成一般命題→結(jié)論的猜想→證明。為了幫助學生了解數(shù)學猜想，教師可以通過課外活動、數(shù)學講座等各種途徑有意識地訓練學生的觀察、表達、類推、歸納、分析、綜合等能力，介紹數(shù)學猜想及其成果；可以結(jié)合數(shù)學史向?qū)W生介紹一些著名的猜想，如哥得巴赫猜想、歐拉猜想，介紹數(shù)學家們?yōu)楣タ瞬孪胨冻龅木薮笈瞳I身精神，從而激發(fā)學生學習數(shù)學猜想的興趣。

二、借助不同方法提出猜想

數(shù)學猜想雖然不像邏輯推理那樣嚴密，但科學的猜想并不是漫無目的的胡猜瞎碰，應(yīng)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論的特點，對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理，然后在此基礎(chǔ)上提出有規(guī)律性的結(jié)論即猜想，最后檢驗猜想。數(shù)學猜想在現(xiàn)行中學數(shù)學教材經(jīng)常以“議一議”、“你發(fā)現(xiàn)了什么”、“猜一猜”等形式出現(xiàn)，教材中的很多性質(zhì)、公式都是這樣“猜”出來的。數(shù)學猜想的方法較多，下面結(jié)合現(xiàn)行中學數(shù)學教材介紹幾種較常用的猜想方法。

1.通過歸納提出猜想

在學習過程中我們經(jīng)常會遇到一些一時無法解決的問題，這時我們可先將其特殊化，即通過觀察問題的特例，找出這些特例的共性，根據(jù)這個共性去猜想原問題應(yīng)具有的性質(zhì)或結(jié)論。

例如北師大版教材選修2—2第四頁例2：如果面積是一定的，什么樣的平面圖形周長最小，試猜測結(jié)論。

解：考慮單位面積的正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形，它們的周長分別記作P3、P4、P6、P8，可得下表：

歸納上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：面積一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，周長越小。于是得到猜想：圖形面積一定，圓的周長最小。

2.通過類比提出猜想

當兩個問題在某些方面，如條件、結(jié)構(gòu)相似時，我們可以由其中的一個問題已知的屬性去猜想另一個問題也具有相似的屬性。如在平面幾何中，三角形是邊數(shù)最少的封閉多邊形，在空間中，四面體是面數(shù)最少的封閉多面體，在學習多面體時，就可以通過類比三角形的性質(zhì)得到四面體的一些性質(zhì)。

例如北師大版選修2—2第五頁例3：已知“正三角形內(nèi)一點到三邊距離之和是一個定值”，將空間與平面進行類比，空間中什么樣的圖形可以對應(yīng)正三角形？在對應(yīng)圖形中有與上述定理相應(yīng)的結(jié)論嗎？

解：將空間與平面類比，正三角形對應(yīng)正四面體，三角形中的邊對應(yīng)四面體的面。得到猜測：正四面體內(nèi)一點到四面距離之和是一個定值。為了證明這個猜想，可以分析原結(jié)論的證明方法面積法，那么猜想的證明可以考慮用體積法。

總結(jié)以上猜想過程，可以看出類比猜想的思維步驟是：聯(lián)想—類比—猜想—證明。我們把兩個問題相似的各個方面如條件、結(jié)構(gòu)通過類比，就可以得到相似的結(jié)論，因此通過類比猜想去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問題應(yīng)是我們學習數(shù)學的一條重要的捷徑。

3.通過取“極限”提出猜想

由于世界萬物都是運動的，“動”與“靜”是相對的，從辯證唯物主義觀點出發(fā)，我們可以把一些“運動的”變化問題轉(zhuǎn)化為“靜止的”不變的問題，然后根據(jù)“靜止的”問題所具有的性質(zhì)猜想出“運動的”問題所具有的性質(zhì)。如人教版教材高中數(shù)學第二冊（下B）9.11球，這節(jié)中的球的表面積公式的推導，它通過，當“小椎體”的底面（曲面）非常小時(變化的)，把“小椎體”的底面猜想為幾乎是“平”的（不變的），從而得到球的表面積公式。由此可見，用取“極限”提出猜想的方法來發(fā)現(xiàn)和解決問題，把看似難以入手的問題簡單化，從而使問題得以解決?！傲孔円鹳|(zhì)變”正是“極限”思想的本質(zhì)所在，它是我們解決數(shù)學問題又一重要的思想方法。

三、加強猜想訓練，提高解題能力

四、應(yīng)用數(shù)學猜想，提高解題速度

本題若用三角公式及不等式來處理，將有很大的運算量，且非常耽誤時間，而這是高考選擇題所不允許的。若我們對它取“極限”進行猜想，則答案就顯而易見：取α=β→0，則α+β→0，此時sin（α+β）→0，cos（α+β）→1，對于A有0＞0，對于B有0＞2，對于C有1＜0，對于D有1＜2，因此A、B、C不成立，所以選D。

五、結(jié)合猜想教學，培養(yǎng)學生的優(yōu)良品質(zhì)

學習數(shù)學猜想只有敢于探索、敢于創(chuàng)新才會有所發(fā)現(xiàn)，因此要鼓勵學生具有大膽猜想，勇于開拓的精神；同時又要使學生具有科學家們頑強奮斗、不怕失敗，勇于拼搏的精神，這也正是《課程標準》中的情感態(tài)度與價值觀的具體體現(xiàn)。

總之，在教學過程中教師應(yīng)經(jīng)常有意識地把課本上的例題、習題及課外的題目進行歸類、比較，并把它們適時地展示給學生，從而給學生創(chuàng)造和提供一個良好的數(shù)學猜想的環(huán)境和機會，經(jīng)過一段時間的訓練，一定能提高學生的數(shù)學猜想能力。

參考文獻：

［1］北師大版教材：選修2-2.

［2］人教版教材：高中數(shù)學第二冊（上）、（下B）.

［3］楊省吾.解題與猜想.中學數(shù)學教學參考，1995，（6）.

［4］2003年全國高考數(shù)學（文科）卷第15題.

［5］2005年北京高考數(shù)學（理科）卷第5題.

［6］2007年高考理科數(shù)學（湖南卷）第15題.

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